数学理卷·2019届安徽省淮北一中高二上学期期中考试（2017-11）

数学理卷·2019届安徽省淮北一中高二上学期期中考试（2017-11）

淮北一中 2017-2018 学年高二上学期期中考试 数学（理科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知 ，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 2.离心率为 ，且过点 的椭圆的标准方程是（ ） A． B． 或 C． D． 或 3.在 中， （ 分别为角 的对边），则 的形状为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直 角三角形 4.执行如图所示的程序框图，如果输出 ，则输入的 （ ） A． B． C. D． 0, >yx 211 =+ yx yx 2+ 223− 2 223− 223+ 2 223+ 2 3 )0,2( 14 2 2 =+ yx 14 2 2 =+ yx 14 2 2 =+ yx 14 22 =+ yx 14 2 2 =+ yx 1164 22 =+ yx ABC∆ c caB 22cos2 += cba ,, CBA ,, ABC∆ 9 4=S =n 3 4 5 6 5.如图，在 中， ，若 ，则 的值为（ ） A． B． C. D． 6.由公差为 的等差数列 重新组成的数列 是（ ） A．公差为 的等差数列 B．公差为 的等差数列 C. 公差为 的等差数列 D．非等差数列 7.抛物线 的焦点到准线的距离为（ ） A． B． C. D． 8.如角 满足 ，则 （ ） A． B． C. D． 9.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 ，线段 交抛物线 于点 ， 若 ，则 （ ） A． B． C. D． 10.数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 （ ） A． B． C. D． 11.已知椭圆 的两个焦点分别为 ，若椭圆上不存在点 ，使得 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C. D． 12.已知函数 方程 有 个不同 ABC∆ →→→→ == BDBPACAD 3 1,3 2 →→→ += ACABAP µλ µ λ 3− 2− 2 3 d ,...,, 321 aaa ...,, 635241 aaaaaa +++ d d2 d3 22xy = 8 1 2 1 4 1 4 α 0cos2sin =+ αα =α2tan 3 4− 4 3 4 3− 3 4 xyC 4: 2 = F l lA∈ AF C B →→ = FBFA = → || AF 3 4 6 7 }{ na *,2cos Nnnan ∈= π n nS =2017S 1008 1008− 1− 0 )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 21, FF P 21PFF∠ ]2 2,0( )1,2 2[ )2 1,0( )1,2 1[    ≥+− < = 0|,122 1| 0,2 )( 2 xxx x xf x )0(0)()]([ 2 ≠=+− bbxafxf 6 的实根，则 取值范围（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.命题“ ”的否定是 ． 14.在数列 中，已知其前 项和为 ，则 ． 15.设实数 满足 ，则 的最大值为 ． 16.下列命题中，假命题的序号有 ． （1）“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件； （2）“直线 垂直平面 内无数条直线”是“直线 垂直平面 ”的充分条件； （3）若 ，则 ； （4）若 ，则 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. 已知函数 . （1）当 时，解关于 的不等式 ； （2）若 ，解关于 的不等式 . 18. 设数列 满足 . （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前 项和. 19. 已知函数 . （1） 的最小正周期和单调递增区间； （2）已知 是 三边长，且 的面积 .求角 及 ba +3 )11,6[ )11,3[ )11,6( )11,3( 02, ≥∈∃ xRx }{ na n 32 += n nS =na yx,    ≤−+ ≤−+ ≥−+ 0102 0142 06 yx yx yx xy2 1−=a )(|1|)( 2 Rxaxxxf ∈+++= l a l a 0=xy 0|||| =+ yx 022,: 0 2 00 ≤++∈∃ xxRxp 022,: 2 >++∈∀¬ xxRxp 1)1()( 2 ++−= xaaxxf 2=a x 0)( ≤xf 0>a x 0)( ≤xf }{ na nanaa n 2)12(3 21 =−+++  }{ na }12{ +n an n xxxxf 2cos2)62sin()62sin()( +−++= ππ )(xf cba ,, ABC∆ ABCCf ∆= ,2)( 7,310 == cS C 的值. 20. 已知椭圆 ，其长轴为 ，短轴为 . （1）求椭圆 的方程及离心率. （2）直线 经过定点 ，且与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值. 21. 已知数列 满足 ，且 （ 且 ）. （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前 项之和 ，求证： . 22. 已知过抛物线 的焦点 ，斜率为 的直线交抛物线于 两点，且 . （1）求该抛物线 的方程； （2）已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且 ， 判断直线 是否过定点？并说明理由. ba, )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC 4 2 C l )2,0( C BA, OAB∆ }{ na 11 =a n nn aa 22 1 += − 2≥n *Nn∈ }{ na }{ na n nS 322 −> nS n n )0(2: 2 >= ppxyC F 2 ))(,(),,( 212211 xxyxByxA < 6|| =AB C )4,(tM M MD ME MEMD ⊥ DE 淮北一中 2017-2018 学年高二上学期期中考试数学（理科） 参考答案 1．D 【解析】由 得， ，因为 ，，所以 （当且仅当 时等 号成立），故选 D. 【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时， 一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正； 二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要 验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时 等号能否同时成立）. 2．D 【解析】当椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的方程为 ，由离心率为 ，∴ ∵椭圆过点（2，0），∴ ，∴a2=4，∴b2=1， ∴椭圆标准方程为 当椭圆的焦点在 y 轴上，同理易得： 故选 D. 3．A 【解析】 , ,解得 ,即角 C 为直角,则 的形状为直角三角形,故选 A. 4．B 【解析】该程序框图表示的是通项为 的前 项和， ， 输出结果为 ， 2 1 coscos 2 2 2 B B a c c + += = 2 2 2 cos 2 a c b aB ac c + −∴ = = 2 2 2a b c+ = ABC∆ ( )( ) ( )( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1na n n n n  = =   − + − +  n 1 1 1 1 1 11 ...2 3 3 5 2 1 2 1nS n n  = − + − + + − − +  1 112 2 1 2 1 n n n  = − = + +   4 9 ，得 ，故选 B. 5．D 【解析】 ， ， 又 ， ，故选 D. 6．B 【 解 析 】 设 新 数 列 的 第 项 是 ， 则 ， ， 此新数列是以 为公 差的等差数列，故选 B. 【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式，属于难题.判定一个数列 为等差数列的常见方法是：(1) 定义法： （ 是常数），则数列 是等差数 列(2) 等差中项法： （ ），则数列 是等差数列；(3) 通项公式： ( 为常数)， 则数列 是等差数列；(4) 前 n 项和公式： ( 为常数) ， 则数列 是等差数列.本题先利用方法(1)判定出数列 是等差数列后 再进行解答的. 7．C 【解析】由 得： ，所以 ， ，即焦点到准线的距离为 ， 故选 C. 8．D 【解析】由题意可得 ，选 D. 9．B 【解析】 4 2 1 9 n n ∴ =+ 4n = 1 4 2 5 3 6, , ...a a a a a a+ + + n nb 3n n nb a a += + = ( ) ( ) ( )1 12 1 2 2 2 1a n d n d a n d+ − + + = + + 1 2n nb b d+∴ − = ∴ 2d 1n na a d+ − = d { }na 1 +22 = +n n na a a+ *n N∈ { }na =na pn q+ ,p q { }na 2 nS An Bn= + ,A B { }na { }na 22y x= 2 1 2x y= 12 2p = 1 4p = 1 4p = 由已知 为 的三等分，作 于 ，如图，则 ， ，故选 B. 10．D 【解析】 选 D. 11．A 【 解 析 】 设 B 为 短 轴 端 点 ， 则 ， 由 题 意 得 ，选 A。 12．D 【解析】由题意可画出 y=f(x)的图像如下图，f(0)=1,f(2)=1，注意 y=1 是图像的一条渐近 线，令 t=f(x), ,由图像可知， 当 时,方程 f(x)=t 有 4 个解，当 和 时，方程 f(x)=t 有 2 个解， 当 时，方程 f(x)=t 有 1 个解，当 t=1 时，方程 f(x)=t 有 3 个解 当 t<0 时，方程 f(x)=t 有 0 个解 复 合 方 程 有 6 个 根 ， 一 定 是 4+2 ， 即 ， 的 两 个 根 分 别 在 ， 令 ， 所 以 ，由线性规划可求得 ，选 D. 【点睛】 复合方程根的问题，一般先画出内函数的图像，分析 t=f(x),t 的不同取值根的情况，再由 此分析外函数根的情况，从而解决问题。 13． 【解析】含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题，命题“∃x∈R，2x≥0”的否定 是 . B AF BH l⊥ H 2 4 4,3 3 3BH FK BF BH= = ∴ = = 3 4AF BF∴ = =  4 1 2 3 4 2017 14, 0 504 0n n T Ta a T S a a a a S S a+ = ∴ = = + + + = ∴ = + = 1 2 1 2F PF F BF∠ ≤ ∠ 2 2 2 1 2 π 21 02 2 cF BF c a c eb ∠ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ − ⇒ < ≤ ( )2 0 0t at b b− + = ≠ 0 1t< < 1 2t< < 0t = 2t ≥ ( )2 0 0t at b b− + = ≠ 1 20 1,1 2t t< < < < ( ) ( )2 0g t t at b b= − + ≠ ( ) ( ) ( ) 0 0 { 1 1 0 , 2 4 2 0 g b g a b g a b = > = − + < = − + > 3z a b= + ( )3,11z ∈ ,2 0xx R∀ ∈ < ,2 0xx R∀ ∈ < 14． 【解析】当 时， ； 当 时， ，不满足上式。 故 。 答案： 点睛：数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an＝ 当 n＝1 时，a1 若适合 Sn－ Sn－1，则 n＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an；当 n＝1 时，a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分 段函数的形式表示． 15．【解析】不等式组的图象如图 由 图 象 知 ， 则 ， 当 且 仅 当 时，等号成立，经检验 在可行域内，故 的最大值为 25. 16．（2）（3） 【解析】（1）若“函数 为偶函数”，则 ， 即 ，则 ， 平方得 ， ( ) ( )1 5 1{ 2 2n n na n− == ≥ 2n ≥ ( ) ( )1 1 1 2 3 2 3 2n n n n n na S S − − −= − = + − + = 1n = 1 1 2 3 5a S= = + = 1 5, 1{ 2 , 2n n na n− == ≥ 1 5, 1{ 2 , 2n n na n− == ≥ ( ) ( )2 1f x x x a x R= + + + ∈ ( ) ( )f x f x− = 2 21 1x x a x x a+ + + = + − + + ( )1 1x a x a+ + = − + ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 1 1 2 1 1x a x a x a x a+ + + + = − + + + 即 ，则 ，即 ， 则“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件；正确； （2）“直线 垂直平面 内无数条直线”则“直线 垂直平面 ”不一定成立，故（2）错 误； （3）当 时，满足 ，但 不成立，故（3）错误； （4）若 ： ，则 ： 正确． 故答案为：（2）（3） 17 ．（ 1 ） （ 2 ） 当 时 解 集 为 当 时 解 集 为 当 时解集为 【解析】 试题分析：（1）将 代入结合函数图像求解不等式即可；（2）解不等式要结合二次函 数图像及性质，并对两零点 大小分情况讨论 试题解析：（1）当 时得 ，解 集为 （2）∵不等式 , 当 时，有 ，∴不等式的解集为 ； 当 时，有 ，∴不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 . 考点：一元二次不等式解法及分情况讨论 18．(1) (2) 【解析】试题分析： 利用数列递推关系即可得出。 ,利用裂项求和方法即可得出。 解析：（1）数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． n≥2 时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）． 10 << a 1>a 1=a 0>a 10 << a 1>a 1=a ( ) ( )2 1 2 1a x a x+ = − + ( )4 1 0a + = 1a = − 1a = − ( ) ( )2 1f x x x a x R= + + + ∈ l α l α 0, 1x y= = 0xy = 0x y+ = p 2, 2 2 0x R x x∃ ∈ + + ≤ p¬ 2, 2 2 0x R x x∀ ∈ + + > 1[ ,2]2 {1} 2a = 1,a a 2a = ( )2 1 1 12 1 0 2 0 22 2 2x x x x x   − + + ≤ ∴ − − ≤ ∴ ≤ ≤       1[ ,2]2 {1} ∴（2n﹣1）an=2．∴an= ． 当 n=1 时，a1=2，上式也成立． ∴an= ． （2） = = ﹣ ． ∴数列{ }的前 n 项和= + +…+ =1﹣ = ． 点 睛 ： 求 数 列 的 通 项 时 ， 可 以 运 用 ， 本 题 的 条 件 左 边 可 以 看 成 和 的 形 式 ， 遇 到 ,的形式时，利用裂项求和方法即可得出结果。 19．(1)π，函数 f（x）的递增区间是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z；(2) a=8，b=5 或 a=5，b=8． 【解析】试题分析： 解析式利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的余弦函数公 式化简，整理为一个角的正弦函数，找出 的值代入周期公式即可求出 的最小正周期， 利用正弦函数的单调性即可求出 的单调递增区间。 由 ，根据第一问确定出的解析式求出 的度数，利用三角形面积公式列出关 系式，将 值代入求出 的值，利用余弦定理列出关系式，将 代入求出 的 值，联立即可求出 的值。 解析：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos +cos2xsin +sin2xcos ﹣cos2xsin +cos2x+1= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1， ∵ω=2，∴T= =π； 令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，得到﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z， 则函数 f（x）的递增区间是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z； （Ⅱ）由 f（C）=2，得到 2sin（2C+ ）+1=2，即 sin（2C+ ）= ， 3 π 6 π ( ) ( )1 f x ω ( )f x ( )f x ( )2 ( ) 2f c = C sinC ab cosC a b+ ,a b ∴2C+ = 或 2C+ = ， 解得：C=0（舍去）或 C= ， ∵S=10 ， ∴ absinC= ab=10 ，即 ab=40①， 由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即 49=a2+b2﹣ab， 将 ab=40 代入得：a2+b2=89②， 联立①②解得：a=8，b=5 或 a=5，b=8． 20．（1） ，离心率： ．（2）1 【解析】试题分析：（1）根据条件可得 ， 即得椭圆 的方程，及离心率．（2） 先设直线方程为： ，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边 边长 ，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示 面积，最后根据基本 不等式求最大值 试题解析：解：（Ⅰ） ， ， ， ∴椭圆 的方程为： ，离心率： ． （Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为 ，则直线方程为： ， 由 ，得 ， ， 由 得： ， 设 ， ，则 ， ， ， 又∵原点 到直线的距离 ， ∴ ． 当且仅当 ，即 时，等号成立， 此时 面积的最大值为 ． 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题 的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者 多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 21．(1) an= ；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由 ,可得 ，即 ，可得出 { }为等差数列.最终可求出{an}的通项公式.(2)采用错位相减法求出 ,再变形即可求证. （1）∵an=2an﹣1+2n（≥2，且 n∈N）∴ ∴ ∴数列{ }是以 为首项，1 为公差的等差数列； ∴an= ； （2）∵Sn= ∴2Sn= 两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣ =（3﹣2n）•2n﹣3 ∴Sn=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ∴ ． 点睛：在求解数列的通项公式时要注意变形及整体思想的使用，将一般数列转化为等差或等 比数列，从而求出数列通项公式。应用错位相减法求解数列的前 n 项和两式相减时要注意前 后符号的变化. 22.（1） （2） 【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线 的方程,与抛物线联立方程组,结合韦 达定理与弦长公式求 ,再根据 解得 .（2）先设直线 方程 , 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简 ，得 或 ,代入 12 2n n na a −= + 1 1 12 2 n n n n a a − −= + 1 1 12 2 n n n n a a − −− = 2 n n a nS 1 1 12 2 n n n n a a − −= + 1 1 12 2 n n n n a a − −− = 2 n n a 1 2 ( )1 112 2 2 n n a n n= + − = − 1 22 nn −   1 21 3 12 2 22 2 2 nn + +…+ −     2 3 11 3 12 2 22 2 2 nn + + +…+ −     11 22 nn + −   2 3nS nn > − 2 4y x= ( )8, 4− AB AB 6AB = 2p = DE x my t= + MD ME⊥ 4 8t m= + 4 4t m= − + 方程可得直线 过定点 试题解析：（1）拋物线的焦点 ，∴直线 的方程为: . 联立方程组 ，消元得: ， ∴ . ∴ 解得 . ∴抛物线 的方程为： . （2）由（1）可得点 ，可得直线 的斜率不为 0， 设直线 的方程为： ， 联立 ，得 ， 则 ①. 设 ，则 . ∵ 即 ，得： ， ∴ ，即 或 ， DE DE ( )8, 4− ,02 pF      AB 2 2 py x = −   2 2 { 2 2 y px py x =  = −   2 2 2 04 px px− + = 2 1 2 1 22 , 4 px x p x x+ = = ( )2 2 2 1 2 1 21 2 4 3 4 6AB x x x x p p= + + − = ⋅ − = 2p = C 2 4y x= ( )4,4M DE DE x my t= + 2{ 4 x my t y x = + = 2 4 4 0y my t− − = 216 16 0m t∆ = + > ( ) ( )1 1 2 2, , ,D x y E x y 1 2 1 24 , 4y y m y y t+ = = − ( ) ( )1 1 2 24, 4 4, 4MD ME x y x y⋅ = − − ⋅ − − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 16x x x x y y y y= − + + + − + + ( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 164 4 4 4 y y y y y y y y  = ⋅ − + + + − + +    ( ) ( ) ( ) 2 21 2 1 2 1 2 1 23 4 3216 y y y y y y y y= − + + − + + 2 216 12 32 16 0t m t m= − − + − = 2 212 32 16 16t t m m− + = + ( ) ( )2 26 4 2 1t m− = + ( )6 2 2 1t m− = ± + 4 8t m= + 4 4t m= − + 代人①式检验均满足 ， ∴直线 的方程为： 或 . ∴直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）. 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多 少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值 问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推 理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 0∆ > DE ( )4 8 4 8x my m m y= + + = + + ( )4 4x m y= − + ( )8, 4− ( )4,4 淮北一中 2017-2018 学年高二上学期期中考试数学（理科） 参考答案 1．D 【解析】由 得， ，因为 ，，所以 （当且仅当 时等 号成立），故选 D. 【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时， 一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正； 二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要 验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时 等号能否同时成立）. 2．D 【解析】当椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的方程为 ，由离心率为 ，∴ ∵椭圆过点（2，0），∴ ，∴a2=4，∴b2=1， ∴椭圆标准方程为 当椭圆的焦点在 y 轴上，同理易得： 故选 D. 3．A 【解析】 , ,解得 ,即角 C 为直角,则 的形状为直角三角形,故选 A. 4．B 【解析】该程序框图表示的是通项为 的前 项和， ， 输出结果为 ， 2 1 coscos 2 2 2 B B a c c + += = 2 2 2 cos 2 a c b aB ac c + −∴ = = 2 2 2a b c+ = ABC∆ ( )( ) ( )( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1na n n n n  = =   − + − +  n 1 1 1 1 1 11 ...2 3 3 5 2 1 2 1nS n n  = − + − + + − − +  1 112 2 1 2 1 n n n  = − = + +   4 9 ，得 ，故选 B. 5．D 【解析】 ， ， 又 ， ，故选 D. 6．B 【 解 析 】 设 新 数 列 的 第 项 是 ， 则 ， ， 此新数列是以 为公 差的等差数列，故选 B. 【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式，属于难题.判定一个数列 为等差数列的常见方法是：(1) 定义法： （ 是常数），则数列 是等差数 列(2) 等差中项法： （ ），则数列 是等差数列；(3) 通项公式： ( 为常数)， 则数列 是等差数列；(4) 前 n 项和公式： ( 为常数) ， 则数列 是等差数列.本题先利用方法(1)判定出数列 是等差数列后 再进行解答的. 7．C 【解析】由 得： ，所以 ， ，即焦点到准线的距离为 ， 故选 C. 8．D 【解析】由题意可得 ，选 D. 9．B 【解析】 4 2 1 9 n n ∴ =+ 4n = 1 4 2 5 3 6, , ...a a a a a a+ + + n nb 3n n nb a a += + = ( ) ( ) ( )1 12 1 2 2 2 1a n d n d a n d+ − + + = + + 1 2n nb b d+∴ − = ∴ 2d 1n na a d+ − = d { }na 1 +22 = +n n na a a+ *n N∈ { }na =na pn q+ ,p q { }na 2 nS An Bn= + ,A B { }na { }na 22y x= 2 1 2x y= 12 2p = 1 4p = 1 4p = 由已知 为 的三等分，作 于 ，如图，则 ， ，故选 B. 10．D 【解析】 选 D. 11．A 【 解 析 】 设 B 为 短 轴 端 点 ， 则 ， 由 题 意 得 ，选 A。 12．D 【解析】由题意可画出 y=f(x)的图像如下图，f(0)=1,f(2)=1，注意 y=1 是图像的一条渐近 线，令 t=f(x), ,由图像可知， 当 时,方程 f(x)=t 有 4 个解，当 和 时，方程 f(x)=t 有 2 个解， 当 时，方程 f(x)=t 有 1 个解，当 t=1 时，方程 f(x)=t 有 3 个解 当 t<0 时，方程 f(x)=t 有 0 个解 复 合 方 程 有 6 个 根 ， 一 定 是 4+2 ， 即 ， 的 两 个 根 分 别 在 ， 令 ， 所 以 ，由线性规划可求得 ，选 D. 【点睛】 复合方程根的问题，一般先画出内函数的图像，分析 t=f(x),t 的不同取值根的情况，再由 此分析外函数根的情况，从而解决问题。 13． 【解析】含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题，命题“∃x∈R，2x≥0”的否定 是 . B AF BH l⊥ H 2 4 4,3 3 3BH FK BF BH= = ∴ = = 3 4AF BF∴ = =  4 1 2 3 4 2017 14, 0 504 0n n T Ta a T S a a a a S S a+ = ∴ = = + + + = ∴ = + = 1 2 1 2F PF F BF∠ ≤ ∠ 2 2 2 1 2 π 21 02 2 cF BF c a c eb ∠ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ − ⇒ < ≤ ( )2 0 0t at b b− + = ≠ 0 1t< < 1 2t< < 0t = 2t ≥ ( )2 0 0t at b b− + = ≠ 1 20 1,1 2t t< < < < ( ) ( )2 0g t t at b b= − + ≠ ( ) ( ) ( ) 0 0 { 1 1 0 , 2 4 2 0 g b g a b g a b = > = − + < = − + > 3z a b= + ( )3,11z ∈ ,2 0xx R∀ ∈ < ,2 0xx R∀ ∈ < 14． 【解析】当 时， ； 当 时， ，不满足上式。 故 。 答案： 点睛：数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an＝ 当 n＝1 时，a1 若适合 Sn－ Sn－1，则 n＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an；当 n＝1 时，a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分 段函数的形式表示． 15．【解析】不等式组的图象如图 由 图 象 知 ， 则 ， 当 且 仅 当 时，等号成立，经检验 在可行域内，故 的最大值为 25. 16．（2）（3） 【解析】（1）若“函数 为偶函数”，则 ， 即 ，则 ， 平方得 ， ( ) ( )1 5 1{ 2 2n n na n− == ≥ 2n ≥ ( ) ( )1 1 1 2 3 2 3 2n n n n n na S S − − −= − = + − + = 1n = 1 1 2 3 5a S= = + = 1 5, 1{ 2 , 2n n na n− == ≥ 1 5, 1{ 2 , 2n n na n− == ≥ ( ) ( )2 1f x x x a x R= + + + ∈ ( ) ( )f x f x− = 2 21 1x x a x x a+ + + = + − + + ( )1 1x a x a+ + = − + ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 1 1 2 1 1x a x a x a x a+ + + + = − + + + 即 ，则 ，即 ， 则“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件；正确； （2）“直线 垂直平面 内无数条直线”则“直线 垂直平面 ”不一定成立，故（2）错 误； （3）当 时，满足 ，但 不成立，故（3）错误； （4）若 ： ，则 ： 正确． 故答案为：（2）（3） 17 ．（ 1 ） （ 2 ） 当 时 解 集 为 当 时 解 集 为 当 时解集为 【解析】 试题分析：（1）将 代入结合函数图像求解不等式即可；（2）解不等式要结合二次函 数图像及性质，并对两零点 大小分情况讨论 试题解析：（1）当 时得 ，解 集为 （2）∵不等式 , 当 时，有 ，∴不等式的解集为 ； 当 时，有 ，∴不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 . 考点：一元二次不等式解法及分情况讨论 18．(1) (2) 【解析】试题分析： 利用数列递推关系即可得出。 ,利用裂项求和方法即可得出。 解析：（1）数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． n≥2 时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）． 10 << a 1>a 1=a 0>a 10 << a 1>a 1=a ( ) ( )2 1 2 1a x a x+ = − + ( )4 1 0a + = 1a = − 1a = − ( ) ( )2 1f x x x a x R= + + + ∈ l α l α 0, 1x y= = 0xy = 0x y+ = p 2, 2 2 0x R x x∃ ∈ + + ≤ p¬ 2, 2 2 0x R x x∀ ∈ + + > 1[ ,2]2 {1} 2a = 1,a a 2a = ( )2 1 1 12 1 0 2 0 22 2 2x x x x x   − + + ≤ ∴ − − ≤ ∴ ≤ ≤       1[ ,2]2 {1} ∴（2n﹣1）an=2．∴an= ． 当 n=1 时，a1=2，上式也成立． ∴an= ． （2） = = ﹣ ． ∴数列{ }的前 n 项和= + +…+ =1﹣ = ． 点 睛 ： 求 数 列 的 通 项 时 ， 可 以 运 用 ， 本 题 的 条 件 左 边 可 以 看 成 和 的 形 式 ， 遇 到 ,的形式时，利用裂项求和方法即可得出结果。 19．(1)π，函数 f（x）的递增区间是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z；(2) a=8，b=5 或 a=5，b=8． 【解析】试题分析： 解析式利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的余弦函数公 式化简，整理为一个角的正弦函数，找出 的值代入周期公式即可求出 的最小正周期， 利用正弦函数的单调性即可求出 的单调递增区间。 由 ，根据第一问确定出的解析式求出 的度数，利用三角形面积公式列出关 系式，将 值代入求出 的值，利用余弦定理列出关系式，将 代入求出 的 值，联立即可求出 的值。 解析：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos +cos2xsin +sin2xcos ﹣cos2xsin +cos2x+1= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1， ∵ω=2，∴T= =π； 令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，得到﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z， 则函数 f（x）的递增区间是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z； （Ⅱ）由 f（C）=2，得到 2sin（2C+ ）+1=2，即 sin（2C+ ）= ， 3 π 6 π ( ) ( )1 f x ω ( )f x ( )f x ( )2 ( ) 2f c = C sinC ab cosC a b+ ,a b ∴2C+ = 或 2C+ = ， 解得：C=0（舍去）或 C= ， ∵S=10 ， ∴ absinC= ab=10 ，即 ab=40①， 由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即 49=a2+b2﹣ab， 将 ab=40 代入得：a2+b2=89②， 联立①②解得：a=8，b=5 或 a=5，b=8． 20．（1） ，离心率： ．（2）1 【解析】试题分析：（1）根据条件可得 ， 即得椭圆 的方程，及离心率．（2） 先设直线方程为： ，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边 边长 ，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示 面积，最后根据基本 不等式求最大值 试题解析：解：（Ⅰ） ， ， ， ∴椭圆 的方程为： ，离心率： ． （Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为 ，则直线方程为： ， 由 ，得 ， ， 由 得： ， 设 ， ，则 ， ， ， 又∵原点 到直线的距离 ， ∴ ． 当且仅当 ，即 时，等号成立， 此时 面积的最大值为 ． 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题 的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者 多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 21．(1) an= ；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由 ,可得 ，即 ，可得出 { }为等差数列.最终可求出{an}的通项公式.(2)采用错位相减法求出 ,再变形即可求证. （1）∵an=2an﹣1+2n（≥2，且 n∈N）∴ ∴ ∴数列{ }是以 为首项，1 为公差的等差数列； ∴an= ； （2）∵Sn= ∴2Sn= 两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣ =（3﹣2n）•2n﹣3 ∴Sn=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ∴ ． 点睛：在求解数列的通项公式时要注意变形及整体思想的使用，将一般数列转化为等差或等 比数列，从而求出数列通项公式。应用错位相减法求解数列的前 n 项和两式相减时要注意前 后符号的变化. 22.（1） （2） 【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线 的方程,与抛物线联立方程组,结合韦 达定理与弦长公式求 ,再根据 解得 .（2）先设直线 方程 , 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简 ，得 或 ,代入 12 2n n na a −= + 1 1 12 2 n n n n a a − −= + 1 1 12 2 n n n n a a − −− = 2 n n a nS 1 1 12 2 n n n n a a − −= + 1 1 12 2 n n n n a a − −− = 2 n n a 1 2 ( )1 112 2 2 n n a n n= + − = − 1 22 nn −   1 21 3 12 2 22 2 2 nn + +…+ −     2 3 11 3 12 2 22 2 2 nn + + +…+ −     11 22 nn + −   2 3nS nn > − 2 4y x= ( )8, 4− AB AB 6AB = 2p = DE x my t= + MD ME⊥ 4 8t m= + 4 4t m= − + 方程可得直线 过定点 试题解析：（1）拋物线的焦点 ，∴直线 的方程为: . 联立方程组 ，消元得: ， ∴ . ∴ 解得 . ∴抛物线 的方程为： . （2）由（1）可得点 ，可得直线 的斜率不为 0， 设直线 的方程为： ， 联立 ，得 ， 则 ①. 设 ，则 . ∵ 即 ，得： ， ∴ ，即 或 ， DE DE ( )8, 4− ,02 pF      AB 2 2 py x = −   2 2 { 2 2 y px py x =  = −   2 2 2 04 px px− + = 2 1 2 1 22 , 4 px x p x x+ = = ( )2 2 2 1 2 1 21 2 4 3 4 6AB x x x x p p= + + − = ⋅ − = 2p = C 2 4y x= ( )4,4M DE DE x my t= + 2{ 4 x my t y x = + = 2 4 4 0y my t− − = 216 16 0m t∆ = + > ( ) ( )1 1 2 2, , ,D x y E x y 1 2 1 24 , 4y y m y y t+ = = − ( ) ( )1 1 2 24, 4 4, 4MD ME x y x y⋅ = − − ⋅ − − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 16x x x x y y y y= − + + + − + + ( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 164 4 4 4 y y y y y y y y  = ⋅ − + + + − + +    ( ) ( ) ( ) 2 21 2 1 2 1 2 1 23 4 3216 y y y y y y y y= − + + − + + 2 216 12 32 16 0t m t m= − − + − = 2 212 32 16 16t t m m− + = + ( ) ( )2 26 4 2 1t m− = + ( )6 2 2 1t m− = ± + 4 8t m= + 4 4t m= − + 代人①式检验均满足 ， ∴直线 的方程为： 或 . ∴直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）. 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多 少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值 问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推 理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 0∆ > DE ( )4 8 4 8x my m m y= + + = + + ( )4 4x m y= − + ( )8, 4− ( )4,4