2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲（测）（解析版）
专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲单元—测
【满分：100分 时间：90分钟】
(一)选择题(12*5=60分)
1．若曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是( )
A．直线x＋2y－2＝0
B．以(2,0)为端点的射线
C．圆(x－1)2＋y2＝1
D．以(2,0)和(0,1)为端点的线段
解析 将曲线的参数方程化为普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2,0≤y≤1)。故选D。
答案 D
2．函数的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由绝对值几何意义可知，数轴上与4和6距离之和应大于等于2，故所求最小值为2.
3．已知直线的参数方程是，则直线的斜率为
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】根据题意，直线l的参数方程是，其普通方程为，
即，直线l的斜率为；故选：D．
4．【2018年11月浙江省学考】关于x的不等式的解集是
A． B． C．∪ D．[-1，2]
【答案】C
【解析】当时，，解得： 当时，，不成立，
当时，，解得：,综上，不等式的解集是， 故选：C．
5．【山西省太原市2020届高三上学期期中】在平面直角坐标系xOy中,若直线y=x与曲线(是参数，，),有公共点,则下列说法正确的是
A．0
C．= D．=
【答案】B
【解析】将代入y=x得2+tcosθ=tsinθ，即t(sinθ﹣cosθ)=2，所以，
，因为t＞0，且t，所以0<<1，因此>．故选：B．
6．【山西省太原市2020届高三上学期期中】在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(1,1),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标为
A．(1，) B．(，) C．(cos1，sin1) D．(11)
【答案】B
【解析】∵在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(1，1)，∴ρ==，tanθ=1，∴θ=．
∴点P的极坐标为(，)．故选：B．
7．【山西省太原市2020届高三上学期期中】若关于的不等式在(﹣∞，1]上恒成立，则实数的取值范围为
A．[1，+∞) B．(﹣∞，1] C．[3，+∞) D．(﹣∞，3]
【答案】A
【解析】关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤m在(﹣∞，1]上恒成立，即为m≥(|x+1|﹣|x﹣2|)max，
由﹣1≤x≤1时，|x+1|﹣|x﹣2|=x+1+x﹣2=2x﹣1∈[﹣3，1]；x＜﹣1时，|x+1|﹣|x﹣2|=﹣x﹣1+(x﹣2)=﹣3．则|x+1|﹣|x﹣2|的最大值为1，可得m≥1，故选：A．
8．若关于的不等式的解集为，则实数( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】则,,若,则,则,解得
(舍)若，不等式恒成立.(舍)若,则，则，则，选.
9．圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【解析】圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得：x2+y2=4x，配方为：(x﹣2)2+y2=4．
圆心为C(2，0)，点P的极坐标为(4，)，化为直角坐标．则|CP|=2．故选：D．
10．【浙江省诸暨市2018届高三5月】已知，则( )
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【答案】C
【解析】 ， 由①+②得： ，故选：C．
11．在极坐系中，点与圆 的圆心之间的距离为( )
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】点P化为直角坐标P 即P ，圆即 x2+y2=2x，即 (x-1)2+y2=1，故圆心为(1，0)，故点与圆 的圆心之间的距离为 。12．是圆上任意一点，欲使不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆上一点的坐标为，即，
则，即，又，得到，
则，故选B.
(二)填空题(4*5=20分)
13.【天津市蓟州等部分区2020届高三上期末】 已知直线 (为参数)与轴交于点，点是圆上的任一点，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】由直线，可得直线的普通方程，令，则，即直线与x轴的交点坐标，又由圆的圆心坐标为，半径，则，所以的最大值为.
14.在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为___________.
【答案】1
【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为 ，整理为 ，圆心，点是圆外一点，所以的最小值就是.
15.已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______.
【答案】
【解析】直线的普通方程为，由得，直角坐标方程为，把代入双曲线方程解得，因此交点.为，其极坐标为.
16.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】依题意，不等式右边须小于等于左边的最小值，|2x－1|＋|x＋2|＝
，从而|2x－1|＋|x＋2|≥，解不等式a2＋a＋2≤得a∈.
故填.
(三)、解答题(共6道小题，满分70分)
17.【湖南省湘潭市2020届高三模拟】已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若恰好存在4个不同的整数，使得，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)由，得，不等式两边同时平方，得，即，解得或，所以不等式的解集为．
(2)设作出的图象，如图所示，因为，，又恰好存在4个不同的整数，使得，所以即故的取值范围为．
18．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟】在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程(为参数)，若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．
(1)写出曲线的参数方程；
(2)设点，直线与曲线的两个交点分别为，求的值．
【答案】(1)(为参数)；(2)
【解析】(1)若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为，整理得，∴曲线的参数方程(为参数)．
(2)将直线的参数方程化为标准形式为(为参数)，
将参数方程带入得，整理得．
，．
【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
19.【2018届福建省厦门市高三年级第一学期期末】 函数.
(1)当时，求证： ；
(2)若的最小值为2，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析；(2) 或.
【解析】(1)依题意： ，
当且仅当，即时，等号成立.
(2)①当，即时，
则当时， ，故.
②当，即时，
则当时， ，故.
③当时，即时， 有最小值0，不符合题意，舍去.
20．【四川省成都市第七中学2020届高三模拟】在平面直角坐标系中，曲线的参数标方程为(其中为参数)，在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，直线的极坐标方程为．
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)求直线与曲线的公共点的极坐标．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)消去参数，得曲线的直角坐标方程．将代入，得．所以曲线的极坐标方程为．
(2)将与的极坐标方程联立，消去得．
展开得．
因为，所以．于是方程的解为，即．
代入可得，所以点的极坐标为．
【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．
21.【2020届湖南师大附中高三上学期月考】已知不等式的解集为．
(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若， ， ，求证： ．
【答案】(Ⅰ)， ；(Ⅱ)证明见解析．
【解析】(Ⅰ)由，得或或，
解得，∴， ．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ， ，∴ ，
当且仅当即， 时取等号，∴，即．
22．【河北衡水金卷2020届高三第三次联合质量测评】在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)当时，直线的参数方程为．
消去参数t得．由曲线C的极坐标方程为，得，
将，及代入得，即；
(2)由直线的参数方程为(为参数，)，
可知直线是过点P(–1，1)且倾斜角为的直线，又由(1)知曲线C为椭圆，
所以易知点P(–1，1)在椭圆C内，将代入中，整理得
，
设A，B两点对应的参数分别为，则，
所以，因为，所以，
所以，所以的取值范围为．
【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1)；(2)；(3)；(4)．
【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题．
