2020八年级数学上册第13章轴对称13

2020八年级数学上册第13章轴对称13

‎13.3.2‎‎ 等边三角形 学校：___________姓名：___________班级：___________‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．如图，△AOB是边长为2的等边三角形，顶点A的坐标是（　　）‎ A．（，） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（，﹣1）‎ ‎2．平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．则平面上等边△ABC的巧妙点有（　　）个．‎ A．7 B．‎8 ‎C．9 D．10‎ ‎3．在△ABC中，AB=BC=AC=6，则△ABC的面积为（　　）‎ A．9 B．‎18 ‎C．9 D．18‎ ‎4．下列几种三角形：①有一个角为60°的等腰三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的三角形；④有一外角为120°的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎5．等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（　　）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形 ‎6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（　　）‎ 22‎ A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状 ‎7．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎8．在下列结论中：‎ ‎（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；‎ ‎（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；‎ ‎（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；‎ ‎（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎9．已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：‎ ‎①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；‎ ‎②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；‎ ‎③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．‎ 上述说法中，正确的有（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=‎6cm，DE=‎2cm，则BC的长为（　　）‎ A．‎4cm B．‎6cm C．‎8cm D．‎‎12cm ‎11．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=78°，∠BDC=24°，则∠DBC=（　　）‎ 22‎ A．18° B．20° C．25° D．15°‎ ‎12．在下列结论中：‎ ‎①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；‎ ‎②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；‎ ‎③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；‎ ‎④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎　‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎13．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=　 　．‎ ‎14．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于　 　，数字2012对应的点将与△ABC的顶点　 　重合．‎ ‎15．如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B‎1A2，△A2B‎2A3，△A3B‎3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为　 　．‎ 22‎ ‎16．下列三角形：（1）有两个角等于60°；（2）有一个角等于60°的等腰三角形；（3）三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有　 　．‎ ‎17．在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，），B（﹣1，0），C（1，0）．‎ ‎（1）△ABC为　 　三角形．‎ ‎（2）若△ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3，则所得的图形与原来的三角形相比，主要的变化是　 　．‎ ‎18．如果三角形的三边a、b、c适合（a2﹣‎2ac）（b﹣a）=c2（a﹣b），则a、b、c之间满足的关系是　 　；有同学分析后判断△ABC是等边三角形，你的判断是　 　．‎ ‎19．如图，AB=AC，DB=DC，若∠ABC为60°，BE=‎3cm，则AB=　 　cm．‎ ‎20．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC=5，则这块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎21．已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求：∠B、∠C的度数，△ABC是什么三角形？‎ 22‎ ‎22．如图，在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？‎ ‎23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．‎ ‎（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；‎ ‎（2）若∠C=30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．‎ 22‎ ‎24．如图一，AB=AC，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB．问：（答题时，注意书写整洁）‎ ‎（1）图一中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）‎ ‎（2）过D点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如图二，图中现在增加了几个等腰三角形，选一个进行证明．‎ ‎（3）如图三，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）线段EF与BE、CF有什么关系，并证明．‎ ‎25．如图，△ABC中，AB=BC=AC=‎12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为‎1cm/s，点N的速度为‎2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．‎ ‎（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？‎ ‎（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？‎ 22‎ ‎（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．‎ ‎　‎ 22‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．‎ 解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，‎ ‎∵△AOB是等边三角形，‎ ‎∴AE⊥OB，∠OAE=30°，‎ ‎∴OE=OA=1，AE=．‎ ‎∵点A位于第二象限，‎ ‎∴（﹣1，）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．‎ 解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心，‎ ‎（2）点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图：‎ 共有9个点符合要求，‎ ‎∴具有这种性质的点P共有10个．‎ 故选：D．‎ 22‎ ‎　‎ ‎3．‎ 解：如图，作AD⊥BC于D，‎ ‎∵AB=BC=AC=6，‎ ‎∵AD为BC边上的高，则D为BC的中点，‎ ‎∴BD=DC=3，‎ ‎∴AD=，‎ ‎∴等边△ABC的面积=BC•AD=×6×3=9．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．‎ 解：因为有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，‎ 那么可由①，②，④推出等边三角形，‎ 而③只能得出这个三角形是等腰三角形．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 22‎ ‎5．‎ 解：如图，∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C．‎ ‎∵∠AEF=∠DEC=90°﹣∠C，‎ ‎∠F=90°﹣∠B，‎ ‎∴∠AEF=∠F．‎ 又∠A=120°，‎ ‎∴∠FAE=60°．‎ ‎∴△AEF是等边三角形．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．‎ 解：∵△ABC为等边三角形 ‎∴AB=AC ‎∵∠1=∠2，BE=CD ‎∴△ABE≌△ACD ‎∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°‎ ‎∴△ADE是等边三角形．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．‎ 解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，‎ 那么可由（1），（2），（4）推出等边三角形，‎ 而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 22‎ ‎8．‎ 解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．‎ ‎（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．‎ ‎（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．‎ ‎（4）若每一个角各取一个外角，则所有内角相等，即三角形是等边三角形；若一个顶点取2个的话，就不成立，该结论错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．‎ 解：①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，‎ 利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；‎ ‎②若添加条件为∠B=∠C，‎ 又∵∠A=60°，‎ ‎∴∠B=∠C=60°，‎ ‎∴∠A=∠B=∠C，‎ 则△ABC为等边三角形；‎ ‎③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：‎ 已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，‎ 求证：△ABC为等边三角形．‎ 证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，‎ ‎∴∠ADC=∠AEC=90°，‎ 在Rt△ADC和Rt△CEA中，‎ ‎，‎ 22‎ ‎∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），‎ ‎∴∠ACE=∠BAC=60°，‎ ‎∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，‎ ‎∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，‎ 综上，正确的说法有3个．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．‎ 解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，‎ ‎∵AB=AC，AD平分∠BAC，‎ ‎∴AN⊥BC，BN=CN，‎ ‎∵∠EBC=∠E=60°，‎ ‎∴△BEM为等边三角形，‎ ‎∴△EFD为等边三角形，‎ ‎∵BE=6cm，DE=2cm，‎ ‎∴DM=4cm，‎ ‎∵△BEM为等边三角形，‎ ‎∴∠EMB=60°，‎ ‎∵AN⊥BC，‎ ‎∴∠DNM=90°，‎ ‎∴∠NDM=30°，‎ ‎∴NM=2cm，‎ ‎∴BN=4cm，‎ ‎∴BC=2BN=8cm．‎ 故选：C．‎ 22‎ ‎　‎ ‎11．‎ 解：如图延长BD到M使得DM=DC，‎ ‎∵∠ADB=78°，‎ ‎∴∠ADM=180°﹣∠ADB=102°，‎ ‎∵∠ADB=78°，∠BDC=24°，‎ ‎∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=102°，‎ ‎∴∠ADM=∠ADC，‎ 在△ADM和△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADM≌△ADC，‎ ‎∴AM=AC=AB，‎ ‎∵∠ABD=60°，‎ ‎∴△AMB是等边三角形，‎ ‎∴∠M=∠DCA=60°，‎ ‎∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，‎ ‎∴∠BAO=∠ODC=24°，‎ ‎∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，‎ ‎∴24°+2（60°+∠CBD）=180°，‎ ‎∴∠CBD=18°，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．‎ 22‎ 解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；‎ ‎②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；‎ ‎③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；‎ ‎④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎13．‎ 解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=60°，AB=AC．‎ 又点D是边BC的中点，‎ ‎∴∠BAD=∠BAC=30°．‎ 故答案是：30°．‎ ‎　‎ ‎14．‎ 解：∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，‎ ‎∴﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣（x﹣3）；‎ ‎∴﹣3x=9，‎ x=﹣3．‎ 故A表示的数为：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，‎ 点B表示的数为：2x+1=2×（﹣3）+1=﹣5，‎ 即等边三角形ABC边长为1，‎ 数字2012对应的点与﹣4的距离为：2012+4=2016，‎ ‎∵2016÷3=672，C从出发到2012点滚动672周，‎ ‎∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合．‎ 故答案为：﹣3，C．‎ ‎　‎ ‎15．‎ 22‎ 解：∵△A1B1A2是等边三角形，‎ ‎∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，‎ ‎∴∠2=120°，‎ ‎∵∠MON=30°，‎ ‎∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，‎ 又∵∠3=60°，‎ ‎∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，‎ ‎∵∠MON=∠1=30°，‎ ‎∴OA1=A1B1=1，‎ ‎∴A2B1=1，‎ ‎∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，‎ ‎∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，‎ ‎∵∠4=∠12=60°，‎ ‎∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，‎ ‎∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，‎ ‎∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，‎ ‎∴A3B3=4B1A2=4，‎ A4B4=8B‎1A2=8，‎ A5B5=16B‎1A2=16，‎ 以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．‎ 故答案是：2n﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．‎ 22‎ 解：‎ ‎（1）根据已知求出∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形；‎ ‎（2）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；‎ ‎（3）由三个外角都相等，得出三角形的三个内角也相等，根据三角都相等的三角形是等边三角形；所以是等边三角形；‎ ‎（4）、‎ ‎∵AD=DC，BD⊥AC，‎ ‎∴AB=BC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AB=AC=BC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形；‎ 故答案为（1）（2）（3）（4）．‎ ‎　‎ ‎17．‎ 解：（1）如图，‎ 由题中条件可得，BC=2，OA=，OB=OC=1，‎ ‎∴AB=AC=2=BC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形；‎ ‎（2）如上图，若将△ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3，‎ 则所得的图形与原来的三角形全等，只不过相当于将△ABC向右平移3．‎ 22‎ ‎　‎ ‎18．‎ 解：∵（a2﹣2ac）（b﹣a）=c2（a﹣b），‎ ‎∴a≠b，‎ ‎∴a2﹣2ac=﹣c2，‎ ‎∴（a﹣c）2=0，‎ ‎∴a=c，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形，‎ ‎∴a、b、c之间满足的关系是a=c≠b，‎ 故答案为：a=c≠b，△ABC是等腰三角形．‎ ‎　‎ ‎19．‎ 解：在△ABD和△ACD中，‎ ‎∴△ABD≌△ACD．‎ ‎∴∠BAD=∠CAD．‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴BE=EC=3cm．‎ ‎∴BC=6cm．‎ ‎∵AB=AC，∠BAC=60°，‎ ‎∴△ABC为等边三角形．‎ ‎∴AB=6cm．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ 22‎ ‎20．‎ 解：连接AA′，‎ ‎∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC=5，‎ ‎∴AM=MC=A′M=MC′=2.5，‎ ‎∵∠MA′C=30°，‎ ‎∴∠MCA′=∠MA′C=30°，‎ ‎∴∠MCB′=180°﹣30°=150°，‎ ‎∴∠C′MC=360°﹣（∠MCB′+∠B′+∠C′）=360°﹣（150°+60°+90°）=60°，‎ ‎∴∠AMA′=∠C′MC=60°，‎ ‎∴△AA′M是等边三角形，‎ ‎∴AA′=AM=2.5．‎ 故答案为：2.5．‎ ‎　‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎21．‎ 解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B=∠C=60°．‎ ‎　‎ ‎22．‎ 解：连接DP，‎ ‎∵∠DOP=60°，OD=OP，‎ ‎∴△ODP是等边三角形，‎ 22‎ ‎∴∠OPD=60°，PO=PD，‎ ‎∵等边三角形ABC，‎ ‎∴∠A=∠B=60°，‎ ‎∴∠AOP+∠OPA=120°，∠OPA+∠DPB=120°，‎ ‎∴∠AOP=∠DPB，‎ 在△AOP和△BPD中 ‎，‎ ‎∴△AOP≌△BPD，‎ ‎∴AO=BP=2，‎ ‎∴AP=AB﹣AP=6﹣2=4‎ ‎　‎ ‎23．‎ 解：（1）BE垂直平分AD，理由：‎ ‎∵AM⊥BC，‎ ‎∴∠ABC+∠5=90°，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴∠ABC+∠C=90°，‎ ‎∴∠5=∠C；‎ ‎∵AD平分∠MAC，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∵∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C，‎ ‎∴∠BAD=∠ADB，‎ ‎∴△BAD是等腰三角形，‎ 又∵∠1=∠2，‎ ‎∴BE垂直平分AD．‎ ‎（2）△ABD是等边三角形．理由：‎ ‎∵∠5=∠C=30°，AM⊥BC，‎ ‎∴∠ABD=60°，‎ 22‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴∠CAM=60°，‎ ‎∵AD平分∠CAM，‎ ‎∴∠4=∠CAM=30°，‎ ‎∴∠ADB=∠3+∠C=60°，‎ ‎∴∠BAD=60°，‎ ‎∴∠ABD=∠BDA=∠BAD，‎ ‎∴△ABD是等边三角形．‎ ‎　‎ ‎24．‎ 解：（1）①∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB，‎ ‎∵BD、CD分别是角平分线，‎ ‎∴∠DBC=∠ABC=∠ACB=∠DCB，‎ ‎∴DB=DC，‎ ‎∴△BDC是等腰三角形，‎ 即在图1中共有两个等腰三角形；‎ ‎②∵EF∥BC，‎ ‎∴∠EDB=∠DBC，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠DBE=∠DBC，‎ ‎∴∠DBE=∠EDB，‎ ‎∴EB=ED，‎ ‎∴△EBD为等腰三角形，同理△FDC为等腰三角形，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴△AEF为等腰三角形，‎ 即在图2中增加了三个等腰三角形；‎ 22‎ ‎（2）同②可证明得△EBD为等腰三角形，△FDC为等腰三角形，‎ 所以EF=BE+CF，‎ 即只有两个等腰三角形．‎ ‎　‎ ‎25．‎ 解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，‎ x×1+12=2x，‎ 解得：x=12；‎ ‎（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，‎ AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，‎ ‎∵三角形△AMN是等边三角形，‎ ‎∴t=12﹣2t，‎ 解得t=4，‎ ‎∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．‎ ‎（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，‎ 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，‎ 如图②，假设△AMN是等腰三角形，‎ ‎∴AN=AM，‎ ‎∴∠AMN=∠ANM，‎ ‎∴∠AMC=∠ANB，‎ ‎∵AB=BC=AC，‎ ‎∴△ACB是等边三角形，‎ ‎∴∠C=∠B，‎ 在△ACM和△ABN中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ACM≌△ABN，‎ ‎∴CM=BN，‎ 22‎ 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，‎ ‎∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，‎ y﹣12=36﹣2y，‎ 解得：y=16．故假设成立．‎ ‎∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．‎ ‎　‎ 22‎