广东省中山市第一中学2013届高三第五次月考数学(理)试题

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广东省中山市第一中学2013届高三第五次月考数学(理)试题

‎2013届中山市第一中学第五次月考 数学(理科) 2012.12‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 1. 已知全集,集合,,则 (  )‎ A. B. C. D.‎ 2. 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别是 (  )‎ A.、‎ B.、‎ C.、‎ D.、‎ 3. 已知函数,若,则实数 (  )‎ A. B. C.或 D.或 4. 直线与圆的位置关系是 (  )‎ A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 5. 在区间上任取两个数、,则方程有实根的概率为 (  )‎ A. B. C. D.‎ 6. 已知,则“”是“”的 (  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 抽气机每次抽出容器内空气的%,要使容器内剩下的空气少于原来的%,则至少要抽(参考数据:,) (  )‎ A.次 B.次 C.次 D.次 8. 在所在的平面上有一点,满足,则与 的面积之比是 (  )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.本大题分为必做题和选做题两部分.‎ 开始 ‎(一)必做题:第题为必做题,每道试题考生都必须作答.‎ 输入 1. 若复数是实数,则实数    .‎ 2. 已知,则      .‎ 3. 根据定积分的几何意义,计算:      .‎ 4. 按如图所示的程序框图运算:‎ 若输入,则输出     ;‎ 若输出,则输入的取值范围是      .‎ ‎(注:“”也可写成“”或“”,均 否 表示赋值语句)‎ 是 ‎(二)选做题:第题为选做题,考生只能选做其中的两 ‎ 题,三题全答的,只计算前两题的得分.‎ 结束 输出、‎ 5. ‎(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点 作圆的切线,则切线的极坐标方程是      .‎ 6. ‎(不等式选讲选做题)若、、,且,则的最小值等于      .‎ 7. ‎(几何证明选讲选做题)在平行四边形中,点在边上,且,与交于点,若的面积为,则的面积为    .‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 8. ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数的图像经过点和.‎ ‎(Ⅰ)求实数和的值;‎ ‎(Ⅱ)当为何值时,取得最大值.‎ 1. ‎(本小题满分12分)‎ 某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数,其 中的各位数字中,,()出现的概率为,出现的概率为,记,当该计算机程序运行一次时,求随机变量的分面列和数学期望.‎ 2. ‎(本小题满分14分)‎ 如图1所示,在边长为12的正方形中,点、在线段上,且,‎ ‎,作∥,分别交、于点、,作∥,分别交、于点、,将该正方形沿、折叠,使得与重合,构成如图2所示的三棱柱.‎ ‎ (Ⅰ)在三棱柱中,求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求平面将三棱柱分成上、下两部分几何体的体积之比;‎ ‎(Ⅲ)在三棱柱中,求直线与直线所成角的余弦值.‎ 1. ‎(本小题满分14分)‎ 已知数列中,,(且).‎ ‎(Ⅰ)若数列为等差数列,求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ 2. ‎(本小题满分14分)‎ 已知函数(其中为自然对数的底).‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若,证明:.‎ 1. ‎(本小题满分14分)‎ 已知抛物线()和点,若抛物线上存在不同的两点、‎ 满足.‎ ‎ (Ⅰ)求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)当时,抛物线上是否存在异于、的点,使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎2013届中山市第一中学第五次月考 数学(理科)参考答案 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C A C B B A D C 二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.本大题分为必做题和选做题两部分.‎ ‎(一)必做题:第题为必做题,每道试题考生都必须作答.‎ ‎9. 10. 11. 12.,‎ ‎(二)选做题:第题为选做题,考生只能选做其中的两题,三题全答的,只计算前两题的得分.‎ ‎13. 14. 15.‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 16. 解:(Ⅰ)依题意,有 ‎;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:‎ ‎.‎ ‎ 因此,当,即()时,取得最大值.‎ 17. 解:依题意,知的可能取值为,其概率分别为 表示()中全为零,故;‎ 表示()中恰有一个1,故;‎ 表示()中恰有两个1,故;‎ 表示()中恰有三个1,故;‎ 表示()中全部为1,故.‎ 因此,的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 的数学期望为 ‎.‎ 16. 解:(Ⅰ)证明:因为,,所以,从而有 ‎,即.‎ 又因为,而,所以 平面;‎ ‎(Ⅱ)因为,,所以 ‎,‎ 从而. 又因为 ‎,‎ 所以平面将三棱柱分成上、下两部分几何体的体积之比为 ‎;‎ ‎(Ⅲ)如图建立空简直角坐标系,则 ‎、、‎ ‎、,‎ 所以,.‎ ‎ 设直线与直线所成角为,则 ‎.‎ 16. 解:(Ⅰ)因为(且),所以 ‎.‎ 显然,当且仅当,即时,数列为等差数列;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论知:数列是首项为,公差为1的等差数列,‎ 故有,即 ‎().‎ 因此,有 ‎ ,‎ ‎ ,‎ 两式相减,得 ‎ ,‎ 整理,得 ‎().‎ 17. 解:(Ⅰ)因为,所以.‎ 显然,当时,;当时,.因此,在上单调 递减,在上单调递增.‎ 因此,当时,取得最小值;‎ ‎(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知:当时,有,即,故 ‎(),‎ 从而有 ‎.‎ 16. 解:(Ⅰ)由知:是线段的中点.‎ 设直线:,则 ‎.‎ 依题意,有. ……①‎ 又由,由此及①可得 ‎,即;‎ ‎(Ⅱ)若存在满足条件的点,则因为是线段的中点,所以,即 经过的外接圆圆心,故与抛物线在点处的切线垂直,即直线与抛物线在点处的切线平行.‎ 当时,由①知:直线的斜率,从而抛物线在点处的切线的斜率 为1,故由,知:点的坐标为.‎
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