山西省朔州市平鲁区李林中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理）试卷

山西省朔州市平鲁区李林中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理）试卷

高二数学理科试卷 ‎ 评卷人 得分 一、单项选择（每小题5分，共60分）‎ ‎1、下列说法中正确的是（　　）‎ A．有两个面平行，其余各面都是三角形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台 C．有一个面是多边形，其余各面都是五边形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 ‎2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　)‎ A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆锥 D．一个圆柱、两个圆锥 ‎3、有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．12πcm2 B．15πcm2 C． 24πcm2 D．36πcm2‎ ‎4、将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、已知直线//平面，直线平面，则（ ）．‎ A．// B．与异面 C．与相交 D．与无公共点 ‎7、如图，是水平放置的的直观图，则的面积为 A. 6 B. C. 12 D. ‎ ‎8、长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） ‎ A． B． C． D．都不对 ‎9、已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎10．空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)‎ A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形 ‎11、在三棱锥中，，为等边三角形，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（　　）‎ A．点P到平面QEF的距离 B．三棱锥P﹣QEF的体积 C．直线PQ与平面PEF所成的角 D．二面角P﹣EF﹣Q的大小 评卷人 得分 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________。‎ ‎14、若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是________．‎ ‎15、正四棱柱中， ，则与平面所成角的正弦值为_________‎ ‎16、如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①BD⊥AC； ②△BAC是等边三角形；‎ ‎③三棱锥D－ABC是正三棱锥； ④平面ADC⊥平面ABC。‎ 其中正确的是___________‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17、(12分)如图1，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形.‎ (1) 根据图2所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； ‎ ‎ (2)求侧棱PA的长.‎ ‎18、(10分)球的两个平行截面的面积分别是5π，8π，两截面间的距离为1，求球的半径．‎ ‎19、(12分)如图四边形为梯形，，，图中阴影部分（梯形剪去一个扇形）绕旋转一周形成一个旋转体.‎ ‎（1）求该旋转体的表面积； （2）求该旋转体的体积.‎ ‎20、(12分)如图，边长为4的正方形与矩形所在平面互相垂直，分别为的中点，．‎ ‎（1）求证：平面； （2）求证：平面；‎ ‎（3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎21、(12分)如图，在三棱柱中，平面，为正三角形，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎22、(12分)已知四棱锥（如图）底面是边长为2的正方形.‎ 平面，，,分别为,的中点，于.‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ 高二数学理科试卷 答案 ‎ 一． 选择题 ‎1--5 DDCAB 6--10 DCBBB 11--12 BC 二． 填空题 13. 14. 15. 16.①②③‎ 三、解答题 ‎17、解(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.‎ ‎(2)由侧视图可求得 由正视图可知AD＝6且AD⊥PD，‎ 所以在Rt△APD中，‎ ‎18、解。设两个平行截面圆的半径分别为r1，r2，球半径为R，则由πr＝5π，得r1＝.由πr＝8π，得r2＝2.‎ ‎(1)如图所示，当两个截面位于球心O的同侧时，有－＝1，所以＝1＋，解得R＝3.‎ (2) 当两个截面位于球心O的异侧时，有＋＝1.此方程无解．‎ ‎ 所以球的半径是3‎ ‎19、解：（1）‎ 旋转后的几何体是一个圆台从上面挖去一个半球，‎ 旋转体的表面积由三部分组成：‎ ‎，‎ ‎∴旋转体的表面积为.‎ ‎（2）该旋转体的体积由两部分相减而得 ‎，‎ ‎∴旋转体的体积为.‎ ‎20.解：（I）因为为正方形，所以。‎ 因为平面,,，所以.‎ ‎（Ⅱ）连结 因为是的中点，且为矩形，所以也是的中点。因为是的中点，所以∥，因为,所以MN∥平面CDFE。‎ ‎（Ⅲ）过点作交线段于点,则点即为所求。因为ABCD为正方形，所以∥。因为，所以，因为,所以。因为，且，所以,因为,所以。因为与相似，所以,因为，所以。‎ ‎21、解：（Ⅰ）证明：因为底面，所以 因为底面正三角形，是的中点,所以 因为，所以平面 因为平面平面,所以平面平面 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知中，，‎ 所以 所以 ‎22、1、【答案】方法一:（Ⅰ）证明：∵平面，平面,∴.‎ ‎∵ ,分别为,的中点,且四边形是正方形,∴ ‎ ‎∵平面,平面,且 ‎∴平面. …………………………………3分 平面,‎ ‎ ∴平面⊥平面. ……………………4分 ‎（Ⅱ）解:由（Ⅰ）平面, 及平面,平面 知 ‎ ‎∵平面平面 ‎∴为二面角的平面角. …………………11分 在中, ,‎ 故二面角的余弦值为 …………12分 方法二: 解：∵四棱锥的底面是边长为2的正方形, 且平面，‎ ‎∴以为原点,射线分别为轴的正半轴,可建立空间直角坐标系(如图).‎ ‎∴‎ ‎,分别为,的中点,‎ ‎∴‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎∴， ‎ ‎∵平面,平面,且 ‎∴平面. ………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）设平面的一个法向量为，‎ 则 取.‎ ‎, 平面,平面,‎ ‎∴平面, 是平面的一个法向量.‎ 由图形知二面角的平面角是锐角,‎ 故 所以二面角的余弦值为 …………12分