2018-2019学年湖北省钢城四中高二下学期期中考试数学（理）试题 word版

2018-2019学年湖北省钢城四中高二下学期期中考试数学（理）试题 word版

钢城四中2018—2019学年（下）期中考试卷 学科 数学（理）‎ 年级 高二 时间 ‎120‎ 分值 ‎150’‎ 第I卷（选择题)‎ 一、单选题 ‎1．“”是“”成立的　 　条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 ‎2．下列命题中错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题是真命题 B．命题“”的否定是“”‎ C．若为真命题，则为真命题 D．“使”是“”的必要不充分条件 ‎3．双曲线的焦点到渐近线的距离为　　‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎4．直线：与双曲线仅有一个公共点，则实数的值为（ ）‎ A． B．- C． D．‎ ‎5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则等于（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎6．如图，在正方体中，下面结论错误的是( ) ‎ A． B．‎ C． D．向量与的夹角为 ‎7．正方体的棱长为，点在且，为的中点，则为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在四面体中，点在上，且，为的中点，若，则使与共线的的值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎9．已知正方形的对角线与相交于点，将沿对角线折起，使得平面（如图），则下列命题中正确的是（ ）‎ A．直线，且直线 B．直线，且直线 C．平面，且平面 D．平面，且平面 ‎10．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是的中点，点与分别是和上的动点．若 ‎，则线段长度的最小值为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线：，为左，右焦点，直线过右焦点，与双曲线的右支交于两点，且点在轴上方，若，则直线的斜率为（ ）‎ A．1 B．-2 C．-1 D．2‎ ‎12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，与 在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，则的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为______．‎ ‎14．已知 的二面角的棱上有，两点，直线， 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知 ，，，则线段 的长为__________．‎ ‎15．三棱锥中，，，则直线与底面所成角的大小为________________．‎ ‎16．已知是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为______．‎ 三、解答题 ‎17．已知方程表示焦点在轴上的椭圆；方程表示双曲线．若“”为假命题，且“”为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，‎ A P C D B ‎，、分别是的中点．‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值。‎ ‎19．已知抛物线，双曲线.若抛物线与双曲线在第一象限的交点是，直线过点，斜率为2．‎ ‎（1）求双曲线的渐近线方程及其离心率.‎ ‎（2）求直线被抛物线所截得的弦长．‎ ‎20．如图，在四棱锥中，平面，，‎ ‎ 为中点，‎ ‎（1）证明：直线AB∥平面PCO；‎ ‎（2）求二面角P－CD－A的余弦值；‎ ‎（3）在棱PB上是否存在点N，使AN⊥平面PCD，若存在，求线 段BN的长度；若不存在，说明理由.‎ ‎21．设是抛物线上的一点，抛物线在点处的切线方程为。‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）已知过点（0，1）的两条不重合直线的斜率之积为1，且直线分别交抛物线E于A，B两点和C，D两点.是否存在常数使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎22．已知椭圆，过点的直线交椭圆于，两点，‎ 为坐标原点. ‎ ‎（1）若直线过椭圆的上顶点，求的面积；‎ ‎（2）若A，B分别为椭圆的左、右顶点，直线的斜率分别为，求证为定值.‎ ‎2018-2019钢城四中下学期期中考试理科数学参考答案 BCACBDAACADB ‎13．4 14． 15．45° 16．‎ ‎17．若为真，即方程表示焦点在轴上的椭圆，可得； ‎ 若为真，即方程表示双曲线，可得 ‎ 解得或 ‎ 若“”为假命题，且“”为真命题，则一真一假， ‎ 若真假，则，解得； ‎ 若假真，则，解得， ‎ 综上或．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎18．（1）由题意，△是等边三角形，因为是的中点，所以， 又平面，所以，所以平面． ‎ ‎（2）异面直线与所成角的大小为．‎ ‎19．双曲线：，则渐近线方程为，离心率，‎ 由，解得，‎ 点P在第一象限，‎ ‎，‎ 直线l的方程为，即，‎ 由，消y可得，从而，，‎ 直线l被抛物线所截得的弦长 ‎20．（1）因为AC=CD，O为AD中点，所以．又AB⊥AD，‎ 所以AB∥CO，又AB平面PCO，CO平面PCO，所以AB∥平面PCO．‎ ‎（2）因为PA=PD，所以PO⊥AD.又因为PO平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，‎ 所以PO⊥平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC=CD，所以CO⊥AD.‎ 如图建立空间直角坐标系O－.‎ 则A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，1）.‎ 设平面PCD的法向量为，‎ 则，得'‎ 令z=2，则．‎ 又平面ABCD的法向量为=（0，0，1），所以.‎ 由图形得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．‎ ‎（3）假设存在点N是棱PB上一点，使得AN⊥平面PCD，‎ 则存在∈[0，1]使得，‎ 因此.‎ 由（2）得平面PCD的法向量为.‎ 因为AN⊥平面PCD，‎ 所以∥，即.‎ 解得=∈[0，1]，‎ 所以存在点N是棱PB上一点，使AN⊥平面PCD，此时=.‎ ‎21．（1）【解法一】由消得.‎ 由题意得，因为，所以.‎ 故抛物线 ‎【解法二】‎ 设，由得，.‎ 由解得.‎ 故抛物线.‎ ‎（2）假设存在常数使得成立，‎ 则.‎ 由题意知，，的斜率存在且均不为零，‎ 设的方程为，则由，消去得，.‎ 设,，则，.‎ 所以 .‎ ‎（也可以由，得到.）‎ 因为直线，的斜率之积为，所以.‎ 所以.‎ 所以，存在常数使得成立.‎ ‎22．(1) 椭圆上顶点为，所以直线：， ‎ 联立消去整理得, ‎ 解得，, ‎ 所以的面积. ‎ ‎（2）由题知，，，设，，直线的斜率为.‎ 由题还可知，直线的斜率不为0，‎ 故可设：. ‎ 由，消去，得, ‎ 所以 ‎ 所以 , ‎ 又因为点在椭圆上，所以， 所以为定值.‎