专题05+恒成立问题，能成立问题的处理方法-2019年高考数学二轮复习之重难点微专题突破训练

专题05+恒成立问题，能成立问题的处理方法-2019年高考数学二轮复习之重难点微专题突破训练

类型一 ： “ )(xfa  ”型 一、（恒成立） （1） 恒成立 ； （2） 恒成立 ； 二、（能成立、有解）： （1） 能成立 ； （2） 能成立 ； 三、（恰成立） （1）不等式   Axf  在区间 D 上恰成立  不等式   Axf  的解集为 D ； （2）不等式   Bxf  在区间 D 上恰成立  不等式   Bxf  的解集为 D . 四、（方程有解） 方程 ( )m f x 在某个区间上有解，只需求出 ( )f x 在区间上的值域 A 使 m A 。 例 1：当 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 因为 ，所以不等式 恒成立转化为 恒成立．由 ，得 ，而函数 为减函数，所以当 时， ， 所以 ，即 ． 例 2. 若函数 在 上恒有零点，则实数 的取值范围是________. 【答案】 例 3．已知存在实数 ,使得关于 的不等式 恒成立,则 的最大值为________. 【答案】 【解析】 不等式 恒成立等价于 .因为 在定义域 上单调 递增,所以 ,因此 ,即 的最大值为 . 【掌握练习】 1、函数 在 上 恒成立，则 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 由题意得 ，令 ，则 ，因此 ，从而 ． 2、已知正实数 ,满足 ,若不等式 有解则实数 的取值范围是______. 【答案】 3、若存在实数 ，使不等式 成立，则 的取值范围为________． 【答案】 【解析】 存在实数 ，使不等式 成立， 则可以转化为存在实数 ，使不等式 成立， 即 ，令 ， 在 ， .故 . 则 的取值范围为 . 4、当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 当 时，不等式恒成立；当 时， 原不等式等价于 ，设 ，此时 ， 即 ；当 时， 原不等式等价于 ， 此时 ，即 ，综上 . 类型二：“ ”型 例：已知函数 ,若对任意 都有 成立,则实数 的取值范围是 ___________. 【答案】 【解析】 对任意 都有 成立,∴ .转成 ,∴ ,当且仅当 时等号成立. 【掌握练习】 1、已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是________. 【答案】 2、若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 ，则 ，设 ，则 . 当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增， 所以 ，则 ，故实数 的取值范围是 ． 类型三：“ ”型 （恒成立和能成立交叉）： 1. 成立 ； 2. 成立 ； 3. 成立 ； 4. ； 例 1. 已知函数 （ 为常数）． （1）若 是函数 的一个极值点，求 的值； （2）当 时，试判断 的单调性； （3）若对任意的 , ，使不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】 （1） ； （2） 在 上是增函数； （3） （3）当 时，由(2)知， 在 上的最小值为 ， 故问题等价于：对任意的 ，不等式 恒成立， 即 恒成立，记 ，（ ）， 则 ，令 ， 则 ，所以 在 上单调递减，所以 , 故 ，所以 在 上单调递减， 所以 ，即实数 的取值范围为 ． 例 2. 记 .若对任意的 ,恒有 ,求 的取值范围. 【答案】 【掌握练习】 1、（2010 山东）已知函数 ( )a R . （1）当 1 2a  时，讨论 ( )f x 的单调性； （2）设 当 1 4a  时，若对任意 1 (0,2)x  ，存在  2 1,2x  ，使 ，求实 数b 取值范围. 【答案】 （1）详见解析 （2） 17[ , )8  【解析】 (Ⅰ)当 0a  时，函数 ( )f x 在 (0,1) 单调递减， (1, ) 单调递增； 当 1 2a  时 1 2x x ， ( ) 0h x  恒成立，此时 ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 在 (0, ) 单调递减； 当 10 2a  时，函数 ( )f x 在 (0,1) 单调递减， 1(1, 1)a  单调递增， 1( 1, )a   单调递减. （Ⅱ）当 1 4a  时， ( )f x 在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意 1 (0,2)x  ，有 ，又已知存在  2 1,2x  ，使 ，所以 2 1 ( )2 g x  ，  2 1,2x  ，（※） 又 当 1b  时， 与（※）矛盾； 当  1,2b 时， 也与（※）矛盾； 当 2b  时， . 综上，实数b 的取值范围是 17[ , )8  . 2、已知函数 ，若对任意 x1，x2∈[-2,2]，都有 f(x1)＜g(x2)，求 c 的 范围. 【答案】 c＜-24 3、设 ,函数 ,若对任意的 ,存在 成立,则实数 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 对任意 存在 使 ，只需 ， ， 为对勾函数， ， ， . 比较 ， ∴， ， 在 上减函数， ， ①当 时，只需 ， ②当 时，只需 . 综上， . 4、已知函数 ,实数 满足 ,若 , ,使得 成立,则 的最大值为________． 【答案】4 【解析】 ∵ ，∴ ，分母恒大于 ，且 ，由题意讨论 即可，则当 时， ， 调递减； 当 时， ， 单调递增，所以 ， ，作 数的图象如图所示，当 时，方程 两边两根分别为 和 ，则 的最大值为 . 类型四： “ ”型 ： 例：已知函数 ，若对任意 x∈R，都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1-x2|的最小值为____. 【答案】2 【掌握练习】 1、对于不等式 ，试求对区间 上的任意 都成立的实数的取值范 围． 【答案】 2、已知函数 ，其中 ． （1）求函数 的单调区间； （2）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围． 【答案】 （1）详见解析； （2） ． 【解析】 （1）∵ ，∴ ， ∴当 时， 在 和 上均递增，又∵ ，∴ 在 上递增，当 时， 在 和 上递增，在 上递减； （2）由题意只需 ， 即可，由（1）可知， 在 上恒递增， 则 或 ， ， 综上，实数 的取值范围是 ． 类型五：（1）“|f(x1)＜f(x2)|＜t(t 为常数)”型； （2）“|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|”型： 例 1：已知函数 f(x)=-x4+2x3，则对任意 t1，t2∈[- ,2](t1＜t2)都有|f(x1)-f(x2)|≤____恒成立，当且仅 当 t1=____，t2=____时取等号. 【答案】2 例 2： 已知函数 f(x)=x3+ax+b，对于 x1,x2∈(0, )(x1≠x2)时总有|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|成立，求实数 a 的范围. 【答案】-1≤a≤0 【解析】 由 f(x)=x3+ax+b，得 f′(x)=3x2+a，当 x∈(0, )时，a＜f′(x)＜1+a. ∵|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|，∴ ，∴ ∴-1≤a≤0.