2014高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:1-3-2 球的体积和表面积

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2014高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:1-3-2 球的体积和表面积

一、选择题 ‎1.球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于 (  )‎ A.    B.‎1 ‎   C.2    D.3‎ ‎[答案] D ‎2.半径为R的球内接一个正方体,则该正方体的体积是(  )‎ A.2R3 B.πR3‎ C.R3 D.R3‎ ‎[答案] C ‎3.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为(  )‎ A.R B.2R C.3R D.4R ‎[答案] D ‎4.一个正方体与一个球表面积相等,那么它们的体积比是(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] A ‎[解析] 由‎6a2=4πR2得=,∴==3=.‎ ‎5.已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是(  )‎ A.6:5 B.5:4‎ C.4:3 D.3:2‎ ‎[答案] D ‎[解析] 设球的半径为R,则圆柱的高h=2R,底面的半径也为R,∴==.‎ ‎6.(2012~2013山东临清中学高一第三次月考试题)已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5,且它的顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是(  )‎ A.20 B.25 C.50π D.200π ‎[答案] C ‎[解析] 长方体的体对角线即为球的直径,∴2R=,∴R=,S球=4πR2=50π.‎ ‎7.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是(  )‎ A.9π B.10π C.11π D.12π ‎[答案] D ‎[解析] 本题是三视图还原为几何体的正投影问题,考查识图能力,空间想像能力.由题设可知,该几何体是圆柱的上面有一个球,圆柱的底面半径为1,高为3,球的半径为1,∴该几何体的表面积为 ‎2π×1×3+2π×12+4π×12=12π.‎ ‎8.64个直径都为的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则(  )‎ A.V甲>V乙且S甲>S乙 B.V甲S乙 D.V甲=V乙且S甲=S乙 ‎[答案] C ‎[解析] 计算得V甲=πa3,S甲=4πa2,V乙=πa3,S乙=πa2,∴V甲=V乙,且S甲>S乙.‎ 二、填空题 ‎9.用过球心的平面将一个球平均分成两个半球,则两个半球的表面积和是原来整球表面积的________倍.‎ ‎[答案]  ‎[解析] S球=4πR2,2S半=(2πR2+πR2)×2=6πR2,‎ ==.‎ ‎10.若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱、圆锥、球的体积的比为________.‎ ‎[答案] 3:1:2‎ ‎[解析] V柱=πR2×2R=2πR3,‎ V锥=πR2×2R=R3,‎ V球=πR3.‎ V柱:V锥:V球=3:1:2.‎ ‎11.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等,则球O的半径为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 设球O的半径为r,则πr3=23,‎ 解得r= ‎12.(2010·湖北高考)圆柱形容器内盛有高度为‎8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.‎ ‎[答案] 4‎ ‎[解析] 设球的半径为r,则圆柱形容器的高为6r,容积为πr2×6r=6πr3,高度为‎8 cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.‎ 三、解答题 ‎13.(2012~2013·福建厦门高一检测)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,求该几何体的表面积和体积.‎ ‎[解析]由三视图可知此几何体是半径为2的半球.‎ S=×4πR2+πR2=12π,‎ V=πR3×=π.‎ ‎14.一试管的上部为圆柱形,底部为与圆柱底面半径相同的半球形.圆柱形部分的高为h cm,半径为r cm.试管的容量为108π cm3,半球部分容量为全试管容量的.‎ ‎(1)求r和h;‎ ‎(2)若将试管垂直放置,并注水至水面离管口‎4 cm处,求水的体积.‎ ‎[解析] (1)∵半球部分容量为全试管容量的,‎ ‎∴半球部分与圆柱体部分容量比为,‎ 即= ‎∴h=r,πr3×=108π× ‎∴r=3(cm),h=10(cm).‎ ‎(2)V=πr3×+πr2×(h-4)‎ ‎=π×33×+π×32×6=72π(cm3).‎ ‎15.体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3,试比较它们的大小.‎ ‎[解析] 设正方体的棱长为a,球的半径为R,等边圆柱的底面半径为r,则S1=‎6a2,S2=4πR2,S3=6πr2.‎ 由题意知,πR3=a3=πr2·2r,‎ ‎∴R=a,r=a,‎ ‎∴S2=4π2=4π·a2=a2,‎ S3=6π2=6π·a2=a2,‎ ‎∴S2‎3a2=a2,即S1>S3.‎ ‎∴S1、S2、S3的大小关系是S2
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