高考数学理第一轮复习学案——空间向量及其运算和空间位置关系

高考数学理第一轮复习学案——空间向量及其运算和空间位置关系

空间向量及其运算和空间位置关系(理)‎ ‎[知识能否忆起]‎ 一、 空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量(平行向量)‎ 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．‎ 共面向量 平行于同一平面的向量．‎ 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.‎ 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.‎ 空间向量基本定理 ‎(1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c．‎ ‎(2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1.‎ 二、数量积及坐标运算 ‎1．两个向量的数量积 ‎(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；‎ ‎(3)|a|2＝a2，|a|＝.‎ ‎2．向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)‎ 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)‎ 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)‎ 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)‎ 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ 三、平面的法向量 ‎(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．‎ ‎(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的．‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是(　　)‎ A．a∥c，b∥c　　　　　　　　 B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 解析：选C　∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.‎ ‎2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)‎ A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}‎ C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}‎ 解析：选C　若c、a＋b、a－b共面， 则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．‎ ‎3．(教材习题改编)下列命题：‎ ‎①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；‎ ‎②若＝x＋y，则M、P、A、B共面；‎ ‎③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面．‎ 其中正确的个数为(　　)‎ A．0　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选D　可判断①②③正确．‎ ‎4．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．‎ 解析：如图，＝＋ ‎＝＋＋ ‎＝a＋b＋c.‎ 答案：a＋b＋c ‎5．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．‎ 解析：设正方体的棱长为1，①中(＋＋)2＝32＝3，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0.故④也不正确．‎ 答案：①②‎ ‎1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．‎ ‎2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：‎ ‎(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．‎ ‎(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 空间向量的线性运算 典题导入 ‎[例1]　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中G为△A1BD的重心，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.‎ ‎[自主解答]　 ＝＋＋＝＋＋‎ ‎＝a＋b＋c.‎ ‎＝＋‎ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－)＋(－)‎ ‎＝＋＋ ‎＝a＋b＋c.‎ 本例条件不变，设A1C1与B1D1交点为M，试用a，b，c表示.‎ 解：如图，‎ ‎＝＋‎ ‎＝－(＋)＋(＋)‎ ‎＝－a－b＋(－)＋(－)‎ ‎＝－a－b＋b－c＋a－c ‎＝－a－b－c 由题悟法 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．‎ 以题试法 ‎1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________．‎ 解析：∵＝＋＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋－ ‎＝＋×(＋)－× ‎＝＋＋ ‎∴x，y，z的值分别为，，.‎ 答案：，， 共线、共面向量定理的应用 典题导入 ‎[例2]　如右图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面．‎ ‎[自主解答]　取＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝＋2＋ ‎＝b－a＋2a＋(＋＋)＝b＋a＋(b－a－c－a)‎ ‎＝b－c，∴与b、c共面．即E、F、G、H四点共面．‎ 由题悟法 应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：‎ 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ‎＝λ且同过点P ‎＝x＋y 对空间任一点O，＝→＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y ‎ 对空间任一点O，＝x＋(1－x) ‎ 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) ‎ 以题试法 ‎2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证：‎ ‎(1)E、F、G、H四点共面；‎ ‎(2)BD∥平面EFGH.‎ 证明：(1)连接BG，则＝＋‎ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋＋＝＋，‎ 由共面向量定理知：‎ E、F、G、H四点共面．‎ ‎(2)因为＝－‎ ‎＝－＝(－)＝，‎ 又因为E、H、B、D四点不共线，所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ 利用空间向量证明平行或垂直 典题导入 ‎[例3]　(2012·湖南模拟)已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．‎ ‎(1)求证：AF∥平面BCE；‎ ‎(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.‎ ‎[自主解答]　依题意，以AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为z轴，过点A且垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．‎ ‎∵F为CD的中点，∴F.‎ ‎(1)易知，＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)，‎ ‎∵＝(＋)，AF⊄平面BCE，‎ ‎∴AF∥平面BCE.‎ ‎(2)∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)，‎ ‎∴·＝0，·＝0，‎ ‎∴⊥，⊥，即AF⊥CD，AF⊥ED.‎ 又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE.‎ 又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.‎ 由题悟法 利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．‎ ‎(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．‎ 则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．‎ l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.‎ ‎(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.‎ l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．‎ ‎(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.‎ 以题试法 ‎3．(2012·汕头模拟)‎ 如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝，M是线段B1D1的中点．‎ ‎(1)求证：BM∥平面D1AC；‎ ‎(2)求证：D1O⊥平面AB1C.‎ 证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)、D1(0,0，)，‎ ‎∴＝(－1，－1，)，‎ 又点B(2,2,0)，M(1,1，)，‎ ‎∴＝(－1，－1，)，‎ ‎∴＝，‎ 又∵OD1与BM不共线，‎ ‎∴OD1∥BM.‎ 又OD1⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，‎ ‎∴BM∥平面D1AC.‎ ‎(2)连接OB1.∵·＝(－1，－1，)·(1,1，)＝0，·＝(－1，－1， ‎)·(－2,2,0)＝0，‎ ‎∴⊥，⊥，‎ 即OD1⊥OB1，OD1⊥AC，‎ 又OB1∩AC＝O，∴D1O⊥平面AB1C.‎ ‎1．(2013·大同月考)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　)‎ A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)‎ B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)‎ C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)‎ D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)‎ 解析：选D　若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，‎ B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，‎ 只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.‎ ‎2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选D　由题意得c＝t a＋μ b＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，‎ ‎∴∴ ‎3.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ A．－a＋b＋c　　　　　　 B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析：选A　＝＋＝＋(－)‎ ‎＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.‎ ‎4.(2013·晋中调研)如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)‎ A．0 B. C. D. 解析：选A　设＝a，＝b，＝c，‎ 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，‎ ‎·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ‎＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.‎ ‎5．(2012·舟山月考)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　)‎ A．5 B．6‎ C．4 D．8‎ 解析：选A　设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，‎ ‎2＝a2＋b2＋c2＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，‎ 因此||＝5.‎ ‎6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足＝λ的实数λ的值有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选C　建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，‎ 则P(x，y,2)，O(1,1,0)，‎ ‎∴OP的中点坐标为 ，‎ 又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，‎ 而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，‎ ‎∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.‎ ‎∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.‎ ‎7．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．‎ ‎①＝2－－；②＝＋＋；③＋＋＝0；④＋＋＋＝0.‎ 解析：∵＋＋＝0，∴＝－－，则、、为共面向量，即M、A、B、C四点共面．‎ 答案：③‎ ‎8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．‎ 解析：以D1A1、D1C1、D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，‎ 则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，∴＝(x－1,0,1)，‎ 又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴＝(1,1，y)，‎ 由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，‎ 只需―→·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.‎ 答案：1‎ ‎9.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA、DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．‎ 解析：设PD＝a，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，‎ P(0,0，a)，E.‎ ‎∴＝(0,0，a)，＝.‎ 由cos〈，〉＝，‎ ‎∴＝a ·，∴a＝2.‎ ‎∴E的坐标为(1,1,1)．‎ 答案：(1,1,1)‎ ‎10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：‎ ‎(1)AE⊥CD；‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ 证明：AB、AD、AP两两垂直，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．‎ ‎(1)∵∠ABC＝60°，‎ ‎∴△ABC为正三角形．‎ ‎∴C，E.‎ 设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得·＝0，‎ 即y＝，则D，‎ ‎∴＝.又＝，‎ ‎∴·＝－×＋×＝0，‎ ‎∴⊥，即AE⊥CD.‎ ‎(2)法一：∵P(0,0,1)，∴＝.‎ 又·＝×＋×(－1)＝0，‎ ‎∴⊥，即PD⊥AE.‎ ‎∵＝(1,0,0)，∴·＝0.‎ ‎∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面AEB.‎ 法二：＝(1,0,0)，＝，‎ 设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则 令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－)．‎ ‎∵＝，显然＝n.‎ ‎∵∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.‎ ‎11．已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，E为AD的中点(图甲)．沿BE将△ABE折起，使二面角A－BE－C为直二面角(图乙)，且F为AC的中点．‎ ‎(1)求证：FD∥平面ABE；‎ ‎(2)求证：AC⊥BE.‎ 证明：(1)如图1，设M为BC的中点，连接DM、MF.∵F为AC的中点，M为BC的中点，∴MF∥AB.‎ 又∵BM綊DE，∴四边形BMDE为平行四边形，∴MD∥BE.‎ ‎∵MF∩MD＝M，AB∩BE＝B，‎ ‎∴平面DFM∥平面ABE.‎ 又∵PD⊂平面DFM，FD⊄平面ABE，‎ ‎∴FD∥平面ABE.‎ ‎(2)在矩形ABCD(如图2)中，连接AC，交BE于G.‎ ‎·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝－2＋·＝－36＋36＝0.‎ ‎∴AC⊥BE.‎ ‎∴在图3中，AG⊥BE，CG⊥BE.‎ 又∵AG∩GC＝G，‎ ‎∴BE⊥平面AGC.‎ 又∵AC⊂平面AGC，∴AC⊥BE.‎ ‎12．(2012·长春模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4.‎ ‎(1)求证：BD⊥PC；‎ ‎(2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值．‎ 解：(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(1，，0)，D(0,0,0)，C(－3，，0)．‎ ‎(1)设PD＝a，则P(0,0，a)，＝(－1，－，0)，＝(－3，，－a)，‎ ‎∵·＝3－3＝0，∴BD⊥PC.‎ ‎(2)由题意知，＝(0，，0)，＝(0,0，a)，＝(1,0，－a)，＝(－3，，－a)，‎ ‎∵＝λ，∴＝(－3λ，λ，－aλ)，‎ ‎＝＋＝(0,0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)‎ ‎＝(－3λ，λ，a－aλ)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则 即 令z＝1，得x＝a，∴n＝(a,0,1)，‎ ‎∵DE∥平面PAB，∴·n＝0，‎ ‎∴－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0，‎ ‎∵a≠0，∴λ＝.‎ ‎1．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　)‎ A.，－，4 B.，－，4‎ C.，－2,4 D．4，，－15‎ 解析：选B　∵⊥，∴·＝0，‎ 即3＋5－2z＝0，得z＝4.‎ 又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝(3,1,4)，则解得 ‎2．设空间四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0

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