上海黄浦区中考数学一模试卷

上海黄浦区中考数学一模试卷

‎2015年上海市黄浦区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎1．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=c，那么BC等于（　　）‎ ‎　 A． c•sinα B． c•cosα C． c•tanα D． c•cotα ‎　‎ ‎2．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（　　）‎ ‎　 A． a＞0，c＞0 B． a＜0，c＞0 C． a＞0，c＜0 D． a＜0，c＜0‎ ‎　‎ ‎3．如果||=3．||=2，且与反向，那么下列关系中成立的是（　　）‎ ‎　 A． = B． =﹣ C． = D． =﹣‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（　　）‎ ‎　 A． = B． = C． = D． =‎ ‎　‎ ‎5．抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴（含x轴、y轴）的公共点的个数是（　　）‎ ‎　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3‎ ‎　‎ ‎6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若S△ADE：S△BDE=1：2，则S△ADE：S△BEC=（　　）‎ ‎　 A． 1：4 B． 1：6 C． 1：8 D． 1：9‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）‎ ‎7．如果=，那么的值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎8．计算：tan60°﹣cos30°=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎9．如果某个二次函数的图象经过平移后能与y=3x2的图象重合，那么这个二次函数的解析式可以是　　　　　　．（只要写出一个）．‎ ‎　‎ ‎10．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎11．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果AB=2，BC=3，那么的值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BD⊥CD，如果AD=1，BC=3，那么BD长是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，那么该斜坡的坡比是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，如果CD=3，BD=2．那么cos∠A的值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．正六边形的中心角等于　　　　　　度．‎ ‎　‎ ‎16．在直角坐标平面内，圆心O的坐标是（3，﹣5），如果圆O经过点（0，﹣1），那么圆O与x轴的位置关系是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，分别以A、B为圆心的两圆外切，如果点C在圆A内，那么圆B的半径长r的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD，垂足为点E，连结AE，∠AEB=∠C，且cos∠C=，若AD=1，则AE的长是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（共7小题，满分78分）‎ ‎19．如图，已知两个不平行的向量、．‎ ‎（1）化简：2（3﹣）﹣（+）；‎ ‎（2）求作，使得=﹣．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．‎ ‎　‎ ‎20．在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）写出该抛物线的顶点坐标．‎ ‎　‎ ‎21．已知：如图，⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．‎ ‎（1）求证：=；‎ ‎（2）当PA=1，∠BPO=45°时，求弦AB的长．‎ ‎　‎ ‎22．如图，小明想测量河对岸的一幢高楼AB蛾高度，小明在河边C处测得楼顶A的仰角是60°距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房中距地面20米的D处测得楼顶A的仰角是30°（点B、C、E在同一直线上，且AB、DE均与地面BE处置），求楼AB的高度．‎ ‎　‎ ‎23．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．‎ ‎（1）求证：△AED∽△ABC；‎ ‎（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．‎ ‎　‎ ‎24．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=（x﹣3）2向下平移使之经过点A（8，0），平移后的抛物线交y轴于点B．‎ ‎（1）求∠OBA的正切值；‎ ‎（2）点C在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，连接CA、CB．求△ABC的面积；‎ ‎（3）点D的平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，连接DA、DB，当∠BDA=∠OBA时，求点D坐标．‎ ‎　‎ ‎25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，联结CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与点C、E重合）．‎ ‎（1）当点F是线段CE的中点，求GF的长；‎ ‎（2）设BE=x，OH=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年上海市黄浦区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎1．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=c，那么BC等于（　　）‎ ‎　 A． c•sinα B． c•cosα C． c•tanα D． c•cotα 考点： 锐角三角函数的定义．‎ 分析： 根据题意画出图形，进而利用sinA=，求出即可．‎ 解答： 解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AB=c，‎ ‎∴sinA=，‎ ‎∴BC=AB•sinA=c•sinα，‎ 故选：A．‎ 点评： 此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎2．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（　　）‎ ‎　 A． a＞0，c＞0 B． a＜0，c＞0 C． a＞0，c＜0 D． a＜0，c＜0‎ 考点： 二次函数图象与系数的关系．‎ 分析： 首先根据开口方向确定a的符号，再依据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由此解决问题．‎ 解答： 解：∵图象开口方向向上，‎ ‎∴a＞0；‎ ‎∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，‎ ‎∴c＜0；‎ ‎∴a＞0，c＜0．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想．‎ ‎　‎ ‎3．如果||=3．||=2，且与反向，那么下列关系中成立的是（　　）‎ ‎　 A． = B． =﹣ C． = D． =﹣‎ 考点： *平面向量．‎ 分析： 由||=3．||=2，且与反向，根据平面向量的定义，即可求得答案．‎ 解答： 解：∵||=3，||=2，‎ ‎∴||=||，‎ ‎∵与反向，‎ ‎∴=﹣．‎ 故选D．‎ 点评： 此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意理解平面向量的定义是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（　　）‎ ‎　 A． = B． = C． = D． =‎ 考点： 平行线分线段成比例．‎ 分析： 根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当=或=时，DE∥BD，然后可对各选项进行判断．‎ 解答： 解：当=或=时，DE∥BD，‎ 即=或=．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理．‎ ‎　‎ ‎5．抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴（含x轴、y轴）的公共点的个数是（　　）‎ ‎　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3‎ 考点： 二次函数图象上点的坐标特征．‎ 分析： 先根据判别式的值得到△=﹣3＜0，根据△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到抛物线与x轴没有交点，由于抛物线与y轴总有一个交点，所以抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴的交点个数为1．‎ 解答： 解：∵△=12﹣4×（﹣1）×（﹣1）=﹣3＜0，‎ ‎∴抛物线与x轴没有交点，‎ 而抛物线y=﹣x2+x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1），‎ ‎∴抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴的交点个数为1．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若S△ADE：S△BDE=1：2，则S△ADE：S△BEC=（　　）‎ ‎　 A． 1：4 B． 1：6 C． 1：8 D． 1：9‎ 考点： 相似三角形的判定与性质．‎ 分析： 首先证明△ADE∽△ABC，进而证明S△ABC=9S△ADE；运用S△BDE=2S△ADE，得到S△BEC=6S△ADE，即可解决问题．‎ 解答： 解：∵，且S△ADE：S△BDE=1：2，‎ ‎∴，；‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴S△ABC=9S△ADE，而S△BDE=2S△ADE，‎ ‎∴S△BEC=6S△ADE，‎ ‎∴S△ADE：S△BEC=1：6．‎ 故选B．‎ 点评： 该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质，这是灵活运用、解题的基础和关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）‎ ‎7．如果=，那么的值是　　．‎ 考点： 比例的性质．‎ 分析： 根据合比性质，可得答案．‎ 解答： 解：由=，那么==，‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了比例的性质，利用合比性质：=⇒=．‎ ‎　‎ ‎8．计算：tan60°﹣cos30°=　　．‎ 考点： 特殊角的三角函数值．‎ 分析： 直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．‎ 解答： 解：原式=﹣=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．‎ ‎　‎ ‎9．如果某个二次函数的图象经过平移后能与y=3x2的图象重合，那么这个二次函数的解析式可以是　y=3（x+2）2+3　．（只要写出一个）．‎ 考点： 二次函数图象与几何变换．‎ 专题： 开放型．‎ 分析： 先设原抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，再根据经过平移后能与抛物线y=3x2重合可知a=3，然后根据平移的性质写出解析式，答案不唯一．‎ 解答： 解：先设原抛物线的解析式为y=a（x+h）2+k，‎ ‎∵经过平移后能与抛物线y=3x2重合，‎ ‎∴a=3，‎ ‎∴这个二次函数的解析式可以是y=3（x+2）2+3．‎ 故答案为：y=3（x+2）2+3．‎ 点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是　1　．‎ 考点： 二次函数的性质．‎ 分析： 由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．‎ 解答： 解：∵y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，‎ ‎∴m﹣1=0，解得m=1，‎ 故答案为：1．‎ 点评： 本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果AB=2，BC=3，那么的值是　　．‎ 考点： 平行线分线段成比例．‎ 分析： 根据平行线分线段成比例可得=，代入可求得答案．‎ 解答： 解：∵AD∥BE∥FC，‎ ‎∴==，‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BD⊥CD，如果AD=1，BC=3，那么BD长是　　．‎ 考点： 相似三角形的判定与性质．‎ 分析： 如图，证明∠A=∠BDC，∠ADB=∠DBC，得到△ABD∽△DCB，列出比例式即可解决问题．‎ 解答： 解：如图，∵AD∥BC，AB⊥AD，BD⊥CD，‎ ‎∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠DBC，‎ ‎∴△ABD∽△DCB，‎ ‎∴AD：BD=BD：BC，而AD=1，BC=3，‎ ‎∴BD=．‎ 故答案为．‎ 点评： 该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握相似三角形的判定及其性质是解题的基础和关键．‎ ‎　‎ ‎13．如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，那么该斜坡的坡比是　　．‎ 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ 分析： 直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，进而得出答案．‎ 解答： 解：∵某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，‎ ‎∴水平距离BC==6（m），‎ 则该斜坡的坡比是：=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 此题主要考查了坡度的定义，正确把握定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，如果CD=3，BD=2．那么cos∠A的值是　　．‎ 考点： 锐角三角函数的定义．‎ 分析： 根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出cosA=cos∠BCD进而求出即可．‎ 解答： 解：如图所示：∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠B+∠A=90°，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠CDA=90°，‎ ‎∴∠B+∠BCD=90°，‎ ‎∴∠BCD=∠A，‎ ‎∵CD=3，BD=2，‎ ‎∴BC=，‎ ‎∴cosA=cos∠BCD===．‎ 故答案为：．‎ 点评： 此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎15．正六边形的中心角等于　60　度．‎ 考点： 正多边形和圆．‎ 分析： 根据正六边形的六条边都相等即可得出结论．‎ 解答： 解：∵正六边形的六条边都相等，‎ ‎∴正六边形的中心角==60°．‎ 故答案为：60．‎ 点评： 本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．在直角坐标平面内，圆心O的坐标是（3，﹣5），如果圆O经过点（0，﹣1），那么圆O与x轴的位置关系是　相切　．‎ 考点： 直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．‎ 分析： 确定圆O的半径，然后根据点O到x轴的距离与圆的半径的大小进行判断即可．‎ 解答： 解：∵圆心O的坐标是（3，﹣5），如果圆O经过点（0，﹣1），‎ ‎∴圆的半径为=5，‎ ‎∵O到x轴的距离为5，‎ ‎∴圆O与x轴的位置关系是相切，‎ 故答案为：相切．‎ 点评： 本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形的性质的知识，解题的关键是求得圆的半径，难度不大．‎ ‎　‎ ‎17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，分别以A、B为圆心的两圆外切，如果点C在圆A内，那么圆B的半径长r的取值范围是　0＜r＜2﹣　．‎ 考点： 点与圆的位置关系．‎ 分析： 首先根据题意求得斜边AB和直角边AC的长，要使得点C在圆A内圆A的半径就满足比AC长、比AB短，从而得解．‎ 解答： 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，‎ ‎∴AB=2BC=2，AC==，‎ ‎∵以A、B为圆心的两圆外切，‎ ‎∴两圆的半径的和为2，‎ ‎∵点C在圆A内，‎ ‎∴圆A的半径长r的取值范围是0＜r＜2﹣，‎ 故答案为：0＜r＜2﹣．‎ 点评： 考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD，垂足为点E，连结AE，∠AEB=∠C，且cos∠C=，若AD=1，则AE的长是　　．‎ 考点： 梯形；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．‎ 分析： 作AF∥DC，交BE于G，BC于F，作FH∥BE，交DC于H，先求得四边形ABCD是平行四边形，四边形EGFH是矩形，从而求得FC=AD=1，GE=FH，由cos∠C=求得CH，然后根据勾股定理求得FH，最后根据cos∠AEB=即可求得AE的长．‎ 解答： 解：作AF∥DC，交BE于G，BC于F，作FH∥BE，交DC于H，‎ ‎∵AD∥BC，BE⊥CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，FH⊥DC，AF⊥BE，‎ ‎∴FC=AD=1，∠FHC=90°，∠AG，E=90°，‎ ‎∵cos∠C==，‎ ‎∴HC=，‎ ‎∴FH==，‎ ‎∵FH⊥DC，AF⊥BE，BE⊥CD，‎ ‎∴四边形EGFH是矩形，‎ ‎∴GE=FH=，‎ ‎∴cos∠AEB=，‎ ‎∵∠AEB=∠C，且cos∠C=，‎ ‎∴cos∠AEB==，‎ ‎∴AE===．‎ 故答案为．‎ 点评： 本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形等，作出辅助线关键直角三角形、平行四边形、矩形是本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共7小题，满分78分）‎ ‎19．如图，已知两个不平行的向量、．‎ ‎（1）化简：2（3﹣）﹣（+）；‎ ‎（2）求作，使得=﹣．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．‎ 考点： *平面向量．‎ 分析： （1）直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时的符号变化；‎ ‎（2）利用三角形法则求解即可求得答案．‎ 解答： 解：（1）2（3﹣）﹣（+）=6﹣2﹣﹣=5﹣3；‎ ‎（2）如图，=，=，‎ 则==﹣．‎ ‎∴即为所求．‎ 点评： 此题考查了平面向量的运算与作法．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎20．在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）写出该抛物线的顶点坐标．‎ 考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．‎ 分析： （1）把原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点分别代入函数解析式，求得a、b、c的数值得出函数解析式即可；‎ ‎（2）把函数解析式化为顶点式，得出顶点坐标即可．‎ 解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=﹣2x2﹣3x．‎ ‎（2）y=﹣2x2﹣3x ‎=y=﹣2（x+）2+，‎ 抛物线的顶点坐标为（﹣，）．‎ 点评： 此题考查待定系数法求函数解析式，以及利用配方法求得顶点坐标．‎ ‎　‎ ‎21．已知：如图，⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．‎ ‎（1）求证：=；‎ ‎（2）当PA=1，∠BPO=45°时，求弦AB的长．‎ 考点： 垂径定理；角平分线的性质；勾股定理．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （1）作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，根据角平分线的性质得OE=OF，根据垂径定理得AE=BE，CF=DF，则可利用“HL”证明Rt△OBE≌Rt△ODF，得到BE=DF，则AB=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到=，所以=；‎ ‎（2）在Rt△POE中，由于∠BPO=45°，则可判断△POE为等腰直角三角形，所以OE=PE=1+AE，则OE=1+BE，然后在Rt△BOE中根据勾股定理得（1+BE）2+BE2=52，解方程求出BE即可得到AB．‎ 解答： （1）证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，‎ ‎∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，‎ ‎∴OE=OF，AE=BE，CF=DF，‎ 在Rt△OBE和Rt△ODF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△OBE≌Rt△ODF，‎ ‎∴BE=DF，‎ ‎∴AB=CD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴+=+，‎ 即=；‎ ‎（2）解：在Rt△POE中，∵∠BPO=45°，‎ ‎∴△POE为等腰直角三角形，‎ ‎∴OE=PE=PA+AE=1+AE，‎ 而AE=BE，‎ ‎∴OE=1+BE，‎ 在Rt△BOE中，∵OE2+BE2=OB2，‎ ‎∴（1+BE）2+BE2=52，解得BE=﹣4（舍去）或BE=3，‎ ‎∴AB=2BE=6．‎ 点评： 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了角平分线的性质和勾股定理．‎ ‎　‎ ‎22．如图，小明想测量河对岸的一幢高楼AB蛾高度，小明在河边C处测得楼顶A的仰角是60°距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房中距地面20米的D处测得楼顶A的仰角是30°（点B、C、E在同一直线上，且AB、DE均与地面BE处置），求楼AB的高度．‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析： 过点D作DF⊥AB于点F，设AB的长度为x米，则AF=x﹣20米，在Rt△ABC和Rt△ADF中分别求出BC和DF的长度，然后根据CE=BE﹣CB，代入数值求出x的值．‎ 解答： 解：过点D作DF⊥AB于点F，‎ 则四边形BFDE为矩形，‎ 设AB的长度为x米，则AF=x﹣20米，‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∵∠ACB=60°，‎ ‎∴BC=，‎ 在Rt△ADF中，‎ ‎∵∠ADF=30°，‎ ‎∴DF=（x﹣20），‎ ‎∵AB=DF，CE=60米，‎ ‎∴（x﹣20）﹣=60，‎ 解得：x=30+30．‎ 即楼AB的高度为（30+30）米．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．‎ ‎　‎ ‎23．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．‎ ‎（1）求证：△AED∽△ABC；‎ ‎（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．‎ 考点： 相似三角形的判定与性质．‎ 专题： 证明题．‎ 分析： （1）证明B、C、E、D四点共圆，得到∠ADE=∠ACB，即可解决问题．‎ ‎（2）如图，作辅助线，证明EM=EF；由sinα=，sinα=，得到，根据ME=EF，即可解决问题．‎ 解答： （1）证明：∵∠ABE=∠ACD，‎ ‎∴B、C、E、D四点共圆，‎ ‎∴∠ADE=∠ACB，而∠A=∠A，‎ ‎∴△AED∽△ABC．‎ ‎（2）解：过点E作EM⊥AB，EF⊥BC；‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴EM=EF；设∠ADE=∠ACB=α，‎ 则sinα=，sinα=，‎ ‎∴，而ME=EF，‎ ‎∴DE=CE．‎ 点评： 该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质、四点共圆的判定等几何知识点．‎ ‎　‎ ‎24．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=（x﹣3）2向下平移使之经过点A（8，0），平移后的抛物线交y轴于点B．‎ ‎（1）求∠OBA的正切值；‎ ‎（2）点C在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，连接CA、CB．求△ABC的面积；‎ ‎（3）点D的平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，连接DA、DB，当∠BDA=∠OBA时，求点D坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）设平移后的抛物线表达式为y=（x﹣3）2+k，把A（8，0）代入表达式可得k的值，可得出平移后的抛物线表达式，把把x=0代入得y的值，可得出B坐标，即可得出tan∠OBA的值．‎ ‎（2）利用平移后的抛物线可得出点C的坐标，从而得出直线AC的解析式，由AC与y轴交于点E，可得出点E的坐标，利用S△ABC=S△BCE+S△ABE求解即可，‎ ‎（3）设对称轴交线段与AB与N，交x轴于点F，利用角的关系可得△NAD∽△DAB，由相似比可得AD2=AN•AB，由FN∥BO，可得AN=AB，再结合AF2+m2=AD2，即可求出点D的坐标．‎ 解答： 解：（1）设平移后的抛物线表达式为y=（x﹣3）2+k，把A（8，0）代入表达式解得k=﹣，‎ ‎∴平移后的抛物线表达式为y=（x﹣3）2﹣，‎ 如图，‎ 把x=0代入得y=（x﹣3）2﹣，得y=﹣4，‎ ‎∴B（0，﹣4），‎ 在RT△AOB中，tan∠OBA==2，‎ ‎（2）把y=6代入y=（x﹣3）2﹣，解得x1=﹣4或x2=10（舍去），‎ ‎∴C（﹣4，6），‎ 如图，‎ ‎∴直线AC解析式为y=﹣x+4，‎ 设AC与y轴交于点E，则点E的坐标为（0，4），‎ ‎∴S△ABC=S△BCE+S△ABE=BE•|C横坐标|+BE•OA=16+32=48，‎ ‎（3）如图，设对称轴交线段与AB与N，交x轴于点F，‎ ‎∵FN∥BO，‎ ‎∴∠OBA=∠DNA，‎ ‎∵∠BDA=∠OBA ‎∴∠BDA=∠DNA，‎ ‎∴△NAD∽△DAB，‎ ‎∴=，即AD2=AN•AB，‎ ‎∵FN∥BO，‎ ‎∴==，‎ ‎∴AN=AB，‎ 设点D的坐标为（3，m），‎ 由题意得AF2+m2=AD2，即52+m2=（4）2，‎ 解得m=5（负值舍去），‎ ‎∴点D（3，5）．‎ 点评： 本题主要考查了二次函数综合题涉及勾股定理，相似三角形，三角形面积等知识，解题的关键是确定平移后的抛物线表达式．‎ ‎　‎ ‎25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，联结CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与点C、E重合）．‎ ‎（1）当点F是线段CE的中点，求GF的长；‎ ‎（2）设BE=x，OH=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．‎ 考点： 四边形综合题．‎ 分析： （1）首先利用勾股定理得出AC的长，证得△ACF≌△AEF，得出BE=2，进一步得出△CBE∽△ABG，△CGF∽△CBE，利用三角形相似的性质得出CF、CG的长，利用勾股定理求得而答案即可；‎ ‎（2）作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N，利用△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，建立BE、OH之间的联系，进一步整理得出y关于x的函数解析式，根据y=0，得出x的定义域即可；‎ ‎（3）分三种情况探讨：①当BH=BG时，②当GH=GB，③当HG=HB，分别探讨得出答案即可．‎ 解答： 解：（1）∵AB=8，BC=6，‎ ‎∴AC=10，‎ ‎∵AF⊥CE，‎ ‎∴∠AFC=∠AFE=90°，‎ ‎∵点F是线段CE的中点，‎ ‎∴CF=EF，‎ 在△ACF和△AEF中，‎ ‎∴△ACF≌△AEF，‎ ‎∴AE=AC=10，‎ ‎∴BE=2，‎ ‎∵∠CGF=∠AGB，∠GFC=∠ABG，‎ ‎∴∠FCG=∠GAB，∠CBE=∠ABG，‎ ‎∴△CBE∽△ABG，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ BG=，‎ ‎∴CG=，‎ ‎∵∠GCF=∠BCE，∠CFG=∠CBE，‎ ‎∴△CGF∽△CBE，‎ ‎∴=，‎ 又CE=2CF，‎ ‎∴2CF2=BC•CG，‎ ‎∴CF=，‎ ‎∴GF==；‎ ‎（2）如图，‎ 作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N，‎ ‎∵AF⊥CE，‎ ‎∴ON∥BM∥CE，‎ ‎∴△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，‎ ‎∴==，=，==，‎ ‎∴=，‎ 又∵△CBE∽△ABG，‎ ‎∴=，BE=x，‎ ‎∴BG=x，‎ ‎∴=，‎ 则y=（0＜x＜）．‎ ‎（3）当△BHG是等腰三角形，‎ ‎①当BH=BG时，△AHD∽△BHG，=，则5+y=6，y=1，由y=，解得x=3；‎ ‎②当GH=GB，得出∠AHD=ABH，不存在；‎ ‎③当HG=HB，得出∠HGB=∠HBG=∠OCB不存在．‎ 所以BE=3．‎ 点评： 此题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，知识设计的面广，需要多方位思考解决问题，渗透分类讨论的思想．‎ ‎　‎