专题53+空间几何体的结构特征及其三视图与直观图（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

专题53+空间几何体的结构特征及其三视图与直观图（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

‎【学习目标】‎ ‎1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质． ‎ ‎2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．‎ ‎3．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．‎ ‎4．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图．‎ ‎【知识要点】‎ ‎1．空间几何体的结构特征 多面体 棱柱 棱柱的侧棱都相互____且____，上下底面是_______且________的多边形．‎ 棱锥 棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．‎ 棱台 棱台可由一个_____________________得到，其上下底面是________且相似的多边形．‎ 旋转体 圆柱 圆柱可由_______绕其任意一边旋转得到．‎ 圆锥 圆锥可以由___________绕其一条直角边旋转得到．‎ 圆台 圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下边的中点连线旋转得到，也可由_________圆锥底面的平面截圆锥得到．‎ 球 球可以由半圆或圆绕其_______旋转得到.‎ ‎2.三视图 空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括_____________、_________、_________．‎ ‎3．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：‎ ‎(1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、‎ y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度_______，平行于y轴的线段，长度变为____________．‎ ‎(2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于平面xOy，在直观图中对应的z′轴，也垂直于平面x′O′y′，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度______．‎ ‎【高考模拟】‎ 一、单选题 ‎1．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）‎ A． 4 B． 8 C． 12 D． 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新定义和正六边形的性质可得答案．‎ ‎【详解】‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．‎ ‎2．下列说法一定正确的是(　　)‎ A． 直角三角形绕其一边旋转形成圆锥 B． 等边三角形绕其一边旋转形成圆锥 C． 平面截圆锥所得的图形是圆 D． 过圆锥顶点的截面图形是等腰三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥的几何特征和定义，分析四个答案的正误即可得到答案 ‎【详解】‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查的是图形的旋转，以及旋转后的图形的样式，要求学生有一定的空间思维能力，考查了圆锥的几何特征和定义，属于基础题。‎ ‎3．如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，当平面α经过BCNM时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正四棱台的高及MN中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积。‎ ‎【详解】‎ 当斜面α经过点时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8‎ 此时作正四棱台俯视图如下：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中过定点的截面面积问题，关键是分析出截面的位置，再根据条件求得各数据，需要很好的空间想象能力，属于难题。‎ ‎4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是 A． 该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B． 该几何体有12条棱、6个顶点 C． 该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D． 该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．‎ ‎【详解】‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题目．‎ ‎5．用长度为1的木棒摆放4个边长为1的正三角形，至少需要（ ）根 A． 6 B． 9 C． 10 D． 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用6根长度为1的木棒可以组成正四面体即可.‎ ‎【详解】‎ 用6根长度为1的木棒可以组成正四面体，而正四面体是由四个正三角形构成的，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了正四面体的性质，考查空间想象力，属于中档题.‎ ‎6．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）‎ A． B． C． D． 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.‎ 点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.‎ ‎7．如图, 在正方体中, , 过直线的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正方体结构特征，易得体对角线，取中点，则为所求截面，再进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，连接交于，取中点，连接、、和，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的判定，考查正方体的结构特征，借助正方体的结构正确的判定垂直平面的位置是解题关键.‎ ‎8．正方体的棱长为1,点P,Q,R分别是棱的中点,以为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上,则这个正三棱柱的高为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查了正棱柱的结构特征，意在考查学生对该知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键．‎ ‎9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知：原三棱锥为．其中，．可得这个三棱锥最长棱的棱长是PB．‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知：原三棱锥为．其中，． ∴这个三棱锥最长棱的棱长是 ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三视图的有关知识、三棱锥的有关计算，属于基础题．‎ ‎10．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三视图的数据，由正四棱锥法性质，根据勾股定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥，‎ 故其体积为．选B．‎ ‎12．正方体中, 为棱的中点(如图)用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面的基本性质，得到几何体的直观图，然后判断左视图即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：过点、、的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是得到直观图，是基本知识的考查．‎ ‎13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的三视图可得：该几何体是该几何体是如图所示的三棱 柱挖去一个三棱锥，进而得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是由三视图求几何体体积，考查空间想象能力，属于中档题．‎ ‎14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定几何体的空间结构，然后求解其表面积即可.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．‎ ‎15．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原原图，进而得到切掉的三棱锥的形状，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，根据勾股定理列出方程即可.‎ ‎【详解】‎ 由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，‎ 如图所示，‎ 截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3，的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，由勾股定理得到 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。‎ ‎16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　‎ A． 1‎ B． 2‎ C． 3‎ D． 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可知几何体的形状如图：‎ ‎，，，，BCDE是矩形，，‎ 所以几何体的体积为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何体的体积的求法，三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键．‎ ‎17．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是(　　)‎ A． 等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B． 正方形的直观图为平行四边形 C． 梯形的直观图不是梯形 D． 正三角形的直观图一定为等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对各个选项逐一进行分析即可得到结论 ‎【详解】‎ 由斜二测画法水平放置的平面图形时的画法原则可知：‎ 等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，故错误 正方形的直观图为平行四边形，故正确 梯形的直观图是梯形，故错误 正三角形的直观图是一个钝角三角形，故错误 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是斜二测画法直观图，熟练掌握其规则是解题的关键，属于基础题。‎ ‎18．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有(　　)‎ A． 8桶 B． 9桶 C． 10桶 D． 11桶 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形 ‎【详解】‎ 易得第一层有桶，第二层最少有桶，第三层最少有桶，所以至少共有桶。‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握读图的方法是解题的关键，主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，属于基础题。‎ ‎19．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，由此可求该几何体的表面积.‎ ‎【详解】‎ ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．‎ ‎20．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先找到三视图对应的几何体原图，再利用补形法求几何体外接球的半径，最后求球的表面积.‎ ‎【详解】‎ 还原几何体如图所示三棱锥由（如下左图），‎ 将此三棱锥补形为直三棱柱（如上右图），‎ 在直三棱柱中取的中点，取中点，‎ ‎,.‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体外接球的表面积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)求几何体外接球的半径常用直接法和模型法，本题利用的就是模型法,简捷高效.‎ ‎21．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图，还原空间结构体，分别求得各面的面积求和即可。‎ ‎【详解】‎ 根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何三视图的简单应用，判断好每个面各边的关系是解决面积问题的关键，属于基础题。‎ ‎22．某四面体三视图如图所示，该四面体的体积为（　　）‎ A． 8 B． C． 20 D． 24‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图得到几何体的直观图，然后结合直观图的特征和相关数据求得几何体的体积．‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原几何体如下图所示的三棱锥，其中棱与底面垂直，；底面三角形为直角三角形，且两直角边分别为．‎ 所以该四面体的体积是．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 以三视图为载体考查几何体的表面积和体积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后再结合题意求解．‎ ‎23．一个几何体三视图如下，则其体积为（ ）‎ A． 12 B． 8 C． 6 D． 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在长方体中还原立体图为三棱锥。‎ ‎【详解】‎ 在长方体中还原立体图为三棱锥如下图所示，由此解得体积为4，故选D ‎【点睛】‎ 由三视图还原几何体，当三角形比较多的时候，一般以长方体为模型，还原三视图。长方体的长、宽、高中的某个量可以对应几何体的高，求解很方便。‎ ‎24．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）‎ ‎ ‎ A． 三棱锥 B． 三棱柱 C． 四棱锥 D． 四棱柱 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出几何体的图形即可得到选项．‎ ‎【详解】‎ 根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，可知几何体如图：‎ ‎∴几何体是三棱柱 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎25．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 几何体是球体切去后余下的部分，球的半径为2，代入球的表面积公式可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由三视图知：几何体是球体切去后余下的部分，‎ 球的半径为2，∴几何体的表面积S=（1﹣）×4π×22+π×22=16π．‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2) 通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法. ‎ ‎26．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由题意结合三视图确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积比即可.‎ ‎【详解】‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎27．已知水平放置的用斜二测画法得到平面直观图是边长为的正三角形，那么 原来的面积为 (　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据斜二测画法确定与关系，求出高，代入面积公式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,选D. ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查斜二测画法，考查基本求解能力.‎ ‎28．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A． 8 B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知三视图我们可以判断出该几何体为一个正方体截去一个三棱台，根据已知中正方体的棱长为2，我们根据三视图中所标识的数据，分别计算出正方体的体积和三棱台的体积，进而可以求出该几何体的体积．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎29．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，题中描绘的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为 6 寸，则这天该地的降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水除以器具口面积．参考公式：其中分别表示上、下底面的面积，为高)‎ ‎ ‎ A． 2 寸 B． 3 寸 C． 4 寸 D． 5寸 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由梯形中位线定理求得盆中水的上底面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得结论.‎ ‎【详解】‎ 如图，由三视图可知，‎ 天池盆上底面半径为寸，下底面半径为寸，高为寸，‎ 积水深寸，水面半径寸，‎ 则盆中水的体积为 （立方寸），‎ 平地降雨量等于（寸），故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. ‎ ‎30．如图所示，一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原可知原图形是圆柱，再由全面积公式求得全面积。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图还原及圆柱的全面积公式，需要熟练运用公式，难度较低。‎ 二、填空题 ‎31．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定几何体，再根据长方体以及四棱柱体积公式求结果.‎ ‎【详解】‎ 根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，所以．‎ ‎【点睛】‎ 先根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图，再在具体几何体中求体积. ‎ ‎33．如图为某几何体的三视图，主视图与左视图是两个全等的直角三角形，直角边分别为与1，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体最长边长为__.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知的三视图，可得该几何体是一个三棱锥，底面为腰长为1的等腰直角三角形，即可直接求出最长边长.‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原几何体如图所示：‎ 该几何体还原实物图为三棱锥，为腰长为1的等腰三角形，平面，则，.‎ ‎∴最长边为 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体底面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎34．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______． ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定几何体的空间结构，然后求解其表面积和体积即可.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．‎ ‎(4)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；‎ ‎(5)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎35．三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合空间几何体的几何特征首先求解BC的长度，然后确定BD的长度即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意结合三视图可知，‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三视图及其应用，空间几何体的结构特征，学生的空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎36．某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长边长是_____该几何体的体积是_______。‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原图形为一个直棱柱，切去了一个三棱锥，也是一个倒放的四棱锥。再体积公式可求。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎37．如下图所示,梯形是水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法),若,,,,则四边形的面积是__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜二测画法知，四边形ABCD是上底为2下底为3，高的直角梯形，利用梯形公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由直观图知，四边形ABCD中，ABCD,,因为，所以，且 ‎,根据梯形面积公式，故填5.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直观图，斜二测画法，属于中档题. 解决直观图相关问题，需要利用斜二测画法联系原图形和直观图.‎ ‎38．某几何体的三视图如图所示（单位为），则该几何体的表面积为_______，体积为______. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原原几何体，可知原几何体为该几何体为三棱锥，底面三角为直角三角形，侧棱底面，由三棱锥体积公式求体积．‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形为直角三角形，侧棱底面， 由，可得 ， 由，可得 ， ∴该几何体的表面积为 则该三棱锥的体积为 ． 故答案为：；．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．‎ ‎39．已知在斜二测画法下的平面直观图是边长为的正三角形，那么原的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合斜二测画法原图形与所得图形面积的比值关系求解的面积即可.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查斜二测画法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎40．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式，求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 该题所考查的是有关三视图的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，椎体的体积公式，在解题的过程中，利用三视图正确还原几何体是解题的关键. ‎ 三、解答题 ‎41．如图所示，如果一个几何体的正视图与侧视图是全等的长方形，且边长分别是4与2，俯视图是一个边长为4的正方形 ‎（Ⅰ）求该几何体的表面积；‎ ‎（Ⅱ）求该几何体的外接球的体积 ‎【答案】（1）64.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 三视图复原的几何体是底面是正方形的正四棱柱，根据三视图的数据，求出几何体的表面积，求出对角线的长，就是外接球的直径，然后求它的体积即可．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎42．如图是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正（主）视图和侧（左）视图（单位：）.‎ ‎（1）画出该多面体的俯视图；‎ ‎（2）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积；（尺寸如图）‎ ‎【答案】（1）见解析；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据几何体的结构特征与它的正（主）视图和侧（左）视图可得其俯视图；‎ ‎（2）根据几何体的结构特征得：，把数据代入面积公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）该多面体的俯视图如下图所示： ‎ ‎ ‎ ‎（2）所求多面体的表面积 S= ‎ ‎ =（）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查俯视图的作法，考查由三视图求多面体的表面积的求法，注意几何体重叠部分的处理.‎ ‎43．几何体的三视图如图:求这个几何体的表面积和体积 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：根据三视图还原几何体即可.‎ 详解：由已知的三视图可得:该几何体是正棱柱，底面是一个边长为的等边三角形，‎ 故底面面积为 ，底面周长为，棱柱的高，‎ 故棱柱的表面积；体积.‎ 点睛：本题考察三视图，要求从三视图还原几何体，注意还原前后点、线、面的对应的关系.‎ ‎44．如下图所示是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸不限)．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何体的三视图知道，这个几何体是一个上面小而底面大的正三棱台，我们可以建斜系，先画出下底面正三边形的直观图，最后去掉辅助线．‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知该几何体是一个正三棱台．‎ 画法：(1)如图①所示，作出两个同心的正三角形，并在一个水 平放置的平面内画出它们的直观图；‎ ‎(2)建立z′轴，把里面的正三角形向上平移高的大小；‎ ‎(3)连接两正三角形相应顶点，并擦去辅助线，被遮的线段用虚线表示，如图②所示，即得到要画的正三棱台．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何体的三视图、斜二测法画法等基础知识，做这种类型的题目，关键是要能够看懂给定的三视图所表示的空间几何体的形状，然后才能正确地解答．‎ ‎45．画出如图所示几何体的三视图．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，由此能作出它的三视图．‎ ‎【详解】‎ 该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示．‎ ‎【点睛】‎ 由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎46．如图所示，正方体中，、分别是棱和的中点，过点、、、的截面将正方体分成两部分 .‎ ‎（1）作出左上部分几何体的三视图；‎ ‎（2）求分正方体成两部分的几何体体积之比.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：(1)结合几何体的空间结构绘制几何体的三视图即可；‎ ‎(2)设正方体棱长为，则截面右下方的体积是，截面左上方的体积是，则分正方体成两部分的几何体体积之比是.‎ 详解：（1）三视图：‎ ‎（2）设正方体棱长为，截面右下方的体积是 ‎，‎ 截面左上方的体积是，‎ 分正方体成两部分的几何体体积之比是. （也可写成17:7）.‎ 点睛：本题主要考查三视图的绘制，空间想象能力，空间几何体的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎47．在四棱锥中，平面， ，．‎ ‎ ‎ ‎(1)画出四棱锥的主视图；‎ ‎(2)若，求直线与平面所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)‎ ‎【答案】（1）正视图见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：(1)根据三视图的画法，画出四棱锥的主视图；‎ ‎(2) 如图所示建立空间直角坐标系，求出相应点和向量的坐标，求出平面平面的法向量，可求出直线与平面所成角的大小．‎ 试题解析：(1)主视图如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可得，. ‎ 于是，有 . ‎ 设平面的法向量为， ‎ 则即 ‎ 令，可得，故平面的一个法向量为. ‎ 设直线与平面所成角的大小为，则. ‎ 所以直线与平面所成角的大小为.‎ ‎48．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的左视图、俯视图、直观图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.‎ ‎（Ⅰ）求该几何体的表面积和体积；‎ ‎（Ⅱ）求点C到平面MAB的距离.‎ ‎【答案】（Ⅰ）体积是4，表面积是; （Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意得该几何体为四棱锥，然后根据三视图中的数据可得几何体的体积和表面积．（2）设C到面MAB的距离为，然后根据可得，即所求的点到面的距离．‎ 试题解析：‎ 由三视图可得，在几何体中，EA平面ABC，DC平面ABC，AE∥DC，AE=2，DC=4，‎ ABAC，且AC=2．‎ ‎（Ⅰ）∵EA平面ABC，AB平面ABC，‎ ‎∴EAAB，‎ 又ABAC， ，‎ ‎∴AB平面ACDE，‎ ‎∴四棱锥B—ACDE的高，‎ 又梯形ACDE的面积，‎ ‎∴体积为；‎ 表面积为S=‎ ‎ .‎ ‎（Ⅱ）如图，过M作MN⊥BC于N，过N作NH⊥AB于H，则MH⊥AB．‎ ‎ ‎ ‎49．一几何体按比例绘制的三视图如图所示：‎ ‎(1)试画出它的直观图；‎ ‎(2)求它的表面积和体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）表面积为，体积为 ‎【解析】试题分析：(1)由三视图画出它的直观图；（2）该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的.‎ 试题解析：‎ ‎(1)直观图如图所示．‎ ‎(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，‎ ‎ ‎ ‎50．某几何体的正视图和侧视图如图所示，它的俯视图的直观图是，其中 ‎（1）画出该几何体的直观图；‎ ‎（2）分别求该几何体的体积和表面积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合俯视图的直观图可知底面为边长为4的等边三角形，据此画出该几何体的直观图即可；‎ ‎(2)结合几何体的性质可知该几何体为三棱锥，计算可得其体积，其表面积.‎ 试题解析：‎ ‎(1)经分析底面为边长为4的等边三角形，且侧棱垂直于底面 ‎(2)体积 表面积