2017-2018学年云南省玉溪市民族中学高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年云南省玉溪市民族中学高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年云南省玉溪市民族中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）‎ A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0‎ C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ ‎2．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎3．（5分）某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161，380]的人数为（　　）‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎4．（5分）如图是甲、乙汽车4S店7个月销售汽车数量（单位：台）的茎叶图，若x是4与6的等差中项，y是2和8的等比中项，设甲店销售汽车的众数是a，乙店销售汽车中位数为b，则a+b的值为（　　）‎ A．168 B．169 C．170 D．171‎ ‎5．（5分）如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（　　）‎ A． B． C． D．无法计算 ‎6．（5分）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：‎ ‎ 气温（℃）‎ ‎ 18‎ ‎13 ‎ ‎ 10‎ ‎﹣1 ‎ ‎ 用电量（度）‎ ‎ 24‎ ‎ 34‎ ‎38 ‎ ‎ 64‎ 由表中数据得到线性回归方程=﹣2x+a，当气温为﹣4℃时，预测用电量均为（　　）‎ A．68度 B．52度 C．12度 D．28度 ‎7．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．9 C．18 D．54‎ ‎8．（5分）若P（2，1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（　　）‎ A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣1=0 C．x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0‎ ‎9．（5分）天气预报说，在今后三天中，每天下雨的概率均为0.4，有人用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，他用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，产生3个随机数作为一组，产生20组随机数如下：027 556 ‎ ‎ 488 730 113 537 989 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393，以此预测这三天中至少有两天下雨的概率大约是（　　）‎ A．0.30 B．0.33 C．0.35 D．0.375‎ ‎10．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）圆C：x2+y2=12上任意一点A到直线l：4x+3y=25的距离小于2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（　　）‎ A．24 B．16 C．8 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=　 　．‎ ‎14．（5分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是　 　．‎ ‎15．（5分）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为　 　．‎ ‎16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，则l被圆C截得的最短弦长为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，△ABC的周长为6，求边长a．‎ ‎18．（12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示 组别 候车时间 人数 一 ‎[0，5）‎ ‎2‎ 二 ‎[5，10）‎ ‎6‎ 三 ‎[10，15）‎ ‎4‎ 四 ‎[15，20）‎ ‎2‎ 五 ‎[20，25]‎ ‎1‎ ‎（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；‎ ‎（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；‎ ‎（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．‎ ‎20．（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒，100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．‎ ‎（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和中位数（四舍五入取整数）；‎ ‎（Ⅱ）将y表示为x的函数；‎ ‎（Ⅲ）根据直方图估计利润y不少于4800元的概率．‎ ‎21．（12分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1Sn，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎22．（12分）已知圆C：x2+y2+x﹣6y+m=0与直线l：x+2y﹣3=0．‎ ‎（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；‎ ‎（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年云南省玉溪市民族中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）‎ A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0‎ C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ ‎【分析】根据已知中原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：∃x0∈R，x﹣x+1＞0，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点全称命题的命题，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【分析】求解（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1或a=2，根据充分必要条件的定义可判断．‎ ‎【解答】解：∵（a﹣1）（a﹣2）=0，‎ ‎∴a=1或a=2，‎ 根据充分必要条件的定义可判断：‎ 若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查了充分必要条件的定义，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161，380]的人数为（　　）‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎【分析】根据系统抽样方法，从640人中抽取32人，即从20人抽取1人．从而得出从编号161～380共220人中抽取的人数即可．‎ ‎【解答】解：使用系统抽样方法，从640人中抽取32人，即从20人抽取1人．‎ ‎∴从编号161～380共220人中抽取=11人．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）如图是甲、乙汽车4S店7个月销售汽车数量（单位：台）的茎叶图，若x是4与6的等差中项，y是2和8的等比中项，设甲店销售汽车的众数是a，乙店销售汽车中位数为b，则a+b的值为（　　）‎ A．168 B．169 C．170 D．171‎ ‎【分析】分别求出x，y的值，从而读出甲和乙的数据，求出众数和中位数即可．‎ ‎【解答】解：若x是4与6的等差中项，y是2和8的等比中项，‎ 则x=5，y=4，‎ 甲数据是：78，79，80，85，85，92，96；‎ 故众数a=85，‎ 乙数据是：76，81，81，84，91，91，96；‎ 故中位数b=84，‎ 则a+b=85+84=169，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等差中项和等比中项的定义，考查茎叶图的读法，考查众数和中位数的定义，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（　　）‎ A． B． C． D．无法计算 ‎【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．‎ ‎【解答】解：设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得：，解得：．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：‎ ‎ 气温（℃）‎ ‎ 18‎ ‎13 ‎ ‎ 10‎ ‎﹣1 ‎ ‎ 用电量（度）‎ ‎ 24‎ ‎ 34‎ ‎38 ‎ ‎ 64‎ 由表中数据得到线性回归方程=﹣2x+a，当气温为﹣4℃时，预测用电量均为（　　）‎ A．68度 B．52度 C．12度 D．28度 ‎【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．‎ ‎【解答】解：由表格得==10，=40．‎ ‎∴（，）为：（10，40），‎ 又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，‎ ‎∴40=10×（﹣2）+a，‎ 解得：a=60，‎ ‎∴=﹣2x+60，‎ 当x=﹣4时，=﹣2×（﹣4）+60=68．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．9 C．18 D．54‎ ‎【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由a=18，b=27，不满足a＞b，‎ 则b变为27﹣18=9，‎ 由b＜a，则a变为18﹣9=9，‎ 由a=b=9，‎ 则输出的a=9．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若P（2，1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（　　）‎ A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣1=0 C．x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0‎ ‎【分析】利用垂径定理和斜率公式得出直线AB的斜率，代入点斜式方程得出．‎ ‎【解答】解：设圆心为C（1，0），由垂径定理可知PC⊥AB．‎ ‎∵kPC==1，∴kAB=﹣1．‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）天气预报说，在今后三天中，每天下雨的概率均为0.4，有人用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，他用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，产生3个随机数作为一组，产生20组随机数如下：027 556 488 730 113 537 989 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393，以此预测这三天中至少有两天下雨的概率大约是（　　）‎ A．0.30 B．0.33 C．0.35 D．0.375‎ ‎【分析】‎ 由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有可以通过列举得到共7组随机数，根据概率公式，得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，‎ 经随机模拟产生了如下20组随机数，‎ 在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有：‎ ‎113，191，271，932，812，431，393共7组随机数，‎ ‎∴所求概率为0.35．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设取出的两个数为x、y，则可得“0≤x≤1，0≤y≤1”表示的区域为纵横坐标都在[0，1]之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y＜1.5表示的区域为直线x+y=1.5下方，且在0≤x≤1，0≤y≤1所表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案．‎ ‎【解答】解：设取出的两个数为x、y，‎ 则有0≤x≤1，0≤y≤1，其表示的区域为纵横坐标都在[0，1]之间的正方形区域，易得其面积为1，‎ 而x+y＜1.5表示的区域为直线x+y=1.5下方，且在0≤x≤1，0≤y≤1表示区域内部的部分，‎ 易得其面积为1﹣=，‎ 则两数之和小于1.5的概率是．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键在于用平面区域表示出题干的代数关系．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）圆C：x2+y2=12上任意一点A到直线l：4x+3y=25的距离小于2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，‎ ‎∵圆心到直线的距离是=5，‎ ‎∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°‎ 根据几何概型的概率公式得到P==‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定测度是关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2‎ ‎=4相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（　　）‎ A．24 B．16 C．8 D．4‎ ‎【分析】由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB则要求SPAOB=2S△PAO=的最小值，转化为求PA最小值，由于PA2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，结合点到直线的距离公式可知当PO⊥l时，PO有最小值，由点到直线的距离公式可求．‎ ‎【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心（0，0），半径r=2，‎ 由题意可得：PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，‎ ‎∴SPAOB=2S△PAO=，‎ 在Rt△PAO中，由勾股定理可得：PA2=PO2﹣r2=PO2﹣4，‎ 当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小，‎ 点P是直线l：2x+y+10=0上的动点，‎ 当PO⊥l时，PO有最小值d=，PA=4，‎ 所求四边形PAOB的面积的最小值为8．‎ 故选C ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系中的重要类型：相切问题的处理方法，解题中要注意对性质的灵活应用，体现了转化思想在解题中的应用．根据题意得出PO⊥l时所求圆的面积最小是解本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=　27　．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 ‎【解答】解：由题意可得=，‎ 即x=27，‎ 故答案为：27‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系即可得到结论．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是　0.2　．‎ ‎【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为5的情形，由古典概型的概率公式可得答案．‎ ‎【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有=10种情况，‎ 和为5的有（1，4）（2，3）两种情况，‎ 故所求的概率为：=0.2‎ 故答案为：0.2‎ ‎【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为　2　．‎ ‎【分析】根据平均数公式先求出a，再求出方差，开方得出标准差．‎ ‎【解答】解：由已知a，0，1，2，3，的平均数是1，即有（a+0+1+2+3）÷5=1，易得a=﹣1，‎ 根据方差计算公式得s2=[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=×10=2‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题考查了样本数据平均数、方差、标准差的计算．属于简单题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，则l被圆C截得的最短弦长为　4　．‎ ‎【分析】由于直线过定点M（3，1），点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，CM垂直于直线l，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0 即（x+y﹣4）+‎ m（2x+y﹣7）=0，过定点M（3，1），‎ 由于点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，CM垂直于直线l，CM==‎ l被圆C截得的最短弦长为2=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，直线过定点问题，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，△ABC的周长为6，求边长a．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知可得tanA=，结合范围0＜A＜π，可求A的值；‎ ‎（2）利用三角形面积公式可求bc=4，利用周长及余弦定理可得，即可解得a的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵asinB=bcosA，‎ ‎∴由正弦定理得：sinAsinB=sinBcosA，‎ ‎∵0＜B＜π，∴sinB≠0．‎ ‎∴sinA=cosA，‎ ‎∴tanA=，‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴A=；‎ ‎（2）∵a+b+c=6，△ABC的面积为=bcsinA=bc，可得：bc=4，‎ ‎∴=．‎ ‎∴，解得a=2．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示 组别 候车时间 人数 一 ‎[0，5）‎ ‎2‎ 二 ‎[5，10）‎ ‎6‎ 三 ‎[10，15）‎ ‎4‎ 四 ‎[15，20）‎ ‎2‎ 五 ‎[20，25]‎ ‎1‎ ‎（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；‎ ‎（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．‎ ‎【分析】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例，用60乘以比例，即得所求．‎ ‎（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，‎ 所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60×=32人．…（4分）‎ ‎（2）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1，2；‎ ‎“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A．…（5分）‎ 所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…（8分）‎ 其中事件A包含基本事件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种，…（10分）‎ 由古典概型可得P（A）= …（12分）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，是统计与概率的简单综合应用，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；‎ ‎（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．‎ ‎（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，‎ 又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．‎ 而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．‎ ‎（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，‎ ‎∴PD∥OE，‎ ‎∵O是BD中点，∴E是PB中点．‎ 取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，‎ ‎∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BH⊥平面PAD，．‎ ‎∴‎ ‎==．‎ ‎【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒，100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．‎ ‎（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和中位数（四舍五入取整数）；‎ ‎（Ⅱ）将y表示为x的函数；‎ ‎（Ⅲ）根据直方图估计利润y不少于4800元的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量X的众数和中位数．‎ ‎（Ⅱ）由已知条件推导出当100≤x≤160时，y=50x﹣（160﹣x）•30=80x﹣1800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，由此能将Y表示为X的函数．‎ ‎（Ⅲ）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．‎ ‎【解答】解：（ I）众数为150，中位数为153 …4分 ‎（ II）∵每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，‎ ‎∴当100≤x≤160时，‎ y=50x﹣（160﹣x）•30=80x﹣1800，‎ 当160＜x≤200时，‎ y=160×50=8000，‎ y=…8分 ‎（ III）由80x﹣4800≥4800得x≥120‎ 估计利润y不少于4800元的概率 …12分．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1Sn，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用已知条件和递推关系式求出数列的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，直接利用乘公比错位相减法求出数列的和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）令n=1，得，‎ 即，‎ ‎∵a1≠0，‎ ‎∴a1=1，‎ 令n=2，得2a2﹣1=1+a2，‎ 解得：a2=2．‎ 当n≥2时，‎ 由2an﹣1=Sn①，‎ ‎2an﹣1﹣1=Sn﹣1②，‎ ‎①﹣②得：2an﹣2an﹣1=an，‎ 即：an=2an﹣1，‎ ‎∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴数列的通项公式为：．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，‎ 所以：，‎ 则：n•2n﹣1①，‎ n•2n②‎ ‎①﹣②得：﹣Tn=（1+21+…+2n﹣1）﹣n•2n，‎ 解得：．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知圆C：x2+y2+x﹣6y+m=0与直线l：x+2y﹣3=0．‎ ‎（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；‎ ‎（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．‎ ‎【分析】（1）找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，根据直线l与圆没有公共点得到直线l与圆外离，即d大于r列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；‎ ‎（2）根据题意得出直线OP与直线OQ垂直，即斜率乘积为﹣1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线l方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据斜率乘积为﹣1列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．‎ ‎【解答】解：（1）将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y﹣3）2=9﹣m，‎ ‎∴圆心C（﹣，3），半径r2=9﹣m＞0，即m＜，‎ ‎∵圆心C到直线l的距离d2=，直线l与圆C没有公共点 ‎∴9﹣m＜，即m＞8，‎ 则m的范围为（8，）；‎ ‎（2）根据题意得：△OQP为直角三角形，即OP⊥OQ，‎ 将直线l与圆方程联立消去y得到：5x2+10x+4m﹣27=0，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ ‎∴x1+x2=﹣2，x1x2=，y1y2=•==，‎ ‎∵x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴+=1，‎ 解得：m=3．‎ ‎【点评】‎ 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根与系数的关系，两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系有d与r的大小关系来判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．‎ ‎　‎