2017-2018学年山东省济南外国语学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2017-2018学年山东省济南外国语学校高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省济南外国语学校高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共12题，共计60分）‎ ‎1．（5分）已知a＜b，则下列不等式正确的是（　　）‎ A． B．a2＞b2 C．2﹣a＞2﹣b D．2a＞2b ‎2．（5分）若集合A={x|（2x+1）（3﹣x）＞0}，B={x|x∈N*，x≤5}，则A∩B是（　　）‎ A．{1，2，3} B．{4，5} C．{1，2} D．{1，2，3，4，5}‎ ‎3．（5分）不等式|x2﹣x|＜2的解集为（　　）‎ A．（﹣1，2） B．（﹣1，1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，2）‎ ‎4．（5分）已知f（x）=x+﹣2（x＜0），则f（x）有（　　）‎ A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为﹣4 D．最小值为﹣4‎ ‎5．（5分）下列各函数中，最小值为2的是（　　）‎ A． B．，‎ C． D．‎ ‎6．（5分）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n的值为（　　）‎ A．50 B．49 C．48 D．47‎ ‎7．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=（　　）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ ‎8．（5分）在等比数列{an}中，已知a7a12=5，则a8a9a10a11=（　　）‎ A．10 B．50 C．25 D．75‎ ‎9．（5分）已知数列{an}的通项公式an=26﹣2n，要使此数列的前n项和Sn最大，则n的值为（　　）‎ A．12 B．13 C．12或13 D．14‎ ‎10．（5分）已知{an}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn 为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（　　）‎ A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110‎ ‎11．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5）‎ ‎12．（5分）已知x、y满足，则的最值是（　　）‎ A．最大值2，最小值1 B．最大值1，最小值0‎ C．最大值2，最小值0 D．有最大值，无最小值 ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a+b=　 　．‎ ‎14．（5分）已知函数f（x）=x2+x﹣b+（a，b为正实数）只有一个零点，则+的最小值为　 　．‎ ‎15．（5分）数列{an}中，已知Sn=，则an=　 　．‎ ‎16．（5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥2）从左向右的第2个数为　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）（1）已知等差数列{an}中，a1+a3+a5=21，a4=9，求该数列的前8项的和S8的值．‎ ‎（2）已知等比数列{an}中，a1=﹣2.7，q=﹣．‎ ‎18．（12分）（1）解不等式 ‎（2）若关于x的不等式：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，‎ ‎（1）求a，b；‎ ‎（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．‎ ‎20．（12分）已知等比数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sn，且a3=4，S4=S2+12，求：‎ ‎（1）首项a1及公比q的值；‎ ‎（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和 Tn．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），‎ ‎（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知等差数列{an}，公差d＞0，前n项和为Sn，S3=6，且满足a3﹣a1，2a2，a8成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn的值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年山东省济南外国语学校高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共12题，共计60分）‎ ‎1．（5分）已知a＜b，则下列不等式正确的是（　　）‎ A． B．a2＞b2 C．2﹣a＞2﹣b D．2a＞2b ‎【分析】不妨令a=﹣1且 b=1，可得A、B、D不成立，而 C成立，由此得出结论．‎ ‎【解答】解：不妨令a=﹣1且 b=1，可得 ，故A 不成立．‎ 可得a2=1，b2=1，故B 不成立．‎ 可得 2﹣a=3，2﹣b=1，故有 2﹣a＞2﹣b，故C成立．‎ ‎（证明：∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴2﹣a＞2﹣b ）．‎ 由于函数y=2x 在R上是增函数，∴2a＜2b，故D不成立．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若集合A={x|（2x+1）（3﹣x）＞0}，B={x|x∈N*，x≤5}，则A∩B是（　　）‎ A．{1，2，3} B．{4，5} C．{1，2} D．{1，2，3，4，5}‎ ‎【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．‎ ‎【解答】解：集合A={x|（2x+1）（3﹣x）＞0}={x|﹣＜x＜3}，‎ B={x|x∈N*，x≤5}={1，2，3，4，5}，‎ 则A∩B={1，2}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）不等式|x2﹣x|＜2的解集为（　　）‎ A．（﹣1，2） B．（﹣1，1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，2）‎ ‎【分析】可由绝对值的意义去绝对值，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法 ‎【解答】解：∵|x2﹣x|＜2∴﹣2＜x2﹣x＜2即，，∴x∈（﹣1，2）‎ 故选A ‎【点评】此题重点考查绝对值不等式和二次不等式的解法，属基本题．准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键 ‎　‎ ‎4．（5分）已知f（x）=x+﹣2（x＜0），则f（x）有（　　）‎ A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为﹣4 D．最小值为﹣4‎ ‎【分析】因为x＜0，可得﹣x＞0，然后利用不等式的基本性质进行放缩，从而求解．‎ ‎【解答】解：∵x＜0，∴﹣x＞0，‎ ‎∴x+﹣2=﹣（﹣x+）﹣2≤﹣2﹣2=﹣4，‎ 等号成立的条件是﹣x=，即x=﹣1．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查函数的最值及其几何的意义，利用不等式的性质进行求解，是一道基础题，主要是符号的变化．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）下列各函数中，最小值为2的是（　　）‎ A． B．，‎ C． D．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：对于A．∵，∴=2，当且仅当x=1时取等号．‎ 因为只有一个正确，故选A．‎ ‎【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n的值为（　　）‎ A．50 B．49 C．48 D．47‎ ‎【分析】设公差为d，由条件a1=，a2+a5=4，可求得d的值，再由an=33，利用等差数列的通项公式，求得n的值．‎ ‎【解答】解：设公差为d，‎ ‎∵a1=，a2+a5=4，∴a1+d+a1+4d=4，即+5d=4，可得d=．‎ 再由an=a1+（n﹣1）d=+（n﹣1）×=33，解得 n=50，‎ 故选 A．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=（　　）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得a4+a5=18，‎ 由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，‎ ‎∴S8===72‎ 故选：D ‎【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）在等比数列{an}中，已知a7a12=5，则a8a9a10a11=（　　）‎ A．10 B．50 C．25 D．75‎ ‎【分析】根据等边数列的性质得到：a7a12=a8a11=a9a10=5，易求a8a9a10a11的值．‎ ‎【解答】解：∵a7a12=a8a11=a9a10=5，‎ ‎∴a8a9a10a11=52=25．‎ ‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的第通项公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知数列{an}的通项公式an=26﹣2n，要使此数列的前n项和Sn最大，则n的值为（　　）‎ A．12 B．13 C．12或13 D．14‎ ‎【分析】数列{an}是首项为24，公差为2的等比数列，从而Sn=24n+=﹣n2+25n=﹣（n﹣）2+．由此能求出要使此数列的前n项和Sn最大，n的值．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的通项公式an=26﹣2n，‎ ‎∴a1=26﹣2=24，‎ d=an﹣an﹣1=（26﹣2n）﹣[26﹣2（n﹣1）]=﹣2，‎ ‎∴数列{an}是首项为24，公差为2的等比数列，‎ ‎∴Sn=24n+=﹣n2+25n=﹣（n﹣）2+．‎ ‎∴要使此数列的前n项和Sn最大，则n的值为12或13．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前n项和最大时项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知{an}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn 为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（　　）‎ A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110‎ ‎【分析】通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出 ‎【解答】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9，‎ ‎∵{an}公差为﹣2，‎ ‎∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，‎ 所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，‎ 所以S10==110‎ 故选D ‎【点评】本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5）‎ ‎【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．‎ ‎【解答】解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；‎ ‎②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；‎ ‎③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．‎ 综上知解集为（﹣∞，4）．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知x、y满足，则的最值是（　　）‎ A．最大值2，最小值1 B．最大值1，最小值0‎ C．最大值2，最小值0 D．有最大值，无最小值 ‎【分析】先画出约束条件的可行域，然后分析的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．‎ ‎【解答】解：满足约束条件x、y满足的可行域，‎ 如下图所示：‎ 又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率 当x=3，y=0时，有最小值0；‎ 当x=1，y=2时，有最大值2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a+b=　﹣1　．‎ ‎【分析】不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，故3，2是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b可得．‎ ‎【解答】解：由题意不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，故3，2是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根，‎ ‎∴3+2=a，3×2=﹣b ‎∴a=5，b=﹣6‎ ‎∴a+b=5﹣6=﹣1‎ 故答案为：﹣1‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知函数f（x）=x2+x﹣b+（a，b为正实数）只有一个零点，则+的最小值为　9+4　．‎ ‎【分析】由题意可得a+4b=1，可得+=（+）（a+4b）=9++，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x2+x﹣b+只有一个零点，‎ ‎∴△=a﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1，‎ ‎∵a，b为正实数，‎ ‎∴+=（+）（a+4b）=9++‎ ‎≥9+2=9+4‎ 当且仅当=，即a=b时取等号，‎ ‎∴+的最小值为：9+4‎ 故答案为：9+4‎ ‎【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）数列{an}中，已知Sn=，则an=　　．‎ ‎【分析】Sn=，可得a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．即可得出．‎ ‎【解答】解：∵Sn=，∴a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=﹣．‎ 则an=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥2）从左向右的第2个数为　　．‎ ‎【分析】先找到数的分布规律，求出第n﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第2个数即可．‎ ‎【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1=n（n﹣1）个数．‎ 所以第n行从左向右的第2个数n（n﹣1）+2=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题主要考查了数字的变化规律，借助于一个三角形数阵考查数列的应用，是道基础题．‎ ‎　‎ 三．解答题（共计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）（1）已知等差数列{an}中，a1+a3+a5=21，a4=9，求该数列的前8项的和S8的值．‎ ‎（2）已知等比数列{an}中，a1=﹣2.7，q=﹣．‎ ‎【分析】（1）根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由等差数列性质可得a3=7，又由a4=9，计算可得公差d，将其代入等差数列的前n项公式计算即可得到所求值；‎ ‎（2）由等比数列的通项公式可得an=a1×qn﹣1==，解可得n的值，将n=6代入等比数列前n项和公式计算即可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，设等差数列{an}的公差为d，‎ a1+a3+a5=21，可得3a3=21，可得a3=7，‎ 又a4=9，可得d=a4﹣a3=2，‎ a1=a3﹣2d=7﹣4=3，‎ 则S8=8a1+d=8×3+28×2=80；‎ ‎（2）等比数列{an}中，a1=﹣2.7，q=﹣，‎ 则an=a1×qn﹣1==，‎ 解可得：n=6，‎ 则Sn==﹣．‎ ‎【点评】本题考查等差数列、等比数列的前n项和公式的计算，关键是掌握等差、等比数列的前n项和计算公式．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（1）解不等式 ‎（2）若关于x的不等式：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据不等式的解法解分式不等式即可；‎ ‎（2）对x2的系数分类讨论：当a=2时，直接得出；当a≠2时，要使关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为{x|x∈R}，得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵不等式＞0，‎ ‎∴＜0，解得：﹣3＜x＜2，‎ 故不等式的解集是（﹣3，2）；‎ ‎（2）①当a=2时，不等式化为﹣4＜0对于任意实数x都成立，因此a=2满足题意；‎ ‎②当a≠2时，要使关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为{x|x∈R}，‎ 则，‎ 化为，‎ 解得﹣2＜a＜2．‎ 综上①②可知：a的取值范围为（﹣2，2]．‎ ‎【点评】本题考查了解分式不等式问题，考查二次函数的图象与性质、一元二次不等式的解法、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，‎ ‎（1）求a，b；‎ ‎（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．‎ ‎【分析】（1）根据不等式ax2﹣3x+6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a、b的值；‎ ‎（2）把不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，‎ 讨论c的取值，求出对应不等式的解集．‎ ‎【解答】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，‎ 所以1和b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且b＞1；‎ 由根与系数的关系，得，‎ 解得a=1，b=2；‎ ‎（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，‎ 即（x﹣2）（x﹣c）＜0；‎ ‎①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；‎ ‎②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；‎ ‎③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与对应方程的应用问题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知等比数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sn，且a3=4，S4=S2+12，求：‎ ‎（1）首项a1及公比q的值；‎ ‎（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和 Tn．‎ ‎【分析】（1）a3=4，S4=S2+12，可得=4，=12，解出即可得出．‎ ‎（2）由（1）可得：an=2n﹣1．bn=nan=n•2n﹣1．利用错位相减法即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵a3=4，S4=S2+12，‎ ‎∴=4，=12，‎ 解得a1=1，q=2．‎ ‎（2）由（1）可得：an=2n﹣1．‎ ‎∴bn=nan=n•2n﹣1．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和 Tn=1+2×2+3×22+…+n•2n﹣1，‎ ‎2Tn=2+22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，‎ ‎∴﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n，‎ 化为：Tn=（n﹣1）•2n+1．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），‎ ‎（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）a=时，函数为，f在[1，+∞）上为增函数，故可求得函数f（x）的最小值 ‎（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立，利用分类参数法，通过求函数的最值，从而可确定a的取值范围 ‎【解答】解：（1）因为，f（x）在[1，+∞）上为增函数，‎ 所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=．…（6分）‎ ‎（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．‎ 即a＞﹣（x+1）2+1在[1，+∞）上恒成立．‎ ‎ 令g（x）=﹣（x+1）2+1，则g（x）在[1，+∞）上递减，当x=1时，g（x）max=﹣3，所以a＞﹣3，‎ 即实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．…（6分）‎ ‎【点评】本题以函数为载体，考查对勾函数门课程二次函数的最值，考查恒成立问题的处理，注意解题策略．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知等差数列{an}，公差d＞0，前n项和为Sn，S3=6，且满足a3﹣a1，2a2，a8成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接由已知条件列关于首项和公差的方程组，求解后得{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）把数列{an}的通项代入bn=，由裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由S3=6，a3﹣a1，2a2，a8成等比数列，得 ‎，即，‎ 解得：或．‎ ‎∵d＞0，‎ ‎∴．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=1+1×（n﹣1）=n；‎ ‎（Ⅱ）bn==．‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn=‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．‎ ‎　‎