2020届湖北省名师联盟高三上学期期末考试精编仿真金卷数学（B理）试题

2020届湖北省名师联盟高三上学期期末考试精编仿真金卷数学（B理）试题

2019-2020 学年上学期高三期末考试备考精编金卷 理 科 数 学（B） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ，集合 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 2． （ ） A． B． C． D． 3．已知 ， ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线 的离心率为 ，抛物线 的焦点坐标 为 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 5．某医院拟派 名内科医生， 名外科医生和 名护士共 人组成两个医疗队，平均分 到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则 {2,3,4}A = { , 2}B m m= + {2}A B = m = 0 1 2 4 2 3i 1 i − =+ 1 5 i2 2 − 1 5 i2 2 − − 1 5 i2 2 + 1 5 i2 2 − + (1,2)=a ( , 3)m m= +b ( 2, 1)m= − −c ∥a b ⋅ =b c 7− 3− 3 7 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > e 2 2 ( 0)y px p= > (1,0) e p= 3y x= ± 2 2y x= ± 5 2y x= ± 2 2y x= ± 2 3 3 8 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 不同的分配方案有（ ） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 6．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 7．运行如图程序，则输出的 的值为（ ） A． B． C． D． 8．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的体积为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数 ，若曲线 在点 处的切线方程为 ， 则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 10 ． 已 知 ， ， ， 是 球 的 球 面 上 四 个 不 同 的 点 ， 若 ，且平面 平面 ，则球 的表面积为（ ） 72 36 24 18 3π 3sin( )2 3 α + = cos2α = 1 2 − 1 3 − 1 3 1 2 S 0 1 2018 2017 1 32 32 3 16 16 3 ( ) ln( 1)f x x ax= + − ( )y f x= (0, (0))f 2y x= a 2− 1− 1 2 A B C D O 2AB AC DB DC BC= = = = = DBC ⊥ ABC O A． B． C． D． 11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点， 为双曲线在第一象限上的点，直线 ， 分别交双曲线 的左、右支于 ， ， 若 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数 ，若曲线 上始终存在两点 ， ， 使得 ，且 的中点在 轴上，则正实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．在 中， ， ， ，则 ． 14．已知不等式组 所表示的平面区域为 ，则区域 的外接圆的面积为 ______． 15 ． 已 知 ， 则 ． 16．在平面直角坐标系 中，已知 ， ，若圆 上有且仅有 四个不同的点 ，使得 的面积为 ，则实数 的取值范围是________． 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 20π 3 15π 2 6π 5π 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1F 2F O P PO 2PF C M N 1 2| | 3| |PF PF= 2 60MF N∠ = ° 5 2 3 2 7 2 3 2, 1 ( ) ln , 1( 1) x x x f x a x xx x − + <=  ≥ + ( )y f x= A B OA OB⊥ AB y a (0, )+∞ ( 10, ]e [1, )e +∞ [ , )e +∞ ABC△ 3a = 2 6b = 2B A= cos A = 2 0 2 0 2 x y x y x − ≥  − ≤  ≤ Ω Ω 11 2 10 11 0 1 2 10 11(1 2 )x a a x a x a x a x+ = + + + + + 1 2 10 112 10 11a a a a− + − + = xOy (0, )A a (3, 4)B a + 2 2 9x y+ = C ABC△ 5 a 算步骤． 17．（12 分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ． 18．（12 分）如图，在多面体 中，四边形 是菱形， ， ， ， 平面 ， ， ， 是 的中点． （1）求证：平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成的角的正弦值． 19．（12 分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 名高三 学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） { }na n nS 1 3 10a a+ = 4 24S = { }na 1{ } nS n nT ABCDEF ABCD EF AC∥ 1EF = 60ABC∠ = ° CE ⊥ ABCD 3CE = 2CD = G DE ACG∥ BEF AD ABF 200 将学生日均体育锻炼时间在 的学生评价为“锻炼达标”． （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面 列联表： 并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 的前提下认为“锻炼达标”与性别 有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出 人，进行体育锻炼体会交 流． （i）求这 人中，男生、女生各有多少人？ （ii）从参加体会交流的 人中，随机选出 人发言，记这 人中女生的人数为 ，求 的分布列和数学期望． 参考公式： ，其中 ． 临界值表： 20．（12 分）设椭圆 的离心率为 ，圆 与 轴正 半轴交于点 ，圆 在点 处的切线被椭圆 截得的弦长为 ． [40,60) 2 2× 0.025 10 10 10 2 2 X X 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2 2: 2O x y+ = x A O A C 2 2 （1）求椭圆 的方程； （2）设圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点 ， ，试判断 是否为 定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 21．（12 分）已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数． （1）当 时，证明：对 ， ； （2）若函数 在 上存在极值，求实数 的取值范围． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 C O P C M N | | | |PM PN⋅ ( ) sinxf x ae x= − a∈R e 1a = [0, )x∀ ∈ +∞ ( ) 1f x ≥ ( )f x π(0, )2 a 已知直线 （ 为参数），曲线 （ 为参数）． （1）设 与 相交于 ， 两点，求 ； （2）若把曲线 上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标缩短为原来的 倍， 得到曲线 ，设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 距离的最小值． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）对 及 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． : 3 3 x t l y t = = − + t 1 cos: sin xC y θ θ =  = θ l 1C A B | |AB 1C 1 2 3 2 2C P 2C l ( ) | 2 |f x x= − ( ) (2 1) 6f x f x+ + ≥ 1( 0, 0)a b a b+ = > > x∀ ∈R 4 1( ) ( )f x m f x a b − − − ≤ + m 2019-2020 学年上学期高三期末考试备考精编金卷 理 科 数 学（B）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】A 11．【答案】D 12．【答案】D 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】 6 3 25 π4 22 5 5( , )3 3 − 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 17．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）设公差为 ，由已知有 ，解得 ， ， 所以 ． （2）由于 ，所以 ，则 ， 则 ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）连接 交 于 ，易知 是 的中点， 故 ， 面 ， 在面 外，所以 面 ； 又 ， 在面 外， 面 ， 又 与 相交于点 ，面 有两条相交直线与面 平行，故面 面 ． （2）连结 ，∵ ，∴ ， 又∵ 平面 ，∴ 平面 ， 以 为坐标原点分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系， 2 1na n= + 1 3 1 1( )2 2 1 2nT n n = − −+ + d 1 1 1 2 10 4 34 242 a a d a d + + = ×+ = 1 3a = 2d = 2 1na n= + 2 1na n= + 2 2nS n n= + 2 1 1 1 1 1( )2 2 2nS n n n n = = −+ + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1(1 ) ( )2 3 2 4 1 1 2 2 2 1 2nT n n n n n n = − + − +…+ − + − = − −− + + + + 15 5 BD AC O O BD OG BE∥ BE ⊂ BEF OG BEF OG∥ BEF EF AC∥ AC BEF AC∥ BEF AC OG O ACG BEF ACG∥ BEF OF / /FE OC OF EC∥ CE ⊥ ABCD OF ⊥ ABCD O OC OD OF x y z 则 ， ， ， ， ， ， ， 设面 的法向量为 ，依题意有 ， ，令 ， ， ， ， ，直线 与面 成的角的正弦值是 ． 19．【答案】（1）能；（2）（i）男生有 人，女生有 人；（ii） ，分 布列见解析． 【解析】（1）列出列联表， ， 所以在犯错误的概率不超过 的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有 关． （2）（i）在“锻炼达标”的学生 中，男女生人数比为 ， 用分层抽样方法抽出 人，男生有 人，女生有 人． （ii）从参加体会交流的 人中，随机选出 人发言， 人中女生的人数为 ， 则 的可能值为 ， ， ， ( 1,0,0)A − (0, 3,0)B − (0, 3,0)D (0,0, 3)F (1, 3,0)AD = (1, 3,0)AB = − (1,0, 3)AF = ABF ( , , )a b c=m AB AF  ⊥ ⊥   m m 3 0 3 0 AB a b AF a c  ⋅ = − = ⋅ = + =   m m 3a = 1b = 1c = − ( 3,1, 1)= −m 3 3 15, 54 4 o 1 c s AD +< >= = × +  m AD ABF 15 5 6 4 4( ) 5E X = 2 2 200 (60 20 30 90) 200 6.061 5.024150 50 90 110 33K × × − ×= = ≈ >× × × 0.025 50 3: 2 10 6 4 10 2 2 X X 0 1 2 则 ， ， ， 可得 的分布列为： 可得数学期望 ． 20．【答案】（1） ；（2）为定值， ． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ，由椭圆的离心率为 知， ， ， ∴椭圆 的方程可设为 ，易求得 ， ∴点 在椭圆上，∴ ，解得 ， ∴椭圆 的方程为 ． （2）当过点 且与圆 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 ， 由（1）知， ， ， ， ， ，∴ ， 当过点 且与圆 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 ， ， ，∴ ，即 ， 联立直线和椭圆的方程得 ，∴ ， 2 6 2 10 1( 0) 3 CP X C = = = 1 1 6 4 2 10 8( 1) 15 C CP X C = = = 2 4 2 10 2( 2) 15 CP X C = = = X 1 8 2 4( ) 0 1 23 15 15 5E X = × + × + × = 2 2 16 3 x y+ = | | | | 2PM PN⋅ = c 2 2 b c= 2a b= C 2 2 2 2 12 x y b b + = ( 2,0)A ( 2, 2) 2 2 2 2 12b b + = 2 2 6 3 a b  = = C 2 2 16 3 x y+ = P O 2x = ( 2, 2)M ( 2, 2)N − ( 2, 2)OM = ( 2, 2)ON = − 0OM ON⋅ =  OM ON⊥ P O y kx m= + 1 1)( ,M x y 2 2 )( ,N x y 2 | | 2 1 m k = + 2 22( 1)m k= + 2 22( ) 6x kx m+ + = 2 2 2)(1 2 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = 得 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 综上所述，圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点 ， ，都有 ， 在 中，由 与 相似得， ． 21．【答案】证明见解析；（2） ． 【解析】（1）当 时， ，于是 ． 又因为当 时， 且 ； 故当 时， ，即 ． 所以函数 为 上的增函数，于是 ． 因此对 ， ． （2）由题意 在 上存在极值，则 在 上存在零点， ①当 时， 为 上的增函数， 注意到 ， ， 所以，存在唯一实数 ，使得 成立． 于是，当 时， ， 为 上的减函数； 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 (4 ) 4(1 2 2 6) 0 4 2 1 6 2 1 ) 2 (Δ km k m kmx x k mx x k = − + − > + = −    + −= +    1 1( ),OM x y= 2 2( , )ON x y= 1 2 1 2 1 2 1 2( )( )OM ON x x y y x x kx m kx m⋅ = + = + + +  2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2) ) 2 6 4(1 ( ( 1)1 2 2 1 m kmk x x km x x m k km mk k − −= + + + + = + ⋅ + ⋅ ++ + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 (2 6) 4 2 1) 3 6 6 3(2 2) 6 6 02 ) 2 1 1 2 1 (k m k m m k m k k k k k k + − − + + − − + − −= = = =+ + + OM ON⊥ O P C M N OM ON⊥ OMNRt△ OMP△ NOP△ 2| | | | | | 2OP PM PN= ⋅ = (0,1) 1a = ( ) sinxf x e x= − ( ) cosxf x e x′ = − (0, )x ∈ +∞ 1xe > cos 1x ≤ (0, )x ∈ +∞ cos 0xe x− > ( ) 0f x′ > ( ) sinxf x e x= − (0, )+∞ ( ) (0) 1f x f≥ = [0, )x∀ ∈ +∞ ( ) 1f x ≥ ( )f x π(0, )2 ( ) cosxf x ae x′ = − π(0, )2 (0,1)a ∈ ( ) cosxf x ae x′ = − π(0, )2 (0) 1 0f a′ = − < π 2(π) 02f a e′ = ⋅ > 0 (0, )2 πx ∈ 0( ) 0f x′ = 0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 0(0, )x 当 时， ， 为 上的增函数， 所以 为函数 的极小值点； ②当 时， 在 上成立， 所以 在 上单调递增，所以 在 上没有极值； ③当 时， 在 上成立， 所以 在 上单调递减，所以 在 上没有极值， 综上所述，使 在 上存在极值的 的取值范围是 ． 22．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）直线 的普通方程为 ， 的普通方程 ， 联立方程组 ，解得 与 的交点为 ， ， 则 ． （ 2 ） 曲 线 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ），故 点 的 坐 标 为 ， 从而点 到直线 的距离是 ， 由此当 时， 取得最小值，且最小值为 ． 23．【答案】（1） ；（2） ． 0( )2 π,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x 0( , )π 2x 0 (0, )2 πx ∈ ( )f x 1a ≥ ( ) e cos cos 0x xf x a x e x′ = − ≥ − > (0, )2 πx∈ ( )f x π(0, )2 ( )f x π(0, )2 0a ≤ ( ) e cos 0xf x a x′ = − < (0, )2 πx∈ ( )f x π(0, )2 ( )f x π(0, )2 ( )f x π(0, )2 a (0,1) | | 1AB = 2 3 6 4 − l 3( 1)y x= − 1C 2 2 1x y+ = 2 2 3( 1) 1 y x x y  = − + = l 1C (1,0)A 1 3( , )2 2B − | | 1AB = 2C 1 cos2 3 sin2 x y θ θ  =  = θ P 1 3cos , s( in )2 2 θ θ P l 3 3cos sin 3 | 6 32 2 sin2 4 | 2 π( )4d θ θ θ − − = = − + πsin( ) 14 θ − = − d 2 3 6 4 − ( , 1] [3, )−∞ − +∞ 13 5m− ≤ ≤ 【解析】（1） ， 当 时，由 ，解得 ； 当 时， 不成立； 当 时，由 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 ． （2）∵ ，∴ ， ∴对于 ，恒成立等价于：对 ， ， 即 ， ∵ ， ∴ ，∴ ． 1 13 3 , 2 ( ) (2 1) | 2 22 3 3, | | 2 1| 1, 2 x x f x f x x x x x x x ≤ ≤ −  − < + + = − + − =  > +    1 2x < 3 3 6x− ≥ 1x ≤ − 1 22 x≤ ≤ 1 6x + ≥ 2x > 3 3 6x − ≥ 3x ≥ ( ) 6f x ≥ ( , 1] [3, )−∞ − +∞ 1( , 0)a b a b+ = > 4 1 4 4( )( ) 5 5 2 9b a b aa b a b a b a b + + = + + ≥ + ⋅ = x∀ ∈R x∀ ∈R | 2 | | 2 | 9x m x− − − − − ≤ max| 2 | | 2 |] 9[ x m x− − − − − ≤ | 2 | | 2 | | ( 2 ) ( 2) | | 4 |x m x x m x m− − − − − ≤ − − − + = − − 9 4 9m− ≤ + ≤ 13 5m− ≤ ≤