湖北省部分重点中学2020届高三上学期期末联考理科数学试题 含解析

湖北省部分重点中学2020届高三上学期期末联考理科数学试题 含解析

‎2019-2020学年湖北省部分重点中学高三（上）期末 数学试卷（理科）‎ 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. i2020=（　　）‎ A. 1 B. ‎-1 ‎C. i D. -i 2. 已知集合A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（　　）‎ A. （1，4） B. （2，4） C. （1，2） D. （1，+∞）‎ 3. 若a=ln2，，的大小关系为（　　）‎ A. b＜c＜a B. b＜a＜c C. a＜b＜c D. c＜b＜a 4. 当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（　　）‎ A. x3＜3x＜log3x B. 3x＜x3＜log3 x C. log3 x＜x3＜3x D. log3 x＜3x＜x3‎ 5. 已知cos（-α）=2cos（π+α），且tan（α+β）=，则tanβ的值为（　　）‎ A. -7 B. ‎7 ‎C. 1 D. -1‎ 6. 将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 设向量=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0），其中 O 为坐标原点，a＞0，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则+的最小值为（　　）‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 8 D. 9‎ 8. 若数列{an}满足-=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（　　）‎ A. 10 B. ‎20 ‎C. 30 D. 40‎ 9. 设函数f（x）=x2+2cosx，x∈[-1，1]，则不等式f（x-1）＞f（2x）的解集为（　　）‎ A. （-1，） B. [0，） C. （] D. [0，]‎ 10. 设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知变量x1，x2∈（0，m）（m＞0），且x1＜x2，若x1＜x2恒成立，则m的最大值为（　　）‎ A. e B. C. D. 1‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 3. 已知数列{an}满足a1=1，前n项和未sn，且sn=2an（n≥2，n∈N*），则{an}的通项公式an=______．‎ 4. 已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为______．‎ 5. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a=2sin18°，若a2+b=4，则=______．‎ 6. 如图，已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且=3，则双曲线的离心率为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 7. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足． （1）求A． （2）若△ABC的面积，求△ABC的周长． ‎ 8. 棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn． （1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望； （2）证明：; （3）求P99，P100的值． ‎ 1. 如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4 （1）求证：B1O⊥平面AEO （2）求二面角B1-AE-O的余弦值． ‎ ‎ ‎ 2. 椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2-． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ=1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由． ‎ 3. 已知函数f（x）=excosx-xsinx，g（x）=sinx-ex，其中e为自然对数的底数． （1）∀x1∈[-，0]，∃x2∈[0，]，使得不等式f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数m的取值范围； （2）若x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0． ‎ 4. 在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ． （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）直线l与曲线C交于A、B两点，点P（1，2），求|PA|+|PB|的值．‎ ‎ ‎ 1. 已知函数f（x）=|2x+1|+|x-4|． （1）解不等式f（x）≤6； （2）若不等式f（x）+|x-4|＜a2‎-8a有解，求实数a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：i2020=i4×505=（i4）505=1． 故选：A． 直接利用虚数单位i的运算性质求解． 本题考查虚数单位i的运算性质，是基础的计算题． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由A中不等式变形得：log21=0＜log2x＜2=log24，即1＜x＜4， ∴A=（1，4）， 由B中y=3x+2＞2，得到B=（2，+∞）， 则A∩B=（2，4）， 故选：B． 求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：a=ln2＞ln=，=＜，== ∴a＞c＞b， 故选：A． 利用指数、对数函数的性质，判断a＞，b＜，利用定积分的性质求得c=，即可判断a、b和c的大小． 本题考查求定积的值及指数函数的性质，属于基础题． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵0＜x＜1，∴log3x＜0＜x3＜1＜3x， ∴log3x＜x3＜3x， 故选：C． 利用指数函数与对数函数、幂函数的单调性即可得出． 本题考查了指数函数与对数函数、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵已知cos（-α）=2cos（π+α），即sin α=-2cosα，即tan α=-2． 又∵tan（α+β）===，则tanβ=7， 故选：B． 由题意利用诱导公式求得tanα的值，再利用两角和的正切公式，求得tanβ的值． 本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式的应用，属于基础题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果． 【解答】 解：函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 即：把函数的图象，向左平移个单位，即得到f（x）的图象， 故：=sin（2x+），∴ 令：（k∈）， 解得：（k∈）， 当k=0时，， 故选A． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：=（a-1，1），=（-b-1，2）， ∵A，B，C 三点共线，∴2（a-1）-（-b-1）=0，化为：‎2a+b=1． 又a＞0，b＞0，则+=（‎2a+b）=4++≥4+2=8，当且仅当b=‎2a=时取等号． 故选：C． 利用向量共线定理可得：‎2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由题意知： ∵数列{}为调和数列 ∴-=xn+1-xn=d ∴{xn}是等差数列  又∵x1+x2+…+x20=200= ∴x1+x20=20 又∵x1+x20=x5+x16 ∴x5+x16=20 故选：B． 由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{xn}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案． 本题主要考查新数列定义，及等差数列的重要性质，属中档题型． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数f（-x）=（-x）2+2cos（-x）=x2+2cosx=f（x）， 则函数f（x）是偶函数， 函数的导数f′（x）=2x-2sinx=2（x-sinx）， [f′（x）]′=2-2cosx≥0，即f′（x）在[-1，1]是为增函数， 则当0≤x≤1时，f′（x）≥f′（0）=0，即f（x）在[0，1]上为增函数， 则不等式f（x-1）＞f（2x）等价为f（|x-1|）＞f（|2x|）， 得得，得得， 得0≤x＜， 又 即不等式的解集为[0，）， 故选：B． 根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可． 本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用进行和单调性进行转化是解决本题的关键． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点， 则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，则 ==． 故选：A． 若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，由此可知=，从而能够得到结果． 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：如图， =． 由，，可得 ∴cos=，则， 从而向量与向量的夹角为． 故选：A． 由题意画出图形，结合求得，从而向量与向量的夹角为． 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法、减法法则，是中档题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：对不等式两边同时取对数得lnx1＜lnx2， 即x2lnx1＜x1lnx2， 即＜恒成立， 设f（x）=，x∈（0，m）， ∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数， 函数的导数f′（x）==， 由f′（x）＞0得1-lnx＞0得lnx＜1， 得0＜x＜e， 即函数f（x）的最大增区间为（0，e）， 则m的最大值为e 故选：A． 在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）=，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论． 本题主要考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数法以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：当n≥2时，sn=2an，……① 令n=2，则s2=a1+a2=1+a2=‎2a2，故a2=1， 令n≥3，则sn-1=2an-1，……② ①-②得：an=2an-2an-1， 即an=2an-1， 即从第二项开始，数列{an}成以1为首项以2为公比的等比数列， 故an=， 故答案为：． 由已知可得数列{an}满足a1=1，从第二项开始，数列{an}成以1为首项以2为公比的等比数列，进而得到答案． 本题考查的知识点是数列的递推式，本题要注意数列并非等比，而是从第二项开始才是等比数列． 14.【答案】16π ‎ ‎【解析】解：边长为3的正△ABC的外接圆的半径为=， ∵OA与平面ABC所成的角为30°， ∴球O的半径为=2， ∴球O的表面积为4πR2=16π． 故答案为：16π． 求出边长为3的正△ABC的外接圆的半径，利用OA与平面ABC所成的角为30°，求出球O的半径，即可求出球O的表面积． 本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，求出球O的半径是关键． ‎ ‎15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵a=2sin18°，若a2+b=4， ∴b=4-a2=4-4sin218°=4（1-sin218°）=4cos218°， ∴===， 故答案为：． 由已知利用同角三角函数基本关系式可求b=4cos218°，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：因为∠PAQ=60°且=3， 所以△QAP为等边三角形， 设AQ=2R，则OP=R， 渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM= 由勾股定理可得（2R）2-R2=（）2， 所以（ab）2=3R2（a2+b2）① 在△OQA中，=，所以7R2=a2② ①②结合c2=a2+b2，可得e==． 故答案为： 确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论 本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题． 17.【答案】解：（1）， 由正弦定理可得：，∴， ∴，且A∈（0，π）， ∴， （2）， ∴bc=12， 又a2=b2+c2-2bcosA，∴9=（b+c）2-3bc， ∴‎ ‎， 即△ABC的周长为． ‎ ‎【解析】（1）结合已知及正弦定理进行化简可求cosA，进而可求A， （2）结合三角形的面积公式可求bc，然后结合余弦定理可求b+c，进而可求． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题． 18.【答案】解：（1）解：由题意得X的可能取值为3，4，5，6， P(X=3)=()3=， P(X=4)==， P(X=5)==， P(X=6)=()3=． ∴X的分布列如下：‎ X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎∴． （2）证明：棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为， 棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为， ∴，即， ∴.． （3）解：由（2）知数列{Pn-Pn-1}（n≥1）是首项为{Pn-Pn-1}(n≥1)， ，公比为的等比数列． ∴， 由此得到， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏， 故． ‎ ‎【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，等比数列的性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于较难题． （1）由题意得X的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望． （2）棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为 ‎，从而，由此能证明. （3）数列{Pn-Pn-1}（n≥1）是首项为{Pn-Pn-1}（n≥1），，公比为的等比数列，从而，由此能求出P99，P100的值． 19.【答案】证明：（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°， 如图建立空间直角坐标系A-xyz，因为AB=AC=AA1=4， 则A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2分） =（-2，2，-4），=（2，-2，-2），=（2，2，0），（3分） •=（-2）×2+2×（-2）+（-4）×（-2）=0， ∴⊥，∴B1O⊥EO， =（-2）×2+2×2+（-4）×0=0，∴⊥，∴B1O⊥AO，（5分） ∵AO∩EO=O，AO，EO⊂平面AEO， ∴B1O⊥平面AEO．（6分） （2）由（1）知，平面AEO的法向量为=（-2，2，-4），（7分） 设平面 B1AE的法向量为=（x，y，z）， ， 则，令x=2，则=（2，2，-2），（10分） ∴cos＜＞===， ∴二面角B1-AE-F的余弦值为．（12分） ‎ ‎【解析】（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明B1O⊥平面AEO． （2）求出平面AEO的法向量和平面B1AE的法向量，利用向量法能求出二面角B1-AE-F的余弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得， 解得， 可得b2=a2-c2=1， 即有椭圆C的标准方程为：‎ ‎； （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2） （1）当l斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称， S△OPQ=|x1|•|y1|=1， 又，解得， ||2+||2=2（x12+y12）=2×（+2）=5；                  （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m， 由题意知m≠0，将其代入，得 （k2+4）x2+2kmx+m2-4=0， 即有， 则，O到PQ距离， 则， 解得k2+4=‎2m2‎，满足△＞0， 则， 即有||2+||2=（x12+y12）（x22+y22） = ==-3+8=5， 综上可得||2+||2为定值5． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，即可得到所求和为定值5． 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，注意讨论直线的斜率不存在，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 21.【答案】解：（1）f′（x）=excosx-exsinx-sinx-xcosx； ∵； ∴cosx≥0，sinx≤0，ex＞0； ∴excosx-exsinx-sinx-xcosx＞0； 即f′（x）＞0； ∴f（x）在上单调递增； ‎ ‎∴f（x）的最大值为f（0）=1； ，设h（x）=g′（x），则：； ∵； ∴； ∴h′（x）＜0； ∴h（x）在[0，]上单调递减； ∴h（x）的最大值为h（0）=； ∴h（x）＜0，即g′（x）＜0； ∴g（x）在[0，]上单调递减； ∴g（x）的最大值为g（0）=； 根据题意知，f（x）max≤m+g（x）max； ∴； ∴； ∴实数m的取值范围为； （2）； 设F（x）=ex-（x+1），则F′（x）=ex-1； ∴x∈（-1，0）时，F′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0； ∴F（x）在（-1，+∞）上的最小值为F（0）=0； ∴F（x）≥0； ∴ex≥x+1在x∈（-1，+∞）上恒成立； ； ∴  ①，x=0时取“=”； ∴； ==； ； ∴，该不等式和不等式①等号不能同时取到； ∴； ∴f（x）-g（x）＞0． ‎ ‎【解析】（1）根据题意便知，f（x）max≤m+g（x）max，这样可根据导数求f（x），g（x）的最大值：求导数f′（x），容易说明f′（x）＞0，从而可以得出f（x）在上单调递增，从而可求出最大值为1；同样的办法，求，可设h（x）=g′（x），再求导便可得出h（x）＜0在上恒成立，从而得出g（x）单调递减，从而可以得出最大值为g（0）=，从而便可得到1，这样便可得出实数m的取值范围； （2）先求出f（x）-g（x）=，根据导数可以证明ex≥x+1，而显然恒成立，从而有，而根据两角和的余弦公式即可说明（x+1）（cosx+）-sinx（x+1）≥0，并且可以看出这个等号和前面不等式的等号不同时取到，从而便证出f（x）-g（x）＞0‎ ‎． 考查根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数最大值的方法，在判断导数符号时可以两次求导，以及两角和的余弦公式，不等式的性质． 22.【答案】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数）， 由得， ∴l的普通方程为：， ∵C的极坐标方程是ρ=4cosθ， ∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x， ∴C的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0． （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得： ， ∴， ∴，∴t1，t2同号， ∴． ‎ ‎【解析】（1）由直线l的参数方程，能求出l的普通方程；由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程． （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得，由此能求出|PA|+|PB|的值． 本小题考查直线和曲的直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等． 23.【答案】解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为-3x+3≤6， 解得x≥-1，所以取； 当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6， 解得x≤1，所以取； 当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x-3≤6， 解得x≤3，不合题意，舍去；  综上知，不等式f（x）≤6的解集为[-1，1]． （2）由题意知，f（x）+|x-4|=|2x+1|+|2x-8|≥|（2x+1）-（2x-8）|=9， 当且仅当-≤x≤4时取等号； ​​​​​​​由不等式f（x）+|x-4|＜a2‎-8a有解，则a2‎-8a＞9， 即（a-9）（a+1）＞0，解得a＜-1或a＞9； 所以a的取值范围是（-∞，-1）∪（9，+∞）． ‎ ‎【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）≤6的解集； （2）利用绝对值不等式求出f（x）+|x-4|的最小值，问题化为关于a的不等式，求解集即可． 本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式有解的问题，是中档题． ‎