【推荐】专题03 空间几何体体积求法-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练x

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一、选择题 ‎1．已知某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几 何体的体积是 A. B. C. D. ‎【答案】C ‎ ‎ ‎2．【庄河市高级中学2018届高三开学考】已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 因为为等腰直角三角形，所以AC为截面圆的直径，故该三棱锥的外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，当P,O,D三点共线且P,O位于截面同一侧的棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为，所以，求出，设外接球的半径为则,在中，,由勾股定理得，解得,所以外接球的表面积为，选D.‎ 点睛：本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算，属于中档题。本题关键是由已知条件，画出草图。‎ ‎3．【2018届高考全国卷26省9月联考】若正四棱锥内接于球，且底面过球心，设正四棱锥的高为，则球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，正方形ABCD的外接圆是大圆，所以半径为1， 。选A. ‎ ‎4．【穆棱市2016-2017学年高一期末】棱长分别为的长方体的8个顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ ‎5．【深圳市宝安中学2016-2017学年高一期中】某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形如图②，其中则该几何体的体积为 ‎ A. B. C. D. ‎【答案】D 点睛：在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来的二分之一。斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍。‎ ‎6．【林州市第一中学2018届高三调研】如图，已知矩形中， ，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】结合几何体的特征可得，外接球的球心为AC的中点，则外接球半径： ，‎ 则外接球的体积： .‎ 本题选择D选项. ‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ ‎7．【安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联盟2018届高三摸底考】如图，某几何体的三视图是三个半径为2的圆及其部分，其中半径垂直，均为直径，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图． ‎ ‎8．【孝义市2018届高三上学期开学考】已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎ ‎ ‎9．【郑州市第一中学2018届高三入学考】某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（）（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为，，，长方体上底面截圆锥的截面半径为，则，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知，‎ ‎ ‎ 考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值. ‎ ‎【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.‎ 二、填空题 ‎10．【北京市怀柔区2016—2017学年度期末】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．‎ ‎【答案】 ‎【解析】依题意有体积为，故一共有（斛）米.‎ ‎11．【郑州市第一中学2017-2018高三】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．‎ ‎【答案】 ‎12．【铜陵市2016-2017学年高一期末】半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____.‎ ‎【答案】88.‎ ‎【解析】试题分析：设该长方体的高为x,则因为半径为的球的体积为，所以，即，所以长方体的表面积为，故应填88.‎ 考点：1、简单几何体的体积的求法. ‎ ‎13．【滁州市九校2016-2017学年高二联考】在四棱锥中，底面为平行四边形， 为的中点，则三棱锥与三棱锥体积之比为__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 三、解答题 ‎14．【2016-2017学年安徽省六安市第一中学高一】在如图所示的几何体中，四边形是正方形， 平面， 分别为的中点，且.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求三棱锥与四棱锥的体积之比.‎ ‎【答案】（1）（2）证明过程详见解析；（3）1：4‎ ‎【解析】试题分析：（1）欲证平面平面 ‎，根据面面垂直的判定定理可知在平面内一直线与平面垂直，而根据线面垂直的判定定理可知平面平面，满足定理条件；（2）证明，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（3）不妨设，求出，得到 ，求出PD，根据面，所以即为点到平面的距离，根据三棱锥的体积公式求出体积得到 的比值． ‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：∵分别为的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵四边形是正方形，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵在平面外， 在平面内，‎ ‎∴平面， 平面，‎ 又∵都在平面内且相交，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎ ‎ ‎(3)解：∵平面，四边形为正方形，不妨设，则.‎ ‎∵平面，且，‎ ‎∴即为点到平面的距离， ‎ ‎∴.‎ ‎15．【穆棱市2016-2017学年高一期末】在正方体中挖去一个圆锥，得到一个几何体，已知圆锥顶点为正方形的中心，底面圆是正方形的内切圆，若正方体的棱长为.‎ ‎(1)求挖去的圆锥的侧面积；‎ ‎(2)求几何体的体积.‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出圆锥的底面半径和母线，利用公式侧面积为即可；‎ ‎（2）正方体体积减去圆锥的体积即可.‎ ‎ ‎ ‎16．【广州市广东仲元中学2016-2017学年高二期末】五边形是由一个梯形与一个矩形组成的，如图甲所示，B为AC的中点， ． 先沿着虚线将五边形折成直二面角，如图乙所示．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．‎ ‎【答案】（1）证明详见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、锥体的体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力．第一问，由四边形为矩形，得，再由直二面角，得，再由勾股定理得，利用线面垂直的判定，得 ，最后利用面面垂直的判定，得平面平面；第二问，把图乙中的多面体拆成两个几何体，一个是锥体，一个是锥体，利用锥体体积公式分别计算，再求和即可．‎ 试题解析：（1）证明：四边形为矩形，故，又由于二面角为直二面角，故，故,‎ 由线段易知， ，‎ 即，因此 ，‎ 所以平面 ；（5分）‎ 考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、锥体的体积． ‎ ‎17．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三联考】如图1， 中， ，点为线段的四等分点，线段 互相平行，现沿折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面为正方形.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明： 四点共面；（2）求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）取FC中点M,连接EM,DM,易得EM||BC，可得四边形AEMD为平行四边形，进而可证得四点共面；‎ ‎（2）利用即可求体积.‎ ‎(2)‎ ‎ 如图， ‎18．【湖北省部分重点中学2018届高三起点考】如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为与的交点，平面，为中点，为中点．‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）若点为中点，，，，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往利用平几知识，如本题利用三角形中位线性质及平行四边形性质，取中点，由三角形中位线性质得，，因此，故四边形为平行四边形，即得（2）求三棱锥体积，关键确定高，可利用等体积法转化易求高的三棱锥：由于平面，所以 ‎【解析】试题分析：（1）设中点为，连结，，先利用中位线定理证明，结合已知可得四边形为平行四边形，进而，由线面平行的判定定理可得结论；（2）先利用等积变换得，再利用棱锥体积公式可得结果. ‎ ‎（2）由已知条件得，所以，‎ 所以．‎ 考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式.‎ ‎19．【吉林省辽源第五中学2016-2017学年高二期末考】在长方体中，分别是的中点，，过三点的的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求的长；‎ ‎（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).‎ ‎【解析】试题分析：(1)证得是平行四边形,得出线线平行,利用线面平行的判定定理证明命题成立；(2)利用等体积转化,求出；(3)在平面中作,过作,推出,证明,推出相似于,求得.‎ 试题解析：解：（1）在长方体中，可知，由四边形是平行四边形，所以.因为分别是的中点，所以，则，‎ 又面面，则平面．．．．．．．．．．．．4分 ‎（2）∵，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 考点：1.线面平行的判定定理；2.等体积求点线距；3.三角形相似. ‎ ‎20．【铜陵市2016-2017学年高一期末】已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为.‎ ‎（1）求该四面体的体积；‎ ‎（2）求该四面体外接球的表面积.‎ ‎【答案】（1）20（2） ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)将四面体放入一个长方体，列出方程求得长宽高，据此可得该四面体的体积是20；‎ ‎(2)结合(1)的结论可得外接球半径为，则外接球的表面积为.‎ ‎（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体的体对角线长，‎ 外接球的半径为，‎ 外接球的表面积为.‎ ‎21．【四川省树德中学2016届高考适应性测试】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）连结，通过勾股定理计算可知，由三线合一得出平面；（Ⅱ）根据中位线定理计算得出是边长为的正三角形，以为棱锥的底面，则为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算.‎ ‎（Ⅱ）侧棱底面, 面 由（Ⅱ）知： 平面,是三棱锥到平面的距离 分别是的中点, ， , 四边形是边长为的正方形， 是的中点 三角形是等边三角形 ‎ 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.‎ ‎22．【三明市2016-2017学年高一期末】在中，,‎ ‎（1）若，，将绕直线旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的体积；‎ ‎（2）设是的中点，，，求的面积.‎ ‎【答案】(1).(2).‎ ‎【解析】（1）过作，垂足为，‎ 则在中，，，‎ 在中，，，‎ 将绕所在直线旋转一周所成的几何体是以为底半径，以为高的两个圆锥，所以体积为 .‎ ‎ ‎ ‎，，‎ ‎ .‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎23．【三明二中2016-2017学年高一阶段考】如图，在正三棱柱中， ， ， 分别为和的中点.‎ ‎（1）求证： //平面；‎ ‎（2）若为中点，求三棱锥的体积. ‎ ‎【答案】（1）见解析（2） 试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连接和，因为和分别为和的中点，所以，且，则是平行四边形， ，又 ,所以//平面； ‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎