数学（文）卷·2018届福建省师大附中高二上学期期末考试（2017-01）

数学（文）卷·2018届福建省师大附中高二上学期期末考试（2017-01）

福建师大附中 2016-2017 学年上学期期末考试 高二（文科班）数学试卷 时间： 120 分钟 满分： 150 分 命题： 黄雪琼 审核： 江泽 试卷说明： 试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷. 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1．抛物线 的焦点到准线距离为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 2 ．已知 ,则双曲线 : 与 : 的（ ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3. 设等比数列 的公比 ,前 n 项和为 ,则 （ ） A. 2 B. 4 C. D. 4.在平面内，已知双曲线 的焦点为 ，则“ ”是 “点 在双曲线 上”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q（2,－1）的距离与点 P 到抛物线的焦点距离 之和的最小值为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 6．下列命题： (1)“若 ，则 ”的否命题； (2)“全等三角形面积相等”的逆命题； (3)“若 ，则关于 的不等式 的解集为 ”的逆否命题； 其中正确命题的个数是（ ） A． B． C． D． 7.如图，直线 和圆 ，当 从 开始在平面上绕点 按逆时针方向匀速转动（转 动角度不超过 ）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 是时间 的函数，这个函数的图 像大致是（ ） A. B. C. D. 8．设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（） A． B． C． D． 9．已知双曲线 C1： x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)的离心率为 3.若抛物线 C2：x2＝2py(p>0)的焦点到 双曲线 C1 的渐近线的距离为 ，则抛物线 C2 的方程为（ ） A．x2＝ 3 3y B．x2＝ 3 3y C．x2＝8y D．x2＝16y 10.已知双曲线 的中心为原点, 是 的焦点,过 F 的直线 与 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 ,则 的方程式为（ ） A． B． C． D． 1．已知 为双曲线 的左焦点, 为 上的点,若 的长等于虚轴长的 2 倍,点 在线段 上,则 的周长为（ ） A.44 B.45 C.67 D.68 12．如图 F1、F2 是椭圆 C1:x2 4 +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点，A．B 分别是 C1.C2 在第二.四象 限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是（ ） A．2 B．3 C．3 2 D．66 第Ⅱ卷 共 90 分 二、填空题：（每小题 5 分，共 30 分） 13．已知命题 p： ，则 是 14.某质点的位移函数是 则当 时， 它的速度是 15.右图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后， 水面宽 _米． 16.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的 一个交点，若 ，则 = 17．设双曲线 的中心为点 ,若有且只有一对相交于点 、所成的角为 的直线 和 ,使 ,其中 、 和 、 分别是这对直线与双曲线 的交点,则 该双曲线的离心率的取值范围是 18．如右图， 的顶点 ， ， 的内切圆圆心在直线 上，则顶 点 的轨迹方程是 ． 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 60 分） 19.（本题满分 10 分） 已知曲线 . （I）求曲线在点 处的切线方程； （II）求斜率为 的曲线的切线方程． 20.（本题满分 12 分） 已知命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，命题 双曲线 的 离心率 ，若命题 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围． 21.（本题满分 12 分） 已知 是递增的等差数列, , 是方程 的根。 （I）求 的通项公式； （II）求数列 的前 项和. 22.（本题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中,经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不 同的交点 和 ． （I）求 的取值范围； （II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ,是否存在常数 ,使得向量 与 共线？如果存在,求 值；如果不存在,请说明理由． 23.(本题满分 14 分) 已知椭圆 的顶点 B 到左焦点 F1 的距离为 2，离心率 e= ． （I）求椭圆 C 的方程； （II）若点 A 为椭圆 C 的右頂点，过点 A 作互相垂直的两条射线，与椭圆 C 分別交于不同 的两点 M，N（M，N 不与左、右顶点重合），试判断直线 MN 是否过定点，若过定点，求 出该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由． 福建师大附中 2016-2017 学年上学期期末考试 高二（文科班）数学参考答案 一、选择题：1－12：ADCBB BDCCB AD 二、填空题： 13、 052, 2  xxRx 14、 sm /24 15、2 6 16.3 17. 2 3( ,2]3 18. 2 2 =19 16 x y ( 3x  ) ． 三、解答题： 19.解：（I）依题意 ，2xy  曲线在点  42，P 处的切线的斜率 42  xyk ，所以所求的切 线方程为 )2(44  xy ，即 044  yx ……3 分 ( Ⅱ ) 当 切 线 的 斜 率 为 1 时 ， 设 此 时 的 切 点 为       3 4 3 1 3 00 xxM ， ， 则 切 线 的 斜 率 12 00   xyk xx ，所以 10 x 或 10 x ，……6 分 当 10 x 时，切点为      3 51， ，此时切线方程为 13 5  xy ，即 0233  yx ，…8 分 当 10 x 时，切点为  11- ，，此时切线方程为 11  xy ，即 02  yx ……10 分 20.解：若 p 真，则有 9 2 0m m   ，即： 0 3m  ； …2 分 若 q 真，则有 0m  ，且 2 2 2 31 1 ( ,2)5 2 b me a      ， 即： 5 52 m  ………4 分 若命题 p q 为真命题， p q 为假命题，则 p q、 一真一假． ……5 分 若 p 真、 q 假，则0 3m  ，且 55 2m m 或 ，即： 50 2m  ； …8 分 若 p 假、 q 真，则 3 0m m 或 ，且 5 52 m  ，即： 3 5m  ； … 11 分， ∴所求 m 的取值范围为 50 2m  或3 5m  ． …12 分 21.解:（I）方程 2 5 6 0x x   的两根为2,3,由题意得 2 2a  , 4 3a  ,设数列 na 的公差 为 d,,则 4 2 2a a d  ,故 d= 1 2 ,从而 1 3 2a  , 所以 na 的通项公式为: 1 12na n  ……4分 (Ⅱ)设求数列 2 n n a    的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 1 2 2 2 n n n a n   , 则: 2 3 4 1 3 4 5 1 2 2 2 2 2 2n n n n nS         3 4 5 1 2 1 3 4 5 1 2 2 2 2 2 2 2n n n n nS          ……6分 两式相减得 3 4 1 2 1 2 1 3 1 1 1 2 3 1 1 212 4 2 2 2 2 4 4 2 2n n n n n n nS                         ……10分 所以 1 42 2n n nS    ……12 分 22.解：（Ⅰ）由已知条件,直线l 的方程为 2y kx  ,……1 分 代入椭圆方程得 2 2( 2) 12 x kx   ． 整理得 2 21 2 2 1 02 k x kx       ①……3 分 直线l 与椭圆有两个不同的交点 P 和Q 等价于 2 2 218 4 4 2 02k k k          ,…4 分 解得 2 2k   或 2 2k  ．即 k 的取值范围为 2 2 2 2                ， ，∞ ∞ ．……5 分 （Ⅱ）设 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ， ,则 1 2 1 2( )OP OQ x x y y     ， ,……6 分 由方程①, 1 2 2 4 2 1 2 kx x k     ． ②……7 分 又 1 2 1 2( ) 2 2y y k x x    ． ③ 而 ( 2 0) (01) ( 21)A B AB  ，， ，， ， ．……9 分 所以OP OQ  与 AB  共线等价于 1 2 1 22( )x x y y    ,……10 分 将②③代入上式,解得 2 2k  ．……11 分 由（Ⅰ）知 2 2k   或 2 2k  ,故没有符合题意的常数 k ……12 分 23.解：（1）由题意可知： ， 解得： ， 故椭圆的标准方程为 ；……3 分 （2）设 M（x1，y1），N（x2，y2） 当直线 MN 的斜率不存在时，MN⊥x 轴， △MNA 为等腰直角三角形， ∴|y1|=|2﹣x1|， 又 ，M，N 不与左、右顶点重合，解得 ，此时，直线 MN 过点 ； ……6 分 当直线的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y=kx+m， 由方程组 ，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0， △=（8km）2﹣4（1+k2）（4m2﹣4）＞0，整理得 4k2﹣m2+1＞0， ．……9 分 由已知 AM⊥AN，且椭圆的右顶点 A 为（2，0）， ∴ ， ，……10 分 即 ， 整理得 5m2+16km+12k2=0，解得 m=﹣2k 或 ，均满足△=4k2﹣m2+1＞0 成立．…12 分 当 m=﹣2k 时，直线 l 的方程 y=kx﹣2k 过顶点（2，0），与题意矛盾舍去． 当 时，直线 l 的方程 ，过定点 ， 故直线过定点，且定点是 ．……14 分