数学卷·2018届福建省莆田二十五中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届福建省莆田二十五中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年福建省莆田二十五中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题12小题 ‎1．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（　　）‎ A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x ‎2．某汽车启动阶段的路程函数为s（t）=2t3﹣5t2+2，则t=2秒时，汽车的加速度是（　　）‎ A．14 B．4 C．10 D．6‎ ‎3．求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．函数f（x）=（0＜x＜10）（　　）‎ A．在（0，10）上是增函数 B．在（0，10）上是减函数 C．在（0，e）上是增函数，在（e，10）上是减函数 D．在（0，e）上是减函数，在（e，10）上是增函数 ‎5．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎6．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+‎ ‎1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2‎ ‎8．函数g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在区间（﹣∞，）内单调递减，则a的取值范围为（　　）‎ A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．﹣1≤a≤0‎ ‎9．函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）‎ A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2） B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）‎ C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2） D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）‎ ‎10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：‎ ‎①f（x）=sinx，g（x）=cosx；‎ ‎②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；‎ ‎③f（x）=x，g（x）=x2，‎ 其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）‎ ‎　‎ 二．填空题4小题 ‎13．若dx=6，则b=　　．‎ ‎14．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1：2，则它的高为　　时，可使表面积最小．‎ ‎15．设函数f（x）=x3﹣x2﹣2x+5，若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．‎ ‎16．若曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题5小题 ‎17．（1）（x+1）dx ‎（2）（+x2）dx．‎ ‎18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处有极小值﹣1‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）求出函数f（x）的单调区间．‎ ‎19．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．‎ ‎（1）求y=f（x）的表达式；‎ ‎（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．‎ ‎20．已知函数f（x）=+lnx（x＞0）．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）在[，2]上的最小值；‎ ‎（2）若函数f（x）在[，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；‎ ‎（3）若关于x的方程1﹣x+2xlnx﹣2mx=0在区间[，e]内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围．‎ ‎21．设f（x）=ax﹣ln（1+x2），‎ ‎（1）当a=时，求f（x）在（0，+∞）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，ln（1+x2）＜x；‎ ‎（3）证明：（n∈N*，n≥2，e为自然对数的底数）‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省莆田二十五中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题12小题 ‎1．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（　　）‎ A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．‎ ‎【解答】解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，‎ ‎∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，‎ ‎∴曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），‎ 即y=3x﹣1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．某汽车启动阶段的路程函数为s（t）=2t3﹣5t2+2，则t=2秒时，汽车的加速度是（　　）‎ A．14 B．4 C．10 D．6‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】利用导数在物理上的意义，位移的导数是速度；‎ ‎【解答】解：汽车的速度为v（t）=s′（t）=6t2﹣10t，‎ ‎∴a=v′（t）=12t﹣10‎ ‎∴a=v′（2）=24﹣10=14．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】定积分的简单应用．‎ ‎【分析】画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．‎ ‎【解答】解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．函数f（x）=（0＜x＜10）（　　）‎ A．在（0，10）上是增函数 B．在（0，10）上是减函数 C．在（0，e）上是增函数，在（e，10）上是减函数 D．在（0，e）上是减函数，在（e，10）上是增函数 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先求导，根据导数和函数的单调性的关系即可解决．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=（10＞x＞0），‎ ‎∴f′（x）=‎ 令f′（x）=0，即=0，得x=e，‎ 当f′（x）＞0，即x＜e，此时f（x）为增函数，又x＞0，增区间为（0，e），‎ 当f′（x）＜0，即10＞x＞e，此时f（x）为减函数，减区间为（e，10）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．‎ ‎【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），‎ 又∵‎ ‎∴x0+a=1‎ ‎∴y0=0，x0=﹣1‎ ‎∴a=2．‎ 故选项为B ‎　‎ ‎6．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型．‎ ‎【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．‎ ‎【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，‎ 由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，‎ 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：‎ S（A）=‎ ‎=．‎ 所以P（A）=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．‎ ‎【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，‎ 有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．‎ 若f（x）有极大值和极小值，‎ 则△=4a2﹣12（a+6）＞0，‎ 从而有a＞6或a＜﹣3，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．函数g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在区间（﹣∞，）内单调递减，则a的取值范围为（　　）‎ A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．﹣1≤a≤0‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由g′（x）=3ax2+4（1﹣a）x﹣3a，g（x）在（﹣∞，）递减，则g′（x）在（﹣∞，）上小于等于0，讨论（1）a=0时，（2）a＞0，（3）a＜0时的情况，从而求出a的范围．‎ ‎【解答】解：∵g′（x）=3ax2+4（1﹣a）x﹣3a，g（x）在（﹣∞，）递减，‎ 则g′（x）在（﹣∞，）上小于等于0，即：3ax2+4（1﹣a）x﹣3a≤0，‎ ‎（1）a=0时，g′（x）≤0，解得：x≤0，即g（x）的减区间是（﹣∞，0），‎ ‎∴≤0，才能g（x）在（﹣∞，）递减，解得a=0 成立．‎ ‎（2）a＞0，g′（x）是一个开口向上的抛物线，‎ 要使g′（x）在（﹣∞，）上小于等于0 解得：a无解； ‎ ‎（3）a＜0，g′（x）是一个开口向下的抛物线，‎ 设g′（x）与x轴的左右两交点为A（x1，0），B（x2，0）‎ 由韦达定理，知x1+x2=﹣，x1x2=﹣1，‎ 解得：x1=﹣，‎ 则在A左边和B右边的部分g′（x）≤0 又知g（x）在（﹣∞，）递减，‎ 即g′（x）在（﹣∞，）上小于等于0，‎ ‎∴x1≥，即：解得﹣1≤a≤5，取交集，得﹣1≤a＜0，‎ ‎∴a的取值范围是﹣1≤a≤0．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）‎ A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2） B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）‎ C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2） D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由题意已知函数f（x）的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，判断f（x）′的增减性，最后根据函数的凸凹性进行判断，从而求解．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）的图象可知：‎ 当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，‎ ‎∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，‎ 由此可知f（x）′在（0，+∝）上恒大于0，其图象为一条直线，‎ ‎∵直线的斜率逐渐减小，‎ ‎∴f′（x）单调递减，‎ ‎∴f′（2）＞f′（3），‎ ‎∵f（x）为凸函数，‎ ‎∴f（3）﹣f（2）＜f′（2）‎ ‎∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．‎ ‎【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），‎ 且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，‎ ‎∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；‎ 当x=﹣2时，f′（x）=0；‎ 当x＜﹣2时，f′（x）＜0．‎ ‎∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；‎ 当x=﹣2时，xf′（x）=0；‎ 当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：‎ ‎①f（x）=sinx，g（x）=cosx；‎ ‎②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；‎ ‎③f（x）=x，g（x）=x2，‎ 其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】微积分基本定理．‎ ‎【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：对于①： [sinx•cosx]dx=（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；‎ 对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；‎ 对于③： x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，‎ ‎∴正交函数有2组，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪‎ ‎（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．‎ ‎【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，‎ ‎∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，‎ 即当x＞0时，g′（x）恒小于0，‎ ‎∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，‎ 又∵g（﹣x）====g（x），‎ ‎∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（﹣1）==0，‎ ‎∴函数g（x）的图象性质类似如图：‎ 数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0‎ ‎⇔或，‎ ‎⇔0＜x＜1或x＜﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二．填空题4小题 ‎13．若dx=6，则b=　e4　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】根据定积分的计算即可．‎ ‎【解答】解：若dx=2lnx|=2lnb﹣2lne=2lnb﹣2=6，‎ ‎∴lnb=4，‎ ‎∴b=e4，‎ 故答案为：e4‎ ‎　‎ ‎14．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1：2，则它的高为　4cm　时，可使表面积最小．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】设两边分别为x cm、2xcm，高为y cm．则V=2x2y=72，y=，从而S=2（2x2+2xy+xy）=4x2+．由此利用导数性质能求出它的高为4cm时，可使表面积最小．‎ ‎【解答】解：设两边分别为x cm、2xcm，高为y cm．‎ V=2x2y=72，y=，‎ S=2（2x2+2xy+xy）‎ ‎=4x2+6xy=4x2+．‎ S′=8x﹣，令S′=0，解得x=3．‎ ‎∴y==4（cm）．‎ ‎∴它的高为4cm时，可使表面积最小．‎ 故答案为：4cm．‎ ‎　‎ ‎15．设函数f（x）=x3﹣x2﹣2x+5，若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】由f′（x）=3x2﹣x﹣2，利用导数性质求出x∈[﹣1，2]时，f（x）max=f（2）=7，由对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，得m＞f（x）max=7，由此能求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2﹣2x+5，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣x﹣2，‎ 由f′（x）=0，得x=﹣，或x=1，‎ ‎∵f（﹣1）=，f（﹣）=，f（1）=，f（2）=7，‎ ‎∴x∈[﹣1，2]时，f（x）max=f（2）=7，‎ ‎∵对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，‎ ‎∴m＞f（x）max=7，‎ ‎∴实数m的取值范围是（7，+∞）．‎ ‎　‎ ‎16．若曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是　（﹣∞，0）　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】先求函数f（x）=ax3+lnx的导函数f′（x），再将“线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线”转化为f′（x）=0有正解问题，最后利用数形结合或分离参数法求出参数a的取值范围 ‎【解答】解：∵f′（x）=3ax2+ （x＞0）‎ ‎∵曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，‎ ‎∴f′（x）=3ax2+=0有正解 即a=﹣有正解，∵‎ ‎∴a＜0‎ 故答案为（﹣∞，0）‎ ‎　‎ 三．解答题5小题 ‎17．（1）（x+1）dx ‎（2）（+x2）dx．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】（1）根据定积分的计算法则计算即可，‎ ‎（2）根据定积分的几何意义和定积分的计算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：1）（x+1）dx=（x2+x）|=（×22+2）﹣（+1）=‎ ‎（2）（）dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的二分之一，‎ 故（）dx=×4π=2π，‎ x2dx=x3|=（8+8）=，‎ ‎∴（+x2）dx=2π+．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处有极小值﹣1‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）求出函数f（x）的单调区间．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处有极小值﹣1，即f（1）=﹣1，f′（1）=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；‎ ‎（2）分别解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间．‎ ‎【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2﹣6ax+2b，函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处有极小值﹣1，‎ ‎∴f（1）=﹣1，f′（1）=0‎ ‎∴1﹣3a+2b=﹣1，3﹣6a+2b=0‎ 解得a=，b=﹣‎ ‎∴f（x）=x3﹣x2﹣x ‎（2）∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1‎ ‎∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）或（1，+∞）‎ 由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1）．‎ ‎　‎ ‎19．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．‎ ‎（1）求y=f（x）的表达式；‎ ‎（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用；导数的运算．‎ ‎【分析】（1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案．‎ ‎（2）根据定积分的定义可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵f′（x）=2x+2 设f（x）=x2+2x+c，‎ 根据f（x）=0有两等根，得△=4﹣4c=0解得c=1，即f（x）=x2+2x+1；‎ ‎（2）S==．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=+lnx（x＞0）．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）在[，2]上的最小值；‎ ‎（2）若函数f（x）在[，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；‎ ‎（3）若关于x的方程1﹣x+2xlnx﹣2mx=0在区间[，e]内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）当a=1时，可求得f（x）、f′（x），由f′（x）=0，得x=1，求出函数的极值、端点处函数值，然后进行比较即可；‎ ‎（2）利用导数求出f（x）的增区间，由题意可知[，+∞）为增区间的子集，由此可得a的范围；‎ ‎（3）方程可变为，则问题等价于函数的图象与函数y=m的图象在区间[，e]内恰有两个交点．利用导数研究函数g（x）的性质、极值、端点处函数值，画出草图，借助图象可得m的范围；‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=，，‎ 令f′（x）=0，得x=1，‎ 于是，当＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，‎ 所以当x=1时f（x）取得极小值，且f（1）=0，‎ 又f（）=1﹣ln2，f（2）=ln2﹣，‎ 所以当x=1时函数f（x）取得最小值0．‎ ‎（2），‎ 因为a为正实数，由定义域知x＞0，‎ 所以函数的单调递增区间为，‎ 又函数f（x）在上为增函数，所以，‎ 所以a≥2；‎ ‎（3）方程1﹣x+x2lnx﹣2mx=0在区间[，e]内恰有两个相异的实数根，‎ 推得方程在区间[，e]内恰有两个相异的实数根，即方程在区间[，e]内恰有两个相异的实数根，‎ 则函数的图象与函数y=m的图象在区间[，e]内恰有两个交点．‎ 考察函数，，则g（x）在区间为减函数，在为增函数，‎ 则有：，‎ ‎，‎ g（）=+ln=﹣1=＜0＜g（e），‎ 画函数，x∈[，e]的草图，要使函数的图象与函数y=m的图象在区间[，e]内恰有两个交点，‎ 则要满足，‎ 所以m的取值范围为{m|}．‎ ‎　‎ ‎21．设f（x）=ax﹣ln（1+x2），‎ ‎（1）当a=时，求f（x）在（0，+∞）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，ln（1+x2）＜x；‎ ‎（3）证明：（n∈N*，n≥2，e为自然对数的底数）‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，得到极值点，利用导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值．‎ ‎（2）利用导函数的单调性推出不等式，得到结果即可．‎ ‎（3）利用（2）的结论，利用放缩法以及裂项求和，推出结果即可．‎ ‎【解答】解：（1）当，∴，‎ f′（x），f（x）变化如下表：‎ x ‎2‎ ‎（2，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴，，‎ ‎（2）令g（x）=x﹣ln（1+x2），则，‎ ‎∴g（x）在（0，+∞）上为增函数．‎ ‎∴g（x）＞g（0）=0，∴ln（1+x2）＜x．‎ ‎（3）由（2）知ln（1+x2）＜x，‎ 令得，，n≥2．‎ ‎∴，‎ 则原不等式成立．‎ ‎　‎ ‎2017年4月15日