高考数学人教A版（理）一轮复习：第十篇 第3讲 二项式定理

高考数学人教A版（理）一轮复习：第十篇 第3讲 二项式定理

第3讲 二项式定理 A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．(2013·蚌埠模拟)在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)．‎ A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 解析　Tr＋1＝C()24－rr＝Cx12－，故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．‎ 答案　C ‎2．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为 (　　)．‎ A．－150 B．150 C．300 D．－300‎ 解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，‎ Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，‎ 令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.‎ 答案　B ‎3．(2013·兰州模拟)已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是 (　　)．‎ A．28 B．38 C．1或38 D．1或28‎ 解析　由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x ‎＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.‎ 答案　C ‎4．(2012·天津)在5的二项展开式中，x的系数为 (　　)．‎ A．10 B．－10 C．40 D．－40‎ 解析　因为Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝C25－r·(－1)rx10－3r，所以10－3r＝1，所以r＝3，所以x的系数为C25－3(－1)3＝－40.‎ 答案　D 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．(2011·湖北)18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示)．‎ 解析　Tr＋1＝Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系数为(－1)2·C2＝17.‎ 答案　17‎ ‎6．(2012·浙江)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.‎ 解析　f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.‎ 答案　10‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.‎ ‎(1)求n；(2)求展开式中的常数项．‎ 解　(1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.‎ ‎(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令 ‎＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.‎ ‎8．(13分)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．‎ ‎(1)试用组合数表示这个一般规律：‎ ‎(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；‎ ‎(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．‎ 第0行　　　　　　　1‎ 第1行　　　　　　 1　1‎ 第2行　　　　　　1　2　1‎ 第3行　　　　　1　3　3　1‎ 第4行　　　　1　4　6　4　1‎ 第5行　　　1　5　10　10　5　1‎ 第6行　　1　6　15　20　15　6　1‎ ‎　…　　　　　　　　…‎ 解　(1)C＝C＋C.‎ ‎(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.‎ ‎(3)设C∶C∶C＝3∶4∶5，‎ 由＝，得＝，‎ 即3n－7r＋3＝0. ①‎ 由＝，得＝，‎ 即4n－9r－5＝0. ②‎ 解①②联立方程组，得n＝62，r＝27，‎ 即C∶C∶C＝3∶4∶5.‎ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．已知00)与y＝|logax|的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C＝－2＋11＝9.‎ 答案　B ‎2．(2012·湖北)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)．‎ A．0 B．1 C．11 D．12‎ 解析　512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 012＋a能被13整除．‎ 答案　D 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________.‎ 解析　令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.‎ 答案　7‎ ‎4．(2011·浙江)设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．‎ 解析　由Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，‎ 得B＝C(－a)4，A＝C(－a)2，∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.‎ 答案　2‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎5．(12分)已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．‎ 解　5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n＝16，得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4＝54，解得a＝±.‎ ‎6．(13分)已知n，‎ ‎ (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ 解　(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.‎ ‎∴n＝7或n＝14，‎ 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.‎ ‎∴T4的系数为C423＝，‎ T5的系数为C324＝70，‎ 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.‎ ‎∴T8的系数为C727＝3 432.‎ ‎(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.‎ ‎∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，‎ ‎∵12＝12(1＋4x)12，‎ ‎∴　∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T11，‎ T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎