2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第七章 第3节 空间直线、平面的平行

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第七章 第3节 空间直线、平面的平行

www.ks5u.com 多维层次练38‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由直线m∥平面α，可得直线m与平面α内无数条直线平行，反之不成立．‎ 所以“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的必要不充分条件．‎ 故选C.‎ 答案：C ‎2．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 解析：平行、相交、异面都有可能．故选D.‎ 答案：D ‎3．(2020·洛阳联考)设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，m⊂β，下列结论正确的是(　　)‎ A．若α⊥β，则l⊥β B．若l⊥m，则α⊥β C．若α∥β，则l∥β D．若l∥m，则α∥β 解析：对于A，α⊥β，l⊂α，只有加上l垂直于α与β的交线，才有l⊥β，所以A错误；对于B，若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交但不垂直，所以B错误；对于C，若α∥β，l⊂‎ α，由面面平行的性质可知，l∥β，所以C正确；对于D，若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交，所以D错误．‎ 答案：C ‎4．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有(　　)‎ A．4条 B．6条 ‎ C．8条 D．12条 解析：如图所示，H，G，F，I是相应线段的中点，‎ 故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，‎ 有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线，故选B.‎ 答案：B ‎5．(2020·东莞调研)已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c的位置关系不可能是(　　)‎ A．两两平行 B．两两垂直 C．两两相交 D．两两异面 解析：假设a，b，c三条直线两两平行，如图所示，设α∩β＝l，因为a∥b，a⊄β，b⊂β，所以a∥β.又知a⊂α，α∩β＝l，所以a∥l，又知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，所以l⊥γ，又知a∥b，a∥l，所以a⊥γ，又知c⊂γ，所以a⊥c，所以假设不成立．故三条直线a，b，c不可能两两平行．‎ 答案：A ‎6．(2020·豫北名校联考)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点，若平面BC1D∥平面AB1D1，则＝_____．‎ 解析：如图所示，连接A1B，与AB1交于点O，连接OD1，因为平面BC1D∥平面AB1D1，平面BC1D∩平面A1BC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，所以＝.‎ 同理AD1∥DC1，所以＝，所以＝，‎ 又因为＝1，所以＝1，即＝1.‎ 答案：1‎ ‎7．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．‎ 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝‎ AC，所以EF∥AC，所以F为DC中点，所以EF＝AC＝.‎ 答案： ‎8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．‎ ‎①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.‎ 可以填入的条件有________(填序号)．‎ 解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．‎ 答案：①或③‎ ‎9．(2020·潍坊模拟)如图所示，四棱锥A-BCDE中，BE∥CD，BE⊥平面ABC，CD＝BE，点F在线段AD上．‎ ‎(1)若AF＝2FD，求证：EF∥平面ABC；‎ ‎(2)若△ABC为等边三角形，CD＝AC＝3，求四棱锥A-BCDE的体积．‎ ‎(1)证明：取线段AC上靠近C的三等分点G，连接BG，GF.‎ 因为＝＝，则GF＝CD＝BE.‎ 而GF∥CD，BE∥CD，故GF∥BE.‎ 故四边形BGFE为平行四边形，故EF∥BG.‎ 因为EF⊄平面ABC，BG⊂平面ABC，故EF∥平面ABC.‎ ‎(2)解：因为BE⊥平面ABC，BE⊂平面BCDE，‎ 所以平面ABC⊥平面BCDE.‎ 所以四棱锥A-BCDE的高即为△ABC中BC边上的高．‎ 易求得BC边上的高为×3＝.‎ 故四棱锥A-BCDE的体积V＝××(2＋3)×3×＝.‎ ‎10．(2020·福州模拟)如图所示，在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，以AD为折痕将△ADM折起，使点M到达点P的位置，且平面ABCD⊥平面PAD，E是PB的中点，AB＝2BC.‎ ‎(1)求证：CE∥平面PAD；‎ ‎(2)若AD＝2，AB＝4，求三棱锥APCD的高．‎ ‎(1)证明：取AP的中点F，连接DF，EF，如图所示．‎ 因为点E是PB的中点，‎ 所以EF∥AB，且EF＝AB.‎ 因为四边形ABCM是平行四边形，D为CM的中点，所以AB∥CD，且CD＝AB，‎ 所以EF∥CD，且EF＝CD，‎ 所以四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，‎ 因为CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，‎ 所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)解：取AD的中点O，连接PO，CO，如图所示．‎ 在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，AB＝2BC，AD＝2，‎ AB＝4，‎ 所以MD＝MA＝AD＝CD＝2，所以△MAD为等边三角形，‎ 所以∠MDA＝60°，所以∠ADC＝120°，PD＝PA＝AD＝2，‎ 所以S△ACD＝AD·CDsin∠ADC＝×2×2×＝，‎ OC＝，‎ 因为△ADP为正三角形，‎ 所以PO⊥AD，且PO＝.‎ 因为平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，‎ 所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OC，‎ 所以PC＝＝.‎ 在等腰三角形PCD中，易得S△PCD＝.‎ 设三棱锥A-PCD的高为h，‎ 因为VA-PCD＝VP-ACD，所以S△PCD·h＝S△ACD·PO，‎ 所以h＝＝＝，‎ 所以三棱锥A-PCD的高为.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．已知l，m是不同的直线，α，β是不同的平面．给出下列命题，其中正确的是(　　)‎ ‎①l⊥α，m⊂β，α∥β⇒l⊥m；②l∥α，m∥β，l∥m⇒α∥β；‎ ‎③l⊥α，m⊂β，l∥m⇒α⊥β；④l⊥α，m⊥β，l⊥m⇒α∥ββ.‎ A．②④ B．①③ ‎ C．②③④ D．①②③‎ 解析：①中，因为l⊥α，α∥β，所以l⊥β，又m⊂β，所以l⊥m，①正确．③中，因为l⊥α，l∥m，所以m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，③正确．由面面平行的判定定理知②和④不正确，故选B.‎ 答案：B ‎12．(2020·厦门模拟)在正三棱锥S-ABC中，AB＝2，SA＝2，E，F分别为AC，SB的中点．平面α过点A，α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，则异面直线l和EF所成角的余弦值为________．‎ 解析：因为α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，平面SBC∩平面ABC＝BC，‎ 所以l∥BC，‎ 取AB的中点D，连接DE，DF，则DE∥BC，‎ 所以l∥DE，‎ 所以异面直线l和EF所成角即为∠DEF(或其补角)，取BC的中点O，连接SO，AO，‎ 则SO⊥BC，AO⊥BC，‎ 又SO∩AO＝O，所以BC⊥平面SOA，‎ 又SA⊂平面SOA，所以BC⊥SA，所以DE⊥DF，‎ 在Rt△DEF中，DE＝，DF＝，‎ 所以EF＝2，所以cos∠DEF＝＝.‎ 所以异面直线l和EF所成角的余弦值为.‎ 答案： ‎13．(2019·汉阳一中模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．‎ ‎(1)求证：直线BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)若AB＝BB1＝2，E是BB1的中点，求三棱锥A1-CDE的体积．‎ ‎(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，‎ 则F为AC1的中点，又D为AB的中点，‎ 所以DF∥BC1，‎ 又BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，‎ 所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)解：因为△ABC为等边三角形，D为AB中点，‎ 所以CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，‎ 所以CD⊥AA1，‎ 因为AB∩AA1＝A，‎ 所以CD⊥平面ABB1A1，‎ 所以三棱锥的高h等于点C到平面ABB1A1的距离，‎ 即h＝CD，易求得CD＝.‎ 又S△A1DE＝2×2－×1×2－×1×1－×1×2＝，‎ 所以VA1-CDE＝VC-A1DE＝S△A1DE·h＝××＝.‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．(多选题)下列命题错误的是(　　)‎ A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 解析：A中，若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线可能平行、相交或为异面直线，故A错误；B中，若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故B错误；C正确；D中，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交(例如：天花板与两个相交平面的位置关系)，D项错误．‎ 答案：ABD