【推荐】专题28 数学文化-2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练

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一、选择题 ‎1.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤；在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间3尺的重量为 A. 6斤 B. 9斤 C. 10斤 D. 12斤 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：此问题是一个等差数列‎{an}‎,设首项为,则a‎5‎‎=4‎,∴中间尺的重量为‎3a‎3‎=a‎1‎‎+‎a‎5‎‎2‎×3=‎2+4‎‎2‎×3=9‎斤．故选：B．‎ ‎2.“珠算之父”程大位是我国明代伟大数学家,他的应用数学巨著《算法统综》的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”（［注释］三升九：3.9升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为 A. 1.9升 B. 2.1升 C. 2.2升 D. 2.3升 ‎【答案】B ‎ 3.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语.关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰：“倍上表,下表从之.亦倍下表,上表从之,各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一,以此算法,现有上下底面为相似矩形的棱台,相似比为‎1‎‎2‎,高为3,且上底面的周长为6,则该棱台的体积的最大值是 A. 14 B. 56 C. ‎63‎‎4‎ D. 63‎ ‎【答案】C ‎ 4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有邹亮,下广三丈,茅四仗,无广；高一丈,问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体,下底面宽仗长仗；上棱长仗,高一丈,问它的体积是多少？”已知丈为‎10‎尺,现将该锲体的三视图给出右图所示,齐总网格纸小正方形的边长1丈,则该锲体的体积为 A. ‎5000‎立方尺 B. ‎5500‎立方尺 C. ‎6000‎立方尺 D. ‎6500‎立方尺 ‎【答案】A ‎5.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”,当输入a=6102,b=2016‎时,输出的a=‎ A. 6 B. 9 C. 12 D. 18‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：模拟程序框图的运行过程,如下； a=6102,b=2016,执行循环体,r=54,a=2016,b=54,不满足退出循环的条件,执行循环体,r=18,a=54,b=18,不满足退出循环的条件,执行循环体,r=0,a=18,b=0,满足退出循环的条件r=0,退出循环,输出a的值为18. ‎ ‎6.《九章算术》是我国古代的数字名著,书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知五人分5钱,两人所得与三人所得相同,且每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中,所得为 A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 ‎【答案】A ‎ 7.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完. 这样,每日剩下的部分都是前一日的一半. 如果把“一尺之棰”看成单位“”,那么剩下的部分所成的数列的通项公式为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由“一尺长的木棒,每日取其一半.”可知每天剩下的木棒构成一个首相为1,公比为‎1‎‎2‎的等比数列.所以该数列的通项公式为.故选C.‎ ‎8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1/2（弦矢+矢2）.弧田（如图）,由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为‎2π‎3‎,半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为 A. 6平方米 B. 9平方米 C. 12平方米 D. 15平方米 ‎【答案】B ‎ 9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为 A. 24里 B. 12里 C. 6里 D. 3里 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：记每天走的路程里数为,易知是公比的等比数列,,,故选 C. ‎ ‎10.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月（按30天计算）共织390尺布,记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17的值为 A. 55 B. 52 C. 39 D. 26‎ ‎【答案】B ‎ 11.吴敬《九章算法比类大全》中描述：远望巍巍塔七层,红灯向下成培增,共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯？‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据“红灯向下成培增”可得该塔每层的灯从上到下构成一个等比数列‎{an}‎ ,公比为2,其中n=7,S‎7‎=381‎.由等比数列的前n项和公式可得a‎1‎‎(1-‎2‎‎7‎)‎‎1-2‎‎=381∴a‎1‎=3‎ .故选C.‎ ‎12.公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的n值为 (参考数据：‎3‎‎=1.732‎,sin15°≈0.2588‎,sin7.5°≈0.1305‎)‎ A. ‎12‎ B. ‎24‎ C. ‎48‎ D. ‎‎96‎ ‎【答案】B ‎ 13.远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满七进一,根据图示可知,孩子已经出生的天数 A. 336 B. 510 C. 1326 D. 3603‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意满七进一,可得该图示为七进制数, 化为十进制数为‎1×‎7‎‎3‎+3×‎7‎‎2‎+2×7+6=510‎,故选B.‎ ‎ ‎ ‎14.欧拉公式eix‎=cosx+isinx（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e‎2i表示的复数在复平面中位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎ 15. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”,下底面宽AD＝3‎丈,长AB＝4‎丈,上棱EF＝2‎丈,EF∥平面ABCD.EF与平面ABCD的距离为1丈,问它的体积是 ‎ A. 4立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈 D. 8立方丈 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 延长EF、FE分别到H、G,且|FH|=|EG|=1,则该几何体为直三棱柱,三棱锥F-BCH的体积为V=‎1‎‎3‎×SΔBCH×|FH|=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×3×1×1=‎‎1‎‎2‎ ,三棱柱的体积为V‎'‎‎=SΔBCH⋅|AB|=‎1‎‎2‎×3×1×4=6‎ ,所以所求体积为V‎'‎‎-2V=6-1=5‎ .故选B.‎ ‎16.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题：‎ ‎①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个；‎ ‎②函数f(x)=ln(x‎2‎+x‎2‎‎+1‎)‎可以是某个圆的“优美函数”；‎ ‎③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；‎ ‎④函数y=f(x)‎是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)‎的图象是中心对称图形.其中正确的有 A. ①③ B. ①③④ C. ②③ D. ①④‎ ‎【答案】A ‎ 17.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平,其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=‎‎1‎‎4‎‎[c‎2‎a‎2‎-‎(c‎2‎‎+a‎2‎-‎b‎2‎‎2‎)‎‎2‎]‎.现有周长为‎2‎2‎+‎‎5‎的‎△ABC满足sinA:sinB:sinC=(‎2‎-1):‎5‎:(‎2‎+1)‎,试用以上给出的公式求得‎△ABC的面积为 A. ‎3‎‎4‎ B. ‎3‎‎2‎ C. ‎5‎‎4‎ D. ‎‎5‎‎2‎ ‎【答案】A 二、填空题 ‎18.埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外,其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包,要平均分给5个人,如果每人,不够,每人,余,再将这分成5份,每人得,这样每人分得．形如的分数的分解：按此规律,____________；____________．‎ ‎【答案】 (1). ‎1‎‎6‎‎+‎‎1‎‎66‎； (2). ‎‎1‎n+1‎‎2‎‎+‎‎1‎n(n+1)‎‎2‎ ‎ 19.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经‎90‎‎∘‎榫卯起来,如图3,若正四棱柱体的高为,底面正方形的边长为,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计） ‎ ‎【答案】‎‎41π ‎ 20.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1）,即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上,解答以下问题：已知椭圆的标准方程为y‎2‎‎25‎‎+x‎2‎‎4‎=1‎ ,将此椭圆绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体（图2）,其体积等于______．‎ ‎【答案】‎‎80π‎3‎ ‎【解析】椭圆的长半轴为5,短半轴为2,现构造一个底面半径为2,高为5的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．‎ ‎21.艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)‎零点时给出一个数列‎{xn}‎：满足xn+1‎‎=xn-‎f(xn)‎f'(xn)‎,我们把该数列称为牛顿数列.‎ 如果函数f(x)=ax‎2‎+bx+c(a>0)‎有两个零点1,2,数列‎{xn}‎为牛顿数列,设an‎=lnxn‎-2‎xn‎-1‎,已知a‎1‎‎=2,xn>2‎,则‎{an}‎的通项公式an‎=‎__________．‎ ‎【答案】‎‎2‎n ‎ ‎ ‎22.公元前3世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”,此即,欧几里得未给出的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解,他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”.类似地,对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中, 表示底面圆的直径；在正方体中, 表示棱长）.假设运用次体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面积的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为、、,那么__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得,球的体积为； 、‎ ‎ 等边圆柱的体积为；‎ 正方体的体积,所以 ‎. ‎