河南省郑州市2019年高三第二次质量检测理科数学(解析版)

河南省郑州市2019年高三第二次质量检测理科数学(解析版)

2019 年郑州市高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试题卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．若复数 i 2 i b   为纯虚数，则实数b 等于（ ） A．3 B． 2 1 C． 3 1 D． 1 1．答案：B 解析：设 i i ( )2 i Rb a a   ，则 i (2 i) i 2 ib a a a       ，所以 1 2 b a a     ，解得 1 2b   ． 2．已知全集 RU ， )}1ln(|{ 2xyxA  ， }4|{ 2 xyyB ，则 ( )RA B   （ ） A． )01( ， B．[0,1) C．(0,1) D．( 1,0] 2．答案：D 解析： 2 2{ | ln(1 )} { |1 0} { | 1 1}A x y x x x x x          ， 2{ | 4 } (0, )xB y y     ， ( ,0], ( ) ( 1,0]R RB A B      ． 3．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知 1220182019)( 20172018  xxxxf ，程序框图设计的是求 )( 0xf 的值，在 M 处应填的执行语句 是（ ） A． in  2018 B． in  2019 C． 1 in D． 2 in 开始 输入x0 1, 2019i n  2019S  1i i  S S n  M i≤2018 0S S x  输出S 结束 是 否 3．答案：B 解析： 0 0 0 0 0( ((2019 2018) 2017) 2016) ) 1S x x x x x       ，所以第一次执行程序时， 02019 2018S x  ，所加上去的 n 是 2018，结合选项，只能选 in  2019 ． 4．如图，在曲线（曲线C 为正态分布 ( 2 4)N  ， 的密度曲线）与 x 轴围成的区域中随机投掷10000 个点， 则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ） （附： 2( , )X N  ～ ，则 ( ) 0.6827P X      ≤ ， ( 2 2 ) 0.9545P X      ≤ ） xO y 2 曲线 C A．906 B．2718 C．1359 D．3413 4．答案：C 解析：因为 ( 2, 4)X N ～ ，所以正态曲线关于直线 2x   对称， 2, 2    ． 所以阴影部分的面积为 (0 2) ( 2 )P X P X     ≤ ≤ ≤ ≤ 1 1( 2 2 ) ( ) 0.13592 2P X P X               ≤ ≤ ，曲线C 与 x 轴所围成的区域的面积 为 1，则向该区域中随机投掷10000个点，落入阴影部分的点的个数的估计值为 0.135910000 13591  ． 5．将函数 xxf sin2)(  的图象向左平移 6  个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到 )(xg 的图象，下面四个结论正确的是（ ） A．函数 )(xg 在 ]2,[  上的最大值为1 B．将函数 )(xg 的图象向右平移 6  个单位后得到的图象关于原点对称 C．点 ,03      是函数 )(xg 图象的一个对称中心 D．函数 )(xg 在区间 20, 3      上为增函数 5．答案：D 解析：将函数 xxf sin2)(  的图象向左平移 6  个单位，得 2sin 6y x      ，然后纵坐标不变，横坐标 变为原来的 2 倍，得到 1( ) 2sin 2 6g x x      ． 选项 A，当 [ ,2 ]x   时， 1 2 7,2 6 3 6x        ，则 1 1 3sin ,2 6 2 2x            ， 1( ) 2sin [ 1, 3]2 6g x x        ，即函数 )(xg 在 ]2,[  上的最大值为 3 ，选项 A 错误； 选项 B，将函数 )(xg 的图象向右平移 6  个单位，得 1 12sin 2sin2 6 6 2 12y x x                   ，不关 于原点对称，选项 B 错误； 选项 C，当 3x  时， 1 2 6 3x    ，所以点 ,03      不是函数 )(xg 图象的对称中心，选项 C 错误； 选项 D，当 20, 3x     时，1 ,2 6 6 2x        ，所以函数 )(xg 在区间 20, 3      上为增函数，选项 D 正确 6．设变量 yx, 满足约束条件 2 1 1 y x y x y      ≤ ≥ ≤ ，则目标函数 31 3 x y z      的最大值为（ ） A． 111 3      B． 31 3      C．3 D．4 6．答案：C 解析：作可行域为如图所示的 ABC△ ，其中 (1,0), ( 1,2), (3,2)A B C ，设 3t x y  ，则 3, 1, 11A B Ct t t    ，故 min 1Bt t   ，所以 1 max 1 33z      ． x y O A B C 7．在 Rt ABC△ 中， 90C   ， 2CB ， 4CA ， P 在边 AC 的中线 BD 上，则 BPCP 的最小值为 （ ） A． 2 1 B．0 C．4 D． 1 7．答案：A 解析：以C 为原点建立如图所示坐标系，则 (0,0), (4,0), (0, 2), (2,0)C A B D ， 线段 BD 的方程为 2 (0 2)y x x  ≤ ≤ ，故可设 ( , 2 ) (0 2)P x x x ≤ ≤ ， 则 2 2 1 1( , 2 ) ( , ) 2 2 2 2 2CP BP x x x x x x x               ，当 1 2x  ，即 1 3,2 2P     时，CP BP   取得最 小值 1 2 ． xC y A B D P 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为 （ ） A． 2 545  B． 2 5135  C． 5180 D． 590 8．答案：A 解析：该几何体的直观图为如图所示的三棱锥 A BCD ，其中底面 BCD 是等腰直角三角形，侧棱 AC  底面 BCD ，可将其还原成底面边长为3 2 ，高为 3 的正四棱柱，则正四棱柱的体对角线即为外接球的直 径，即 2 2 2 3 52 (3 2) (3 2) 3 3 5, 2R R      ，外接球的体积 34 45 5 3 2V R   ． A B C D 9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯 函数”为：设 Rx ，用 ][x 表示不超过 x 的最大整数，则 ][xy  称为高斯函数．例如： 3]1.2[  ， 3]1.3[  ，已知函数 121 32)(   x x xf ，则函数 )]([ xfy  的值域为（ ） A． 1 ,32      B． ]2,0( C． }2,1,0{ D． }3,2,1,0{ 9．答案：C 解析： 1 1 1 1 522 3 1 52 2( ) 1 2 1 2 2 2(1 2 ) x x x x xf x           ，因为 12 (0, )x   ，所以 1 1 5 1 ,32 2(1 2 ) 2x       ， 所以 [ ( )]y f x 的值域为{0,1,2} ． 10．已知双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的左、右焦点分别为 21, FF ，若双曲线右支上存在点 P 使 c a FPF FPF 2 sin sin 12 21   ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． 2 173 2 173  e B． 2 732  e C． 2 1731  e D． 2 1732  e 10．答案：D 解析：由 1 2 2 1 sin 2 sin PF F a PF F c   及正弦定理可得 2 1 2PF a PF c ， 因为点 P 在双曲线的右支上，则 2 1 1 2 2aPF PF PF ac   ，解得 1 2 2 acPF c a  ，又因为 1PF a c  ， 所以 2 2 ac a cc a   ，整理得： 2 23 2 0c ac a   ，即 2 3 2 0e e   ，解得 3 17 3 17 2 2e   ，又 由 2 0c a  ，得 2e  ，所以 3 172 2e   ； 11．在 ABC△ 中，已知 32AB ， 62BC ， 45ABC   ，D 是边 AC 上的一点，将 ABC△ 沿 BD 折叠，得到三棱锥 BCDA ，若该三棱锥的顶点 A 在底面 BCD 的射影 M 在线段 BC 上，设 xBM  ， 则 x 的取值范围是（ ） A． )32,0( B． )6,3( C． )32,6( D． )62,32( 11．答案：C 解析：由余弦定理可得 2 3AC  ，所以 ABC△ 为等腰直角三角形，过 M 作 ME BD 于点 E ，连接 1A E ， 则易证得 BD  平面 1A ME ，所以 1BD A E ， 设 CBD   ，则 1 45A BD ABD       ，显然 1CBD A BD   ，所以0 22.5    ， 1 2 3 cos(45 )cos(45 ) 2 3 cos(45 ), 6(1 tan )cos cos BEBE A B BM                ， 由 2 2 tan 22.5tan 45 11 tan 22.5     ，解得 tan 22.5 2 1   ，因为0 22.5    ，所以0 tan 2 1   ， 所以 6(1 tan ) ( 6,2 3)BM    ． B C A M D A1 E 解法 2：特值法：当 BD 为 ABC 的角平分线时，翻折后 1A 与 M 重合， 1 2 3BM A B  ， 当 D 与C 重合时， BCD△ 退化成线段 BC ，翻折后 1A 的投影为线段 BC 的中点，此时 6BM  ． 12．已知抛物线C ： xy 42  的焦点为 F ，直线l 过焦点 F 与抛物线C 分别交于 BA, 两点，且直线l 不与 x 轴垂直，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 )05( ，T ，则 AOBS △ （ ） A． 22 B． 3 C． 6 D． 63 12．答案：A 解析： (1,0)F ，设直线 AB 的方程为 ( 1)y k x  ，将其代入抛物线方程， 并整理得： 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， AB 中点 0 0( , )M x y ， 则 2 1 2 1 22 2 4 , 1kx x x xk    ， 2 1 2 0 2 2 2 x x kx k    ， 0 0 2( 1)y k x k   ，线段 AB 的垂直平分线方程 为 2 2 2 1 2ky xk k k        ，将 (5 0)T ， 代入，得： 2 1, 1k k   ， 此时 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 4 2y y k x x x x x x        ， 1 2 1 2 22AOBS OF y y    △ ． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13．已知等比数列 }{ na 为单调递增数列，设其前 n 项和为 nS ，若 22 a ， 73 S ，则 5a 的值为 ． 13．答案：16 解析：设{ }na 的公比为 q ，则 2 1 2 3 1 2 (1 ) 7 a a q S a q q        ，所以 22 5 2 0q q   ，解得 2q  或 1 2q  ，又 因为{ }na 是单调递增数列，所以 2q  ， 3 5 2 16a a q  ． 14．已知 4 3cos cos3 5        ，则cos 6       ． 14．答案： 4 5 解析：cos cos cos cos 2cos cos3 6 6 6 6 6 6                                                   4 33 cos 6 5       ，所以 4cos 6 5      ． 15．二项式 6 3 6ax     的展开式中 5x 的系数为 3 ，则  dxxa 0 ． 15．答案： 2 3 解析：依题意， 5 5 5 6 3 3 36C a a   ，所以 1a  ，则 131 2 0 0 2 2 3 3xdx x  ． 16．已知函数 ),(2 1)( 2 R babxaexf x ，若函数 )(xf 有两个极值点 21, xx ，且 2 1 2x x ≥ ，则实数 a 的 取值范围是 ． 16．答案： ln 20, 2      解析：令 ( ) 0xf x ae x    ，得 xa x e  ，设 ( ) xg x x e  ，则 ( ) (1 ) xg x x e    ，所以当 1x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增，当 1x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减．所以当 1x  时， ( )g x 取得最大值 1 e ，且 (0) 0g  ，当 0x  时， ( ) 0g x  ；当 x   时， ( ) 0g x  ，根据题意， y a 与 ( )y g x 的 图象有两个不同的交点，所以 10 a e  ，且 2 1x  ， 10 1x  ，当 0a  时， 2 1, 0x x   ，显然 满足题意；当 2 12x x 时，由 1 2( ) ( )g x g x ，得 1 1( ) (2 )g x g x ，即 1 12 1 12x xx e x e    ，解得 1 ln 2x  ， 此时 ln 2 1 ln 2( ) ln 2 2a g x e    ，所以实数 a 的取值范围是 ln 20, 2      ． 0.5 1 2O a 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 }{ na 中， 11 a ， 0na ，前 n 项和为 nS ，若 1n n na S S   ，（ n N  ，且 2n≥ ）． （Ⅰ）求数列 }{ na 的通项公式； （Ⅱ）记 na nn ac 2 ，求数列 }{ nc 的前 n 项和 nT ． 17．解析：（1）在数列{ }na 中， 1 ( 2)n n na S S n  ≥ ， ① 1n n na S S   ②且 0na  ，∴①式÷②式得： 1 1 ( 2)n nS S n  ≥ ， 所以数列{ }nS 是以 1 1 1S a  为首项，公差为 1 的等差数列， 2 11 ( 1) ,n nS n n S n       ． ………………………………3 分 当 2n≥ 时， 2 2 1 ( 1) 2 1n n na S S n n n       ， 当 1n  时， 1 1a  ，也满足上式，所以数列{ }na 的通项公式为 2 1na n  ．…………………………6 分 （2）由（1）知， 2 1na n  ， 2 1(2 1) 2 n nc n     ， 则 3 5 2 3 2 11 2 3 2 5 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n nT n n              ① 3 5 7 2 1 2 14 1 2 3 2 5 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n nT n n              ② ① ② ，得： 2 2 3 5 2 1 2 1 2 18(1 2 )3 2 2(2 2 2 ) (2 1)2 2 2 (2 1)21 4 n n n n nT n n                 2 110 5 2 23 3 nn         ． 2 1(6 5) 2 10 9 n n nT     ． ………………………………………………………………12 分 18．（本小题满分 12 分）如图，等腰直角 ABC△ 中， 90B   ，平面 ABEF 平面 ABC ， BEABAF 2 ， 60FAB   ， BEAF // ． （Ⅰ）求证： BFBC  ； （Ⅱ）求二面角 BCEF  的正弦值． 18．解析：（1）等腰直角 ABC△ 中 90B   ，即 BC AB ， 又平面 ABC  平面 ABEF ，平面 ABC  平面 ABEF AB ， BC  平面 ABC ， BC  平面 ABEF ，又 BF  平面 ABEF ， BC BF  ．…………………………4 分 A B C E F x y z A B C E F （2）由（1）知 BC  平面 ABEF ，故建立如图所示空间直角坐标系 B xyz ， 设 1AF  ，则由已知可得 3 3(0,0,0), (0, 2,0), ,0, , ( 1,0, 3)2 2B C F E      ， 5 3(1,2, 3), ,0, , (0, 2,0)2 2EC EF BC            ， 设平面CEF 的一个法向量为 ( , , )n x y z  ，则有 2 3 0 5 3 02 2 n EC x y z n EF x z               ， 令 3x  ，则 5, 2 3z y  ，即 ( 3,2 3,5)n   ． 设平面 BCE 的一个法向量为 1 1 1( , , )m x y z  ，则有 1 1 1 1 1 1 1 2 3 0, 0, 3 2 0 m EC x y z y x z m BC y                 ， 令 1 3x  ，则 ( 3,0,1)m   ， 设二面角 F CE B  的平面角为 ，则 3 5 10 15cos , sin5 52 2 10 m n m n             ， 所以二面角 F CE B  的正弦值为 15 5 ． 19．（本小题满分 12 分）目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高 考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到 2020 年，我国将全面建立起新的高考制度．新 高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个 科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生 的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科 目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案． 某校为了解高一年级840 名学生选考科目的意向，随机选取 60 名学生进行了一次调查，统计选考科目人 数如下表： 性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 选考方案确定的有 16 人 16 16 8 4 2 2 男生 选考方案待确定的有 12 人 8 6 0 2 0 0 选考方案确定的有 20 人 6 10 20 16 2 6 女生 选考方案待确定的有 12 人 2 8 10 0 0 2 （Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ （Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有 9.99 ％把握认为选历史是否与性别有关？ 选历史 不选历史 总计 选考方案确定的男生 选考方案确定的女生 总计 （Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出 2 名，设随机变量 0, (2 1, (2     名男生选考方案不同) 名男生选考方案相同)， 求 的分布列及数学期望 E ． 附： 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d         ． P(K2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 19．解析：（1）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有 8 人，选考方案确定的女生中 确定选考生物的学生有 20 人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 28 36 840 39236 60   人．……………………………………………………………………………………2 分 （2） 选历史 不选历史 总计 选考方案确定的男生 4 12 16 选考方案确定的女生 16 4 20 总计 20 16 36 由列联表可得， 2 2 2 2 36 (4 4 12 16) 36 16 11 1089 10.89 10.82820 16 20 16 20 16 20 16 100K                ， 所以有 99.9%的把握认为选历史与性别有关．…………………………………………………………6 分 （3）由数据可知，选考方案确定的男生中有 8 人选择物理、化学和生物；有 4 人选择物理、化学和历史； 有 2 人选择物理、化学和地理；有 2 人选择物理、化学和政治．由已知得 的取值为 0，1． 则 2 2 2 2 8 4 2 2 2 16 3 7( 1) , ( 0) 1 ( 1)10 10 C C C CP P PC            ． 所以 的分布列为：  0 1 P 7 10 3 10 所以 7 3 30 110 10 10E      ． 20．（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知圆 1C ： )0(222  rryx 与直线 0l ： 22 xy 相切，点 A 为圆 1C 上一动点， xAN  轴于点 N ，且动点 M 满足OM AM ON     ，设动点 M 的轨迹 为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）设 QP, 是曲线C 上两动点，线段 PQ 的中点为T ， OQOP, 的斜率分别为 21,kk ，且 4 1 21 kk ， 求 OT 的取值范围． 20．解析：（1）设动点 0 0( , ), ( , )M x y A x y ，由于 AN x 轴于点 N ， 0( ,0)N x ． 又因为圆 2 2 2 1 : ( 0)C x y r r   与直线 0l ： 2 2y x  即 2 2 0x y   相切， 2 2 2 2 r   ，所以圆 2 2 1 : 4C x y  ， 由题意，OM AM ON     ，得 0 0 0 0 0 0 2( , ) ( , ) ( ,0), 2 0 x x xx y x x y y x y y         ，即 0 0 2 x x y y    ， 又点 A 为圆 1C 上一动点， 2 24 4x y   ，所以曲线C 的方程为 2 2 14 x y  ……………………5 分 （2）当 PQ 的斜率不存在时，设直线OP 的方程为： 1 2y x ，不妨取点 22, 2P      ， 则 22, , ( 2,0)2Q T     ， 2OT  ． 当 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为： 1 1 2 2, ( , ), ( , )y kx m P x y Q x y  ， 由 2 24 4 y kx m x y      ，可得 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m     ， 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 8 4 4 1, , , 4 01 4 1 4 4 km mx x x x k k y y x xk k             ， 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24( )( ) (4 1) 4 ( ) 4kx m kx m x x k x x km x x m         2 2 2 2 2 324 4 4 01 4 k mm mk     ， 化简得： 2 2 2 12 1 4 , 2m k m   ≥ ． 2 2 2 2 2 2 264 4(4 1)(4 4) 16(4 1 ) 16 0k m k m k m m          ， 设 0 0( , )T x y ，则 1 2 0 0 02 4 2 1,2 1 4 2 x x km kx y kx mk m m         ． 2 2 2 2 0 0 2 2 2 4 1 3 1 22 ,2 , , 24 4 2 2 kOT x y OTm m m                  ． 综上， OT 的取值范围是 2 , 22       ．………………………………………………………………12 分 21．（本小题满分 12 分）已知函数 axxxxxf  1ln)()( 2 ， baxxaxxg  2)1(3 2)( 23 ， Rba, ． （Ⅰ）求函数 )(xg 的单调区间； （Ⅱ）若 ( ) ( )f x g x≤ 恒成立，求 ab 2 的最小值． 21．解析：（1）函数定义域为( , )  ． 2( ) 2 2(1 ) 2 2( 1)( )g x x a x a x x a        ，由 ( ) 0g x  ，得 1x   或 x a ． ①当 1a   时，当 ( , )x a  时， ( ) 0, ( )g x g x  在( , )a 上为增函数， 当 ( , 1)x a  时， ( ) 0, ( )g x g x  在( , 1)a  上为减函数， 当 ( 1, )x   时， ( ) 0, ( )g x g x  在( 1, )  上为增函数． ②当 1a   时， ( ) 0g x ≥ 恒成立，所以 ( )g x 在 ( , )  上为增函数． ③当 1a   时，当 ( , 1)x   时， ( ) 0, ( )g x g x  在( , 1)  上为增函数， 当 ( 1, )x a  时， ( ) 0, ( )g x g x  在( 1, )a 上为减函数， 当 ( , )x a  时， ( ) 0, ( )g x g x  在( , )a  上为增函数．……………………………………5 分 （2） ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x g x f x ≤ ≥ ，设 ( ) ( ) ( )F x g x f x  ，则 2 21( ) (2 1)ln ( ) 2 2(1 ) (2 1)(ln 1 )F x x x x x x a x a x x x ax               ， 因为 (0, )x  ，令 ( ) 0F x  ，得ln 1 0x x a    ． 设 ( ) ln 1h x x x a    ，由于 ( )h x 在 (0, ) 上单调递增，当 0x  时， ( )h x   ；当 x   时， ( )h x   ，所以存在唯一 0 (0, )x   ，使得 0( ) 0h x  ，即 0 0ln 1a x x   ． 当 00 x x  时， ( ) 0F x  ，所以 ( )F x 在 0(0, )x 上单调递减； 当 0x x 时， 0( ) 0F x  ，所以 ( )F x 在 0( , )x  上单调递增． 当 (0, )x  时， 2 3 2 min 0 0 0 0 0 0 0 2( ) ( ) ( )ln (1 )3F x F x x x x x a x ax b        2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2( )ln ( ln ) ( ln 1)3x x x x x x x x x x b          3 2 0 0 0 1 3 x x x b     ． 因为 ( ) ( )f x g x≤ 恒成立， 所以 3 2 min 0 0 0 1( ) 03F x x x x b     ≥ ，即 3 2 0 0 0 1 3b x x x ≥ ． 3 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 1 12 2 2ln 23 3b a x x x a x x x x        ≥ ． 设 3 21( ) 2ln 2, (0, )3x x x x x x        ， 则 3 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 3 2)( ) 2 1 x x x x x xx x x x x x             ， 当 0 1x  时， ( ) 0x  ，所以 ( )x 在 (0,1) 上单调递减； 当 1x  时， ( ) 0x  ，所以 ( )x 在 (1, ) 上单调递增． 当 (0, )x  时， min 5( ) (1) 3x    ． 所以当 0 1x  时， min 5( 2 ) 3b a   ．……………………………………………………………………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程 为 12sin3cos 2222   ，直线l 的参数方程为 t ty tx ( 2 2 2 22         为参数 ) ．直线l 与曲线C 分别交 于 NM, 两点． （Ⅰ）若点 P 的极坐标为 ),2(  ，求 PNPM  的值； （Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值． 22．解析：（1）曲线C 的标准方程为 2 2 112 4 x y  ， P 的坐标为( 2,0) ， 将直线l 的参数方程为 22 2 2 2 x t y t       代入曲线C 的标准方程，得： 2 2 4 0t t   ， 则 1 2 4PA PB t t   ．……………………………………………………………………………………5 分 （2）由曲线C 的标准方程 2 2 112 4 x y  ，可设曲线C 上的动点 (2 3 cos , 2sin )A   ， 则以 A 为顶点的内接矩形周长为 4(2 3 cos 2sin ) 16sin , 03 2             ． 因此该内接矩形周长的最大值为 16，当且仅当 6   时等号成立．……………………………………10 分 23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 设函数 )0(1)(  aaxaxxf ， xxxg  2)( ． （Ⅰ）当 1a 时，求不等式 ( ) ( )g x f x≥ 的解集； （Ⅱ）已知 ( ) 2f x ≥ 恒成立，求 a 的取值范围． 23．解析：（1）当 1a  时， 2 , 1 ( ) 1 1 2, 1 1 2 , 1 x x f x x x x x x            ≤ ≥ ， 当 1x ≤ 时， 2 2x x x ≥ ，解得 1x ≤ ； 当 1 1x   时， 2 2x x ≥ ，解得 1x ≤ 或 2x≥ ，舍去； 当 1x≥ 时， 2 2x x x ≥ ，解得 3x≥ ． 综上，原不等式的解集为{ | 1x x ≤ 或 3}x≥ ． （2） 1( 1) 1 , , 1( ) 1 ( 1) 1 , , ( 1) 1 , a x a x a f x ax x a a x a x aa a x a x a                      ≤ ≥ 当 0 1a ≤ 时， 2 min ( ) ( ) 1 2, 1f x f a a a   ≥ ； 当 1a  时， min 1 1( ) 2, 1f x f a aa a         ≥ ， 综上， [1, )a  ．……………………………………………………………………………………10 分