2018-2019学年云南省大理州大理市下关第一中学高一下学期期末数学(理)试题（解析版）

2018-2019学年云南省大理州大理市下关第一中学高一下学期期末数学(理)试题（解析版）

‎2018-2019学年云南省大理州大理市下关第一中学高一下学期期末数学(理)试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据集合的交集运算即可求出．‎ ‎【详解】‎ 依题可知，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的交集运算以及常用数集的识别，属于基础题．‎ ‎2．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.‎ 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，‎ 所以，‎ 又，则 故选D.‎ 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.‎ ‎ 等比数列的判断方法主要有如下两种：‎ ‎（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；‎ ‎（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.‎ ‎3．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出可行域，利用平移法即可求出．‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的平面区域，如图所示：‎ 当直线平移至经过直线与直线的交点时，取得最大值，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划问题的解法应用，属于基础题．‎ ‎4．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据二倍角余弦公式可求得，根据诱导公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用二倍角余弦公式、诱导公式求解三角函数值的问题，属于基础题.‎ ‎5．已知两条不重合的直线和，两个不重合的平面和，下列四个说法：‎ ‎①若，，，则；‎ ‎②若，，则；‎ ‎③若，，，，则；‎ ‎④若，，，，则．‎ 其中所有正确的序号为（ ）‎ A．②④ B．③④ C．④ D．①③‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的性质定理，判定定理等有关结论，逐项判断出各项的真假，即可求出．‎ ‎【详解】‎ 对①，若，，，则或和相交，所以①错误；‎ 对②，若，，则或，所以②错误；‎ 对③，根据面面平行的判定定理可知，只有，，，，且和相交，则，所以③错误；‎ 对④，根据面面垂直的性质定理可知，④正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查有关线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的命题的判断，意在考查线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的性质定理，判定定理等有关结论的理解和应用，属于基础题．‎ ‎6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的部分图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的性质以及特殊位置即可利用排除法选出正确答案．‎ ‎【详解】‎ 因为函数定义域为，关于原点对称，而，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A，C；又因为，故排除B．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的识别，涉及余弦函数性质的应用，属于基础题．‎ ‎7．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是 A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点成中心对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称 ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，‎ 所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，‎ 又，所以，所以，‎ 令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的外接球表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三视图还原几何体，由三棱锥的几何特征即可求出其外接球表面积．‎ ‎【详解】‎ 根据三视图可知，该几何体如图所示：‎ 所以该几何体的外接球，即是长方体的外接球．‎ 因为，所以外接球直径．‎ 故该三棱锥的外接球表面积为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由三视图还原几何体，并计算其外接球的表面积，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．‎ ‎9．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，，成等差数列，，则的周长的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意求出，由正弦定理可得，再根据角的范围，可求出的范围，即可求得的周长的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 依题可知，，由，可得，所以 ‎，‎ 即，‎ 而．‎ ‎∴，即．‎ 故的周长的取值范围为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差的正弦公式的应用，以及三角函数的值域求法的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．‎ ‎10．设函数是上的偶函数，且在上单调递减．若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据偶函数的定义可变形，再直接比较的大小关系，即可利用函数的单调性得出，，的大小关系．‎ ‎【详解】‎ 因为函数是上的偶函数，所以，而，‎ 函数在上单调递减，所以．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的性质的应用，涉及奇偶性，指数函数，对数函数的单调性，以及对数的运算性质的应用，属于基础题．‎ ‎11．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以点的轨迹为以为直径的圆，故点是两圆的交点，根据圆与圆的位置关系，即可求出．‎ ‎【详解】‎ 根据可知，点的轨迹为以为直径的圆，故点是圆和圆的交点，‎ 因此两圆相切或相交，即，亦即．‎ 故的最小值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，意在考查学生的转化能力，属于基础题．‎ ‎12．设，是定义在上的两个周期函数，的周期为，的周期为，且是奇函数．当时，，，其中．若在区间上，函数有个不同的零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意可知，函数和在上的图象有个不同的交点，作出两函数图象，即可数形结合求出．‎ ‎【详解】‎ 作出两函数的图象，如图所示：‎ 由图可知，函数和在上的图象有个不同的交点，‎ 故函数和在上的图象有个不同的交点，才可以满足题意．所以，圆心到直线的距离为，解得，因为两点连线斜率为，所以，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的图象应用，函数性质的应用，函数的零点个数与两函数图象之间的交点个数关系的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知向量满足，则与的夹角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，结合条件，即可求出，的值，代入求夹角公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由得 与的夹角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数量积的定义，公式的应用，求夹角公式的应用，计算量较大，属基础题．‎ ‎14．两平行直线与之间的距离为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据两直线平行求出，再根据平行直线间的距离公式即可求出．‎ ‎【详解】‎ 因为直线的斜率为，所以直线的斜率存在，，‎ 即，解得或．‎ 当时，，即，‎ 故两平行直线的距离为．‎ 当时，，，两直线重合，不符合题意，应舍去．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平行直线间的距离公式的应用，以及根据两直线平行求参数，属于基础题．‎ ‎15．如图所示，梯形中，，于，，分别是，的中点，将四边形沿折起（不与平面重合），以下结论①面；②；③．则不论折至何位置都有_______．‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】根据题意作出折起后的几何图形，再根据线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识即可判断各选项的真假．‎ ‎【详解】‎ 作出折起后的几何图形，如图所示：．‎ 因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以．‎ 而面，所以面，①正确；无论怎样折起，始终有，所以面，即有，而，所以，②正确；折起后，面，面，且，故与是异面直线，③错误．‎ 故答案为：①②．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．‎ ‎16．三棱锥的各顶点都在球的球面上，，平面，，，球的表面积为，则的表面积为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意可证得，而，所以球心为的中点．由球的表面积为，即可求出，继而得出的值，求出三棱锥的表面积．‎ ‎【详解】‎ 如图所示：‎ ‎∵，平面，∴，又，故球心为的中点．‎ ‎∵球的表面积为，∴，即有．‎ ‎∴，．‎ ‎∴，，‎ ‎，．‎ 故的表面积为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三棱锥的表面积的求法，球的表面积公式的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．设为正项数列的前项和，且满足．‎ ‎（1）求证：为等差数列；‎ ‎（2）令，，若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）根据与的关系，再结合等差数列的定义，即可证明；‎ ‎（2）由（1）可求出，采用裂项相消法求出，要恒成立，只需即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题知：，‎ 当得：，解得：‎ 当，‎ ‎①②得：‎ ‎，即．‎ 是以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎（2）由（1）知：‎ 所以 即．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查与的关系，等差数列的定义，裂项相消法以及恒成立问题的解法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎18．向量，，，函数．‎ ‎（1）求的表达式，并在直角坐标中画出函数在区间上的草图；‎ ‎（2）若方程在上有两个根、，求的取值范围及的值．‎ ‎【答案】（1），见解析（2）或，或．‎ ‎【解析】（1）根据数量积的坐标表示，二倍角公式，辅助角公式即可求出的表达式，再根据五点作图法或者平移法即可作出其在上的草图；‎ ‎（2）依题意知，函数在上的图象与直线有两个交点，根据数形结合，即可求出的取值范围及的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题知，‎ ‎．‎ 将正弦函数的图象向右平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的，即可得到的图象，截取的部分即得，如图所示：‎ ‎（2）依题可知，函数在上的图象与直线有两个交点，根据数形结合，‎ 可知，或，当时，两交点关于直线对称，‎ 所以；当时，两交点关于直线对称，所以．‎ 故或，或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数量积的坐标表示，二倍角公式，辅助角公式的应用，正弦型函数图象的画法，以及方程的根与两函数图象交点的个数关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，数形结合能力，以及转化能力，属于中档题．‎ ‎19．的内角，，的对边分别为，，，为边上一点，为的角平分线，，．‎ ‎（1）求的值：‎ ‎（2）求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）3‎ ‎【解析】（1）由，，根据三角形面积公式可知，，再根据角平分线的定义可知，到，的距离相等，所以，即可求出；‎ ‎（2）先根据（1）可得，，由平方关系得，再根据三角形的面积公式，可化简得，然后根据基本不等式即可求出面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图所示：‎ 因为，所以．‎ 又因为为的角平分线，所以到，的距离相等，所以 所以．‎ ‎（2）由（1）及余弦定理得：‎ 所以，‎ 又因为所以，‎ 所以 又因为且，故 所以，‎ 当且仅当即时取等号．‎ 所以面积的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，以及利用基本不等式求最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．‎ ‎20．四棱锥中，，，底面，，直线与底面所成的角为，、分别是、的中点．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）若，求证：直线平面；‎ ‎（3）求棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】（1）由中位线定理可得，，再根据平行公理可得，，即可根据线面平行的判定定理证出；‎ ‎（2）根据题意可计算出，而是的中点，可得，又，即可根据线面垂直的判定定理证出；‎ ‎（3）根据等积法，即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接，，，、是、中点，‎ ‎，从而．‎ 又平面，平面，‎ 直线平面；‎ ‎（2）证明：，，．‎ 底面，直线与底面成角，‎ ‎．．‎ 是的中点，．‎ ‎，．‎ 面，面，‎ 直线平面；‎ ‎（3）由题可知，，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理的应用，以及利用等积法求三棱锥的体积，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和转化能力，属于基础题．‎ ‎21．已知关于直线对称，且圆心在轴上.‎ ‎（1）求的标准方程；‎ ‎（2）已知动点在直线上，过点引的两条切线、，切点分别为.‎ ‎①记四边形的面积为，求的最小值；‎ ‎②证明直线恒过定点.‎ ‎【答案】（1）（2）① ②证明见解析 ‎【解析】（1）根据圆的一般式，可得圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，结合圆心在轴上，即可求得圆C的标准方程．‎ ‎（2）①根据切线性质及切线长定理，表示出的长，根据圆的性质可知当最小时，即可求得面积的最小值；②设出M点坐标，根据两条切线可知M、A、C、B四点共圆，可得圆心坐标及半径，进而求得的方程，根据两个圆公共弦所在直线方程求法即可得直线方程，进而求得过的定点坐标．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，‎ 圆心在直线上，即，‎ 又因为圆心在轴上，‎ 所以，‎ 由以上两式得：，，‎ 所以.‎ 故的标准方程为.‎ ‎（2）①如图，的圆心为，半径，‎ 因为、是的两条切线，‎ 所以，，‎ 故 又因为，‎ 根据平面几何知识，要使最小，只要最小即可.‎ 易知，当点坐标为时，‎ ‎.‎ 此时.‎ ‎②设点的坐标为，‎ 因为，‎ 所以、、、四点共圆.‎ 其圆心为线段的中点，，‎ 设所在的圆为，‎ 所以的方程为：，‎ 化简得：，‎ 因为是和的公共弦，‎ 所以，两式相减得，‎ 故方程为：，‎ 当时，，‎ 所以直线恒过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，圆中三角形面积问题的应用，直线过定点问题，综合性强，属于难题．‎ ‎22．已知圆，过点的直线与圆相交于不同的两点，．‎ ‎（1）若，求直线的方程．‎ ‎（2）判断是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）或．（2）是，定值．‎ ‎【解析】（1）根据题意设出，再联立直线方程和圆的方程，得到，，然后由列式，再将的值代入求解，即可求出；‎ ‎（2）先根据特殊情况，当直线与轴垂直时，求出，再说明当直线与轴不垂直时， 是否成立，即可判断．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得不与轴垂直，不妨设，，．‎ 联立消去得，‎ 则有 ‎，‎ 又，，‎ ‎，解得或．‎ 所以，直线的方程为或．‎ ‎（2）当直线与轴垂直时（斜率不存在），，的坐标分别为，，‎ 此时．‎ 当不与轴垂直时， ‎ 又由（1），，且，‎ 所以．‎ 综上，为定值．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，韦达定理的应用，数量积的坐标表示，以及和圆有关的定值问题的解法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．‎