数学理卷·2018届湖南省岳阳县一中高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届湖南省岳阳县一中高二上学期期末考试（2017-01）

湖南省岳阳县第一中学2016-2017学年度第一学期高二期末考试 ‎ 数 学（理） ‎ 时量：120分钟 分值：150分 命题：费家和 审题：彭小霞 ‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足条件：，则对应的点位于 （ ）‎ A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎ 2. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为 ( ) ‎ A.105 B.16 C.15 D.1‎ ‎3.设R，则“”是“直线与 直线平行”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4．设变量满足约束条件，则的最大值是 （ ）‎ ‎ A．7 B．8 C．9 D．10 ‎ ‎5.下列命题中正确的是 ( )‎ A．若,则 B．若为真命题,则也为真命题 C．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件 D．命题“若,则”的否命题为真命题 ‎6、设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为 （ ）‎ ‎ A．4 B． C． D． 6 ‎ ‎7、甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有____种(用数字作答)． ( ) ‎ A.720 B.480 C.144 D.360‎ ‎8、在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 (　　)‎ A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) ‎ C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) ‎ ‎9、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ( ) ‎ A．152 B.126 C.90 D.54‎ ‎10、已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 （ ）‎ A. B.3 C. D.‎ ‎12 、已知函数，方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共5个小题,每小题4分,共20分.‎ ‎13、计算的结果是_______．14、展开式中的系数为80，则实数a的值为________．15、过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点 (均在第一象限内)，若，则双曲线的离心率为____________．‎ ‎16. 如下图(1)、(2)、(3)、(4)四个图案，每个图案都是由小正方形拼成，现按同样的规律 (小正方形的摆放规律相同)进行拼图，设第n个图形包含f(n)个小正方形．‎ ‎(1) ＝ ； (2) ＝ .‎ 三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17、(本小题满分10分) 证明:对一切大于1的自然数, 不等式均成立.‎ ‎18、(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且满足，．‎ ‎（1）求证：是等差数列；‎ ‎（2）求的表达式；‎ ‎（3）若，求证：．‎ ‎19(本小题满分12分)已知函数.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎20(本小题满分12分)如图,正方形与梯形所在平面互相垂直,//CD, ,点 在线段 上且不与 重合.‎ ‎(1)当点是中点时，求证：//平面；‎ ‎(2)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为 时，‎ 求三棱锥 的体积.‎ ‎21．（本小题满分12分）己知，为上动点，过作轴于为上一点，且．‎ ‎ （I）求点的轨迹的方程；‎ ‎ （II）若 (2，1)， (3，0)，过的直线与曲线相交于两点，则是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．‎ ‎22．（本小题满分12分）定义在R上的函数及二次函数满足：‎ ‎ 且。‎ ‎ （I）求和的解析式；‎ ‎ （II）；‎ ‎ （III）设，讨论的解的个数情况．‎ 湖南省岳阳县第一中学2016-2017学年度第一学期高二期末考试 ‎ 数 学（理） 答案解析 ‎ 时量：120分钟 分值：150分 命题：费家和 审题：彭小霞 ‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足条件：，则对应的点位于 （ ）‎ A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案：D 解析：，‎ 复数对应点坐标为位于第四象限 ‎2. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为 ( C ) ‎ A.105 B.16 C.15 D.1‎ ‎3.设R，则“”是“直线与直线平行”的 （ C ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4．设变量x，y满足约束条件，则的最大值是 （ c ）‎ ‎ A．7 B．8 C．9 D．10 ‎ ‎5.下列命题中正确的是( D )‎ A．若,则 B．若为真命题,则也为真命题 C．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件 ‎6、设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为 （ D ）‎ ‎ A．4 B． C． D． 6 ‎ D．命题“若,则”的否命题为真命题 ‎7、甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有____种(用数字作答)．( B )‎ A.720 B.480 C.144 D.360‎ 解析：先在6个位置找3个位置，有C种情况，甲、乙均在丙的同侧，有4种排法，而剩下三人有A种情况，故共有4CA＝480种．‎ ‎8、在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)＜0的解集为(　　)．‎ A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ ‎[‎ ‎9、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A．152 B.126 C.90 D.54‎ ‎【答案】B ‎【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确 ‎10、已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 ‎（A）(–1,3) （B）(–1,) （C）(0,3) （D）(0,)‎ ‎【答案】A ‎11、已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（A）‎ A. B.3 C. D.‎ ‎12 、已知函数，方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ D ）‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析： 求导，令，‎ ‎∴在点处的切线方程为 方程有且只有一个实数根 ‎ 若 故当时，有一个实数根；时方程有两个不同实数根 ‎∴，选择D答案 ‎13、计算的结果是_______．‎ 答案：‎ ‎14、展开式中的系数为80，则实数a的值为________．‎ 答案：2‎ 解析：展开式的通项公式为：，令，所以的系数为， .‎ ‎15、过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M、N(均在第一象限内)，若＝4，则双曲线的离心率为____________．‎ 答案： 解析：取双曲线－＝1的一条渐近线其方程为，设，‎ ‎＝4则①‎ 点在双曲线上，∴②‎ 由①②及得 ‎16. 如下图(1)、(2)、(3)、(4)四个图案，每个图案都是由小正方形拼成，现按同样的规律 (小正方形的摆放规律相同)进行拼图，设第n个图形包含f(n)个小正方形．‎ ‎(1)f(6)＝ ；‎ ‎(2) f(n)= .‎ 解：(1)f(6)＝61.‎ ‎(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，‎ f(3)－f(2)＝8＝4×2，‎ f(4)－f(3)＝12＝4×3，‎ f(5)－f(4)＝16＝4×4，‎ ‎…‎ 由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.‎ 因为f(n＋1)－f(n)＝4n，‎ 所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，‎ f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)‎ ‎＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)‎ ‎＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)‎ ‎＝…‎ ‎＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4‎ ‎＝2n2－2n＋1.‎ ‎17、(本小题满分10分) ‎ 证明:对一切大于1的自然数, 不等式 均成立.‎ 证明:①当时,左边;右边,∵左边右边,∴不等式成立…..3分 ‎②假设时不等式成立,‎ 即 ………………………………….5分 则当时,‎ 当时,不等式也成立…………………………………………………………..9分 由①②知,对于一切大于1的自然数,不等式都成立……………………….10分 ‎18、(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且满足，．‎ ‎（1）求证：是等差数列；‎ ‎（2）求的表达式；‎ ‎（3）若，求证：．‎ ‎【答案】（1）略 （2） （3）略 ‎【解析】（1）证明：∵，∴，‎ ‎∵，∴，又，∴是以2为首项，‎ ‎2为公差的等差数列．……………………………………………….4分 ‎（2）由（1）可得，∴，‎ 当时，， ………………………………7分 当时，，∴ ………………8分.‎ ‎（3）证明：由（2）可得，‎ ‎∴‎ ‎．…………………………12分 考点：数列证明及数列求和.‎ ‎19(本小题满分12分)已知函数.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）因为, 所以,令 ‎,则,所以当时，,故在上单调递增，所以当时，，即，所以在上单调递增，故当时，取得最小值………………………………………..5分 ‎（2）①当时，对于任意的，恒有，又由（1）得，故恒成立……………………………………………8分 ‎②当时，令，则，由（1）知 在上单调递增，所以在上单调递增，而，取，由（1）得，‎ 则，所以函数存在唯一的零点，当时，在上单调递减 ，所以当时，，即，不符合题意.综上，的取值范围为. ………………………12分 ‎ ‎20(本小题满分12分)‎ 如图,正方形与梯形所在平面互相垂直,∥CD, ,点 在线段 上且不与 重合.‎ ‎(1)当点是中点时，求证：//平面；‎ ‎(2)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为 时，求三棱锥 的体积.‎ 解：（1）以分别为轴建立空间直角坐标系，则，‎ ‎，∴ ，∴平面的一个法向量，∵ ∴ ，即 ∥平面 …………. 6分 ‎（2）依题意设，设平面的法向量，‎ 则，则，平面的法向量，‎ ‎∵ ,解得 ，∴为的中点，, 到平面的距离∴…..12分 ‎21．（本小题满分13分）己知⊙O：x2 +y2=6，P为⊙O上动点，过P作PM⊥x轴于M，N为PM上一点，且．‎ ‎ （I）求点N的轨迹C的方程；‎ ‎ （II）若A(2，1)，B(3，0)，过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则kAD+kAE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．‎ ‎(Ⅰ)设,,则,,‎ 由,得,………………………………………3分 由于点在圆上,则有,即.‎ 点的轨迹的方程为.…………………………………………………………6分 ‎(Ⅱ) 设,,过点的直线的方程为,‎ 由消去得 ,其中 ‎;…………………………………………………………8分 ‎ ……………………………………………10分 是定值.………………………………………………………………………………12分 ‎22．（本小题满分13分）定义在R上的函数及二次函数满足：‎ ‎ 且。‎ ‎ （I）求和的解析式；‎ ‎ （II）；‎ ‎ （III）设，讨论的解的个数情况．‎ 解答. (Ⅰ) ,①‎ 即②‎ 由①②联立解得 . ………………………………………………………………2分 是二次函数, 且,可设,‎ 由,解得.‎ ‎.………………………………………………………………4分 ‎(Ⅱ)设,‎ ‎,‎ 依题意知当时, ‎ ‎,在上单调递减,‎ ‎ ………………………………………………………………6分 在上单调递增, ‎ 解得 实数的取值范围为.……………………………8分 ‎(Ⅲ)设,由(Ⅱ)知, ‎ 的图象如图所示 设,则 当,即时, ,有两个解, 有个解;‎ 当,即时, 且,有个解; ……………………………………………………………………………………………………………10分 当,即时, ,有个解;‎ 当,即时, ,有个解. ‎ 综上所述 当时,方程有个解;‎ 当时,方程有个解;‎ 当时,方程有个解;‎ 当时,方程有个解. …………………………………………………………………12分