2020高中数学 第三章 不等式 3
3.4 基本不等式：≤
学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．重要不等式
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．
思考：如果a>0，b>0，用，分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？
[提示] a＋b≥2.
2．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
思考：不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？
[提示] 不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数．
3．算术平均数与几何平均数
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；
(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
思考：≥与2≥ab是等价的吗？
[提示] 不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.
4．用基本不等式求最值的结论
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最小值为2.
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最大值为.
5．基本不等式求最值的条件
(1)x，y必须是正数．
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
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(3)等号成立的条件是否满足．
思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？
[提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．( )
(2)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．( )
(3)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.( )
(4)函数f(x)＝x2＋的最小值为2－1.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________.
【导学号：91432346】
400 [因为x，y都是正数，
且x＋y＝40，所以xy≤2＝400，当且仅当x＝y＝20时取等号．]
3．把总长为16 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
16 [设一边长为x m，则另一边长可表示为(8－x)m，则面积S＝x(8－x)≤2＝16，当且仅当x＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m时面积取到最大值16 m2.]
4．给出下列说法：
①若x∈(0，π)，则sin x＋≥2；
②若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg b≥2；
③若x∈R且x≠0，则≥4.
其中正确说法的序号是________.
【导学号：91432347】
①③ [①因为x∈(0，π)，所以sin x∈(0,1]，
所以①成立；②只有在lg a>0，lg b>0，
即a>1，b>1时才成立；
③＝|x|＋≥2＝4成立．]
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[合 作 探 究·攻 重 难]
利用基本不等式比较大小
已知0
0，b>0，所以a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，
所以四个数中最大的数应为a＋b或a2＋b2.
又因为02)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________.
【导学号：91432348】
(2)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则P，Q，R的大小关系是________．
(1)m>n (2)P2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以
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m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，
所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.
(2)因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，
所以Q＝(lg a＋lg b)>＝P；
Q＝(lg a＋lg b)＝lg＋lg＝lg＋＋.
[解] ∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2>0，
b＋c≥2>0，
c＋a≥2>0，
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，
即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c>＋＋.
[规律方法]
1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明．
2．利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
[跟踪训练]
2．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8.
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【导学号：91432349】
[证明] 因为a，b，c为正实数，
且a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥.
同理，－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，
相乘得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
基本不等式的实际应用
如图341，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
图341
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
思路探究：①已知a＋b为定值，如何求ab的最大值？②已知ab为定值，如何求a＋b的最小值？
[解] 设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴9－y>0，
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∴00，
∴S≤·2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由，解得
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
法二：由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48.
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
母题探究：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图342所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．
[解] 设污水池的长为x米，则宽为米，总造价y＝(2x＋2·)·200＋2×250·＋80×400＝400＋32 000≥400×2＋32 000＝56 000(元)，当且仅当x＝，即x＝30时取等号．
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故污水池的长为30米、宽为米时，最低造价为56 000元.
利用基本不等式求最值
[探究问题]
1．由x2＋y2≥2xy知xy≤，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？
提示：最值是一个定值(常数)，而x2＋y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式≥(a，b∈R＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．
2．小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的：
“因为y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？
提示：不正确．因为利用基本不等式求最值，必须满足x与都是正数，而本题x可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”基本不等式求解．正确解法应为：当x>0时，y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取“＝”，y＝x＋的最小值是2；当x<0时，y＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋的最大值是－2.
3．已知x≥3，求y＝的最小值，下列求解可以吗？为什么？
“解：∵y＝＝x＋≥2＝4，
∴当x≥3时，y＝的最小值为4.”
提示：不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y＝x＋的单调性求解．
(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知00，求f(x)＝的最大值；
(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值.
【导学号：91432350】
思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征．
(1)4x－2＋＝4x－5＋＋3.
(2)x(1－2x)＝·2x·(1－2x)．
(3)＝.
(4)x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y).
[解] (1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵00，
∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝，
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
(3)f(x)＝＝.
∵x>0，∴x＋≥2＝2，
∴f(x)≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
(4)∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝，又＋＝1，
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即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
母题探究：1.(变条件)在例题(1)中条件改为x>，求函数f(x)＝4x－2＋的值域．
[解] ∵x>，∴4x－5>0，
∴f(x)＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x－5＝.即x＝时，等号成立．f(x)的值域为[5，＋∞)．
2．(变条件)在例题(1)中去掉条件x<，求f(x)＝4x－2＋的最值如何求解？
[解] 由f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3
①当x>时，4x－5>0
∴f(x)＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5
当且仅当4x－5＝时等号成立
即x＝时f(x)min＝5.
②当x<时，4x－5<0.
f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1
当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立．故当x＝1时，f(x)max＝1.
[规律方法] 利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.
(2)构造法：
①构造不等式：利用ab≤，将式子转化为含ab或a＋b的一元二次不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；
②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.
(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.
易错警示：利用基本不等式求函数最值，一定要判断等号何时成立.
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[当 堂 达 标·固 双 基]
1．若00，logba>0，
所以logab＋logba＝logab＋≥2＝2.
当且仅当logab＝logba即a＝b时取“＝”．]
2．已知a，b∈R，若a2＋b2＝1，则ab有最________值为________；若ab＝1，则a2＋b2有最________值为________.
【导学号：91432351】
大 小 2 [由a2＋b2≥2ab可知，当a2＋b2＝1时，ab≤，故ab有最大值为；当ab＝1时，a2＋b2≥2，a2＋b2有最小值2.]
3．若00，
故＝·≤·＝，
当且仅当x＝时，上式等号成立．
所以0<≤.]
4．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2,80元/m2，那么水池的最低总造价为________元.
【导学号：91432352】
1 760 [设池底一边长为x m，总造价为y元．
则y＝4×120＋2×80＝320＋480(x>0)．
因为x＋≥2＝4，
当且仅当x＝即x＝2时取等号，
所以ymin＝480＋320×4＝1 760(元)．]
5．已知函数f(x)＝x＋.
(1)已知x>0，求函数f(x)的最小值．
(2)已知x<0，求函数f(x)的最大值．
(3)已知x∈[2,4]，求f(x)的最值．
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[解] (1)∵x>0，∴f(x)＝x＋≥2.当且仅当x＝1时等号成立．
∴f(x)的最小值为2.
(2)∵x<0，∴f(x)＝x＋＝－≤－2.当且仅当x＝－1时等号成立．∴f(x)的最大值为－2.
(3)设2≤x10，x1x2>0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
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