2017-2018学年河北衡水中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年河北衡水中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北衡水中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．与极坐标表示的不是同一点的极坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用极坐标的表示方法，即可得出结果．‎ 详解：点在直角坐标系中表示点，而点在直角坐标系中表示点，所以点和点表示不同的点，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了极坐标的表示方法，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎2．下列表述：‎ ‎①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．‎ 其中正确的表述有（ ）‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎【答案】C ‎【解析】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．‎ ‎【考点】综合法和分析法的特征.‎ ‎3．设复数满足（为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，所以,‎ 的共轭复数为，故选D.‎ ‎4．用反证法证明命题“若，则”时，下列假设的结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：反证法要假设所要证明的结论的反面成立，本题中要反设成立 ‎【考点】反证法 ‎5．方程（为参数）表示的曲线是( )‎ A. 双曲线 B. 双曲线的上支 C. 双曲线的下支 D. 圆 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，方程 ，‎ 两式相减，可得，由，‎ 所以曲线的方程为，表示双曲线的上支，故选B.‎ ‎【考点】曲线的参数方程.‎ ‎6．若，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用定积分，将已知化简，即可比较大小．‎ 详解：由题意，可得，，‎ ‎，‎ 则，所以，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎7．老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为，则（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 11 D. 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个操作的此时 要多，此四个操作的此时要少，相当与操作三个的时候，最上面的那衣蛾动了几次，就会增加几次，故选C.‎ ‎【考点】归纳推理.‎ ‎8．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用从平面图形到空间图形的类比推理，即可得到结论．‎ 详解：建立从平面图形到空间图形的类比，与可得类比得到，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了从平面图形到空间的类比推理，着重考查了学生的知识量和知识的迁移，类比的基本能力，解答的关键是掌握好类比推理的概念与应用．‎ ‎9．设函数，则函数的所有极大值之和为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵函数 ，∴ ，∵ 时， 时， ，∴时原函数递增， 时，函数 递减，故当 ‎ 时， 取极大值，其极大值为 ，又 ，∴函数 的各极大值之和 ．故选D．‎ ‎10．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是曲线上的动点.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则点到的距离的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：把曲线的极坐标方程，可得曲线的直角坐标方程为，设曲线上点的坐标为，由点到直线的距离公式，即可求得最大值．‎ 详解：由曲线的极坐标方程为，‎ 可得曲线的直角坐标方程为，‎ 由曲线的参数方程，设曲线上点的坐标为，‎ 由点到直线的距离公式可得，‎ 当时，取得最大值，此时最大值为，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎11．已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）‎ A. B. ， C. D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：结合函数的图象求出成立的的取值范围，即可得到结论．‎ 详解：结合函数的图象可知：和时，，‎ 又由，则，‎ 令，解得，‎ 所以函数的递减区间为，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了导数的四则运算，以及利用导数研究函数的单调性，求解单调区间，其中结合图象，得到，进而得到的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎12．已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用导数得函数的单调性并求得最值，求解方程得到或，画出函数的图象，结合图象即可求解．‎ 详解：设，则，‎ 令，得，‎ 当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，‎ 所以当时，函数取得极大值也是函数的最大值，‎ 由方程，可得或，‎ 画出函数的图象，如图所示，‎ 结合图象可得实数的取值范围是，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了根的存在性与根的个数的判断，考查了利用导数求解函数的单调性与函数的最值，其中把根的存在性与根的个数问题转化为函数的图象的交点问题是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及数形结合思想的应用，试题属于中档试题．‎ 二、填空题 ‎13．复数（为虚数单位）的虚部为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部．‎ 详解：由题意，复数，‎ 所以复数的虚部为．‎ 点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数的基本概念，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎14．在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把 的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离即可．‎ 详解：把直线的方程化为直角坐标方程得，‎ 点的直角坐标为，‎ 由点到直线的距离公式，可得．‎ 点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是__________．‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】试题分析：若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．‎ ‎【考点】逻辑推理．‎ ‎16．已知实数，满足，，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：分别设，则表曲线上的点到直线的距离，则最小值表示与直线平行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解．‎ 详解：分别设，‎ 则表曲线上的点到直线的距离，‎ 所以最小值表示与直线平行的切线之间的距离，‎ 因为，所以，‎ 令，解得，所以，‎ 所以曲线过点的切线方程为，即，‎ 所以直线与直线间的距离为，‎ 即最小值．‎ 点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距离公式的应用，其中解答中把最小值转化为直线平行的切线之间的距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题．‎ 三、解答题 ‎17．设复数，其中为虚数单位，当实数取何值时，复数对应的点：‎ ‎（1）位于虚轴上；‎ ‎（2）位于一、三象限；‎ ‎（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）或 ‎【解析】分析： （1）根据题设条件得到复数对应点坐标，当复数位于虚轴上时，实部为零，虚部不为零，即可求解；‎ ‎（2）当复数位于一、三象限时，复数满足实部和虚部之积大于零，即可求解；‎ ‎（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上时，满足，即可求解．‎ 详解：（1）复数对应的点位于虚轴上，‎ 则.‎ ‎∴时，复数对应的点位于虚轴上.‎ ‎（2）复数对应的点位于一、三象限，‎ 则 或.‎ ‎∴当时，复数对应的点位于一、三象限.‎ ‎（3）复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上，则 或.‎ ‎∴或时，复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上.‎ 点睛：本题主要考查了复数表示，解答中根据题设条件求出复数对应点的坐标，结合点的位置列出不等式组或关系式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．‎ ‎18．已知数列的前项和为，且满足，.‎ ‎（1）写出，，，并推测数列的表达式；‎ ‎（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.‎ ‎【答案】（1），，.（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）利用，代入计算，即可得到的值，猜想；‎ ‎（2）利用数学归纳法进行证明，检验当时等式成立，假设是命题成立，证明当时，命题也成立即可．‎ 详解：（1）将，，分别代入，‎ 可得，，.‎ 猜想.‎ ‎（2）①由（1），得时，命题成立；‎ ‎②假设时，命题成立，即，‎ 那么当时，‎ ‎ ，‎ 且，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即当时，命题也成立.‎ 根据①②，得对一切，都成立.‎ 点睛：本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列归纳、猜想、证明，对于数学归纳法的证明，一般分三步：（1）验证成立；（2）假设是命题成立，证明当时，命题也成立，从而得证，这是数列通项的一种求解方法，着重考查了推理与论证能力．‎ ‎19．在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数， ），以为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值.‎ ‎【答案】(1) ， ；(2) 或.‎ ‎【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线参数方程化为普通方程，利用将曲线（Ⅱ）先将直线参数方程转化为（为参数， ），再根据直线参数方程几何意义由得，最后将直线参数方程代入，利用韦达定理得关于的方程，解得的值.‎ 试题解析: （Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，‎ 由曲线的极坐标方程为,∴‎ ‎∴,即曲线的直角坐标方程.‎ ‎（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得 要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有 根据参数方程的几何意义可知，‎ 又由可得，即或 ‎ ‎∴当时，有，符合题意．‎ 当时，有，符合题意．‎ 综上所述，实数的值为或．‎ ‎20．（本小题满分12分） 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过）：‎ 空气质量指数 空气质量等级 级优 级良 级轻度污染 级中度污染 级重度污染 级严重污染 该社团将该校区在年天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．‎ ‎（Ⅰ）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；‎ ‎（Ⅱ）该校年月、日将作为高考考场，若这两天中某天出现 级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这两天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析: （Ⅰ）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数，（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据期望公式求数学期望.‎ 试题解析: （Ⅰ）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为 ‎（天）．‎ ‎（Ⅱ）由题可知， 的所有可能取值为： ， ， ， ， ， ， ，‎ 则： ， ‎ ‎．‎ ‎ 的分布列为 ‎ （元）．‎ ‎21．已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点, 点为此抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与直线 交于点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）借助题设条件，运用直线与椭圆的位置关系，通过研究坐标之间的关系进行分析探求：‎ ‎ (1)由已知可得的焦点坐标为，设，则 ‎，解得，所以，由点在椭圆上，得，即 ‎，又，解得，所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)设直线的方程为，由，得，则，‎ ‎ ，当时，直线的方程为，‎ 由，得.即，所以，‎ 所以，设，则，则，‎ 由于，在上为增函数，，则，当时，的中点为，则，，综上，，故 的取值范围是.‎ 点睛：椭圆是重要的圆锥曲线代表之一，也是高中数学的重要知识点与高考的必考考点。求解本题的第一问时，依据题设条件求出，与联立解得，从而使得问题获解；第二问的求解则充分借助题设条件，先建立直线的方程为，再与椭圆联立方程组，运用直线与椭圆的位置关系中的坐标关系建立目标函数，通过求函数的值域，从而使得问题获解。‎ ‎22．已知，函数. ‎ ‎（Ⅰ）若函数在上递减, 求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的最小值的最大值；‎ ‎（Ⅲ）设，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）的最大值为;（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据题意，由函数为减函数，其导数小于或等于零，从而可算出实数的取值范围；（Ⅱ）利用导数求出函数的极小值函数，再利用导数求出极小值函数的最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可结论，对参数时行分类讨论，利用导数判断函数的单调性，并求其最小值，从而问题可得证.‎ 试题解析：（Ⅰ） 函数在上递减, 恒有成立,‎ 而,恒有成立,‎ 而, 则满足条件. ‎ ‎（Ⅱ）当时, ‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 的最小值=，‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 的最大值为 ‎ ‎（Ⅲ） 当时，‎ 所以在上是增函数，故 ‎ 当时，‎ 解得或，‎ 综上所述： ‎