2017-2018学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考查数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考查数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考查数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为复数，所以其共轭复数，所以复数的共轭复数在复平面内对应的点为，故应选.‎ ‎【考点】1、复数及其四则运算.‎ ‎2．用反证法证明 命题：“若能被5整除，则中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是（ ）‎ A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除 C. 有一个能被5整除 D. 有一个不能被5整除 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：反证法中，假设的应该是原结论的对立面，故应该为a，b都不能被5整除.‎ ‎【考点】反证法.‎ ‎3．某工厂生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5，代入可求这组样本数据的回归直线方程．‎ 详解：设回归直线方程=0.7x+a，‎ 由样本数据可得，=4.5，=3.5．‎ 因为回归直线经过点（，），‎ 所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35．‎ 故=0.7x+0.35，‎ 故选：．‎ 点睛：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程必过样本中心点是解题关键．‎ ‎4．设复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）‎ A. B. 0 C. -10 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为所以，其虚部为，选D.‎ ‎【考点】复数的概念，复数的四则运算.‎ ‎5．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：:是奇函数，但所以函数是单调增函数，不存在极值；:的定义域是，所以不是奇函数；:，，所以不是奇函数；:定义域是，是奇函数，，时，，函数减，时，函数减，所以当时，函数取得极小值，故选D.‎ ‎【考点】1.函数的奇偶性；2.导数的应用;3.极值的判定.‎ ‎6．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）‎ A. B. -1 C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，取可得.选B.‎ ‎7．函数在内有极小值，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：‎ 该题考查的是有关函数极值的问题，该题等价于导数等于零对应的二次方程在相应区间上有较大的根，之后转化为一元二次方程根的分布问题来解决即可.‎ 详解：，函数在内有极小值，等价于方程在区间上有较大根，即，解得，故选A,‎ 点睛：解决该题的关键是要明确函数的极值点的位置，以及极值点存在的条件，还有极值点的求解方法，除此之外，还需要明确极大值与极小值的区别所在.‎ ‎8．若点P是函数上任意一点，则点P到直线的最小距离为 ( )‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线x﹣y﹣2=0的距离即为所求．‎ 详解：点P是曲线f（x）=x2﹣lnx上任意一点，‎ 当过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，‎ 点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小．‎ 直线x﹣y﹣2=0的斜率等于1，‎ 由f（x）=x2﹣lnx，得f′（x）=2x﹣=1，解得：x=1，或 x=﹣（舍去），‎ 故曲线f（x）=x2﹣lnx上和直线x﹣y﹣2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），‎ 点（1，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离等于，‎ 故点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查函数的导数的求法及导数的几何意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎9．在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：平面上，若两个正三角形的内切圆与外接圆面积的比为1：4，则它们的半径比为1：2，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的外接球的半径比为1：3，则它以体积比为 1：27，‎ ‎【考点】类比推理.‎ ‎10．若函数在区间单调递增，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选：D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎11．甲、乙、丙三位大学生毕业后选择自主创业，三人分别做淘宝店、微商、实体店.某次同学聚会时，甲说：我做淘宝店、乙做微商；乙说：甲做微商、丙做淘宝店；丙说：甲做实体店、乙做淘宝店.事实上，甲、乙、丙三个的陈述都只对了一半.其他同学根据如上信息，可判断下列结论正确的是 （ ）‎ A. 甲做微商 B. 乙做淘宝店 C. 丙做微商 D. 甲做实体店 ‎【答案】D ‎【解析】若选项A正确，即甲做微商，则根据甲的话可知乙做微商，与题意不符；若选项B正确，即乙做淘宝店，则根据甲的话可知与题意不符；若选项C正确，即丙做微商，则根据甲的话可知甲做淘宝店，再根据丙的话可知与题意不符；若选项D正确，即甲做实体店正确，则根据甲的话可知乙做微商，根据乙的话可知丙做淘宝店，丙的话符合题意．故选D．‎ ‎12．定义在上的函数满足：，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设，则，因为，所以 ，所以，所以是单调递增函数，因为，所以，又因为，即，所以，故选A．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ 二、填空题 ‎13．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求导函数，可得，当时， ，∴曲线 在点处的切线方程为，即，故答案为.‎ ‎14．数列满足，归纳出数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析：利用递推关系式可求出a2，a3，a4，…，进而猜想归纳出其通项公式 详解：由题意可得：a1=1，且an+1=，‎ 则a2==，a3==，a4==,…‎ ‎∴通过观察归纳出规律：其通项应是分子为1，分母与相应的下标相同，‎ 故an=（n∈N）．‎ 可用数学归纳法或取倒数法加以推理证明，‎ 故答案为： ．‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ ‎15．曲线 存在与直线平行的切线，则实数的取值范围_______．‎ ‎【答案】（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）‎ ‎【解析】分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=+a在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．‎ 详解：函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a（x＞0）．‎ ‎∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，‎ ‎∴方程+a=2在区间x∈（0，+∞）上有解．‎ 即a=2﹣在区间x∈（0，+∞）上有解．‎ ‎∴a＜2．‎ 若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）．‎ 则，解得x0=e．‎ 此时a=2﹣．‎ 综上可知：实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．‎ 故答案为：（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．‎ 点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 ‎①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．‎ ‎②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.‎ ‎③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．‎ ‎16．对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”： ，依此，若的“分裂数”中有一个是2015，则__________．‎ ‎【答案】45‎ ‎【解析】分析：解决该题的关键是从题中能发现自然数可以分裂成个奇数的和，需要分清从几开始到几结束.‎ 详解：2015是第1008个奇数，根据题意可得，即，又，所以.‎ 点睛：该题考查的是有关数列的综合问题，需要从条件中提炼有关等差数列的求和问题，还需要明白，2015是第1008个奇数，在求解的过程中，要学会估值，不要一味的去解不等式，那样就会加大难度.‎ 三、解答题 ‎17．已知,分别求, , 的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：将代入，即可求得的值；观察，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为 ，则函数值的和为 ，根据结论的形式将代入并化简求值即可完成证明.‎ 试题解析：由，得 ‎ ‎, ,‎ ‎. ‎ 归纳猜想一般性结论为 ‎ 证明如下：‎ ‎ ‎ ‎【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎18．随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.‎ 年龄（单位：岁）‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断有多大的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关？‎ 年龄低于45岁的人数 年龄不低于45岁的人数 合计 不赞成 赞成 合计 ‎（2）若从年龄在的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人赞成“使用微信交流”的概率.‎ 下面临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式： ）‎ ‎【答案】（1）有的把握（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意完成列联表，由可得：有的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.‎ ‎(2)利用题意列出所有可能的事件，由对立事件求得2人中至少有1人赞成“使用微信交流”的概率为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）列联表：‎ 年龄低于45岁的人数 年龄不低于45岁的人数 合计 不赞成 ‎3‎ ‎10‎ ‎13‎ 赞成 ‎27‎ ‎10‎ ‎37‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎ ‎ 有的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.‎ ‎（2）设中不赞成“使用微信交流”的人为， ， ，赞成“使用微信交流”的人为， ，则从5人中选取2人有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10个结果，其中两人都不赞成“使用微信交流”的有3个结果，所以2人中至少有1人赞成“使用微信交流”的概率为.‎ 点睛：利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值..‎ ‎【答案】（1）递减区间为；（2）‎ ‎【解析】分析：第一问要求的是函数的单调递减区间，应用导数小于零求得结果，第二问是函数在某个闭区间上的值域最值问题，需要通过函数图像的走向，去分析可能在哪个点处取得最大值，进一步求解，得出结果.‎ 详解：（1），令，解得或，‎ 所以函数的单调递减区间为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.因为在上，所以在上单调递增，又由于在上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值，于是有，解得.所以的最小值为.‎ 点睛：根据第一问，明确函数图像在定义域上的走向，从而确定出函数在哪个点处取得最大值，之后将其代入，根据题中所给的条件，得到关于a的等量关系式，从而求得a的值，之后在分析函数在哪个点处取得最小值，代入求得结果.‎ ‎20．设函数（是自然对数的底数）.‎ ‎（1）判断的单调性；‎ ‎（2）当在上恒成立时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：该题属于导数的综合题，第一问确定函数的单调性，需要利用导数的符号来完成，在求解的过程中，一定要时刻关注函数的定义域，第二问将恒成立问题转化为最值问题来处理即可得结果.‎ 详解：（1），函数的定义域为，‎ 当时，，此时在上是增函数，‎ 当时，时，，此时在上是增函数，时，，此时在上是减函数.综上，当时，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数.‎ ‎（2）在上恒成立，即在上恒成立，‎ 设，则，‎ 当时，为增函数，当时，为减函数，‎ 故当时，取得最大值，‎ 所以的取值范围是.‎ 点睛：第一问对函数求导，利用导数的符号，来判断函数的单调性，需要对参数进行讨论，第二问通过构造新函数，转化为最值问题来处理.‎ ‎21．已知函数，在处取得极值2.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）设函数，若对于任意的，总存在唯一的，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：‎ 该题属于导数的有关问题，在解题的过程中，利用极值点以及极值得到关于的方程组，从而求得解析式，第二问要理清题意的根本，对应的等价结果会分析，注意分类讨论思想的应用.‎ 详解：（1），‎ 由在处取得极值2，故，即，解得：，‎ 经检验：此时在处取得极值，故，‎ ‎（2）由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减，‎ 由，故的值域为，‎ 依题意：，记，∵，∴‎ 当时，单调递减，依题意有，得，故此时；‎ 当时，，当时，；当时，，‎ 依题意有：，得，这与矛盾；‎ 当时，单调递增，依题意有，无解，‎ 综上所述：的取值范围是.‎ 点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，第一问涉及含参的解析式，根据题意，寻找其所满足的等量关系，求得参数值，最后确定出函数的解析式，第二问根据题意，对参数进行讨论，从题中找出关键点，最后求得结果.‎