2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设，则图中阴影部分表示的集合是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析： ，阴影部分表示为 ，‎ 故选C.‎ ‎【考点】1、韦恩图；2、集合的运算.‎ ‎2．下列函数中与函数相等的函数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析各选项中函数的定义域与解析式，从而可得出与函数相等的函数.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为.‎ 对于A选项中的函数，该函数的定义域为，该函数与函数不相等；‎ 对于B选项中的函数，该函数的定义域为，且，该函数与函数不相等；‎ 对于C选项中的函数，该函数的定义域为，该函数与函数不相等；‎ 对于D选项中的函数，该函数的定义域为，且，该函数与函数相等.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数相等概念的理解，一般要求两个函数的定义域相同，对应法则一致，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎3．三个数，，之间的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用指数函数与对数函数的单调性，比较各数与和的大小关系，即可得出这三个数的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 指数函数为上的减函数，则，且；‎ 对数函数是上的减函数，则；‎ 指数函数是上的增函数，则.‎ 因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂和对数式的大小比较，常利用指数函数和对数函数的单调性，利用中间值法来得出大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎4．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ ‎,‎ ‎,故选D.‎ ‎5．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：函数为奇函数，不合题意；函数 是偶函数，但是在区间上单调递减，不合题意；函数为非奇非偶函数。故选C。‎ ‎【考点】1.函数的单调性；2.函数的奇偶性。‎ ‎6．在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.‎ ‎【详解】‎ 函数，与，‎ 答案A没有幂函数图像，‎ 答案B.中，中，不符合，‎ 答案C中，中，不符合，‎ 答案D中，中，符合，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.‎ ‎7．函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用真数大于零求出该函数的定义域，然后利用复合函数同增异减法得出该函数的增区间.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得或，‎ 函数的定义域为.‎ 内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ 外层函数为增函数，因此，函数的单调递增区间是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型复合函数单调区间的求解，首先要求出函数的定义域，然后利用复合函数同增异减的原则可得出所求单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎8．已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析出函数在区间上为增函数，且，由偶函数的性质将不等式化为，然后由函数在区间上为增函数得出，解出该不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，，则函数在区间上为增函数，且，‎ 由于函数是定义在上的偶函数，则.‎ 由，得，，得或，‎ 解得或，因此，不等式的解集为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数不等式的求解，解题的关键就是分析出函数在区间 上的单调性，并借助偶函数的性质进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9．当时，函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】换元，然后将问题转化为二次函数在上的值域问题，利用二次函数的基本性质求出即可.‎ ‎【详解】‎ 换元，，，则.‎ 可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 则，当时，，当时，.‎ 因此，函数的值域为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数型函数值域的求解，解题的关键就是利用换元思想，将问题转化为二次函数在区间上的值域求解，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎10．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时，为减函数，则，‎ 当时，一次函数为减函数，则，解得：，‎ 且在处，有：，解得：，‎ 综上可得，实数的取值范围是.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．‎ ‎11．已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】解出方程在时的两根，可得出方程在时的唯一根，由此可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时，，解方程，即，解得；‎ 由于方程有三个不同的实根，则方程在时的唯一实根，‎ 当时，，解方程，得，解得.‎ 由题意可得，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数零点求参数，考查代数法的应用，属于中等题.‎ ‎12．已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析出函数在上为增函数，由，可得出不等式对任意的恒成立，可得出，由此可解出实数 的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时，，则函数在上为增函数，‎ 又函数是上的奇函数，则函数在上也为增函数，‎ 易知函数在上为连续函数，‎ 由，得，即.‎ 由题意知，不等式对任意的恒成立.‎ 当时，则有，解得，不合乎题意；‎ 当时，则有，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数不等式问题，同时也考查了二次不等式在上恒成立问题的求解，解题时要注意对首项系数和判别式符号进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13．函数f(x)＝的定义域是__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】函数的定义域满足，解此不等式组能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，需满足，‎ 解得，即函数的定义域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数，需满足等等，当同时出现时，取其交集.‎ ‎14．如果幂函数的图象过点，那么___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，将点的坐标代入函数的解析式，可求出的值，从而可得出函数的解析式，由此可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 设，由题意可得，即，，得，‎ ‎，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数求函数值，在涉及幂函数的问题时，一般通过待定系数法求出幂函数的解析式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15．函数在是单调递减的，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，内层函数在区间上单调递减，可得出，且使得在处的函数值非负，由此可得出关于的不等式组，解出不等式组即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设，则二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.‎ 由于函数在上单调递减，‎ 则函数在上为减函数，则有，‎ 由于在为正数，则当时，，‎ 于是有，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用对数型复合函数的单调性求参数，在分析出内层函数的单调性后，还应保证真数在相应的区间上恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16．下列说法中，正确的是________(填序号)．‎ ‎①任取x＞0，均有3x＞2x；‎ ‎②当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2；‎ ‎③y＝()－x是增函数；‎ ‎④y＝2|x|的最小值为1；‎ ‎⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．‎ ‎【答案】①④⑤‎ ‎【解析】对于②，当0＜a＜1时，a3＜a2，故②不正确．‎ 对于③，y＝()－x＝，因为0＜＜1，故y＝()－x是减函数，故③不正确．易知①④⑤正确．‎ 答案：①④⑤.‎ 点睛：1.指数函数图象的比较，可以放入第一象限，即当x＞0时，底数越大图象越高，即“底大图高”；‎ ‎2.指数函数y＝x中，当时函数单调递增，当时，函数单调递减；‎ ‎3.对于函数关于y轴对称得到，关于x轴对称得到.‎ 三、解答题 ‎17．（1）计算；‎ ‎（2）设，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用平方差公式、对数运算律、指数运算律以及分数指数幂的运算可得出结果；‎ ‎（2）将等式两边平方可得出，再将所得等式平方可求出的值，代入可求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ；‎ ‎（2）对等式两边平方得，得，‎ 对等式两边平方得，得.‎ 因此，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数与对数的运算，解题时要熟悉指数与对数的运算律，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知函数，且.‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求使成立的的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）先利用对数运算求出，可得出函数在其定义域上是增函数，由得出，解出即可；‎ ‎（2）由题意得出，解该方程即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），则，解得，‎ 是上的增函数，‎ 由，得，解得.‎ 因此，实数的取值范围是；‎ ‎（2），得，化简得，‎ 解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数运算以及利用对数函数的单调性解不等式，在底数范围不确定的情况下还需对底数的范围进行分类讨论，同时在解题时还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19．已知函数（、为常数且，）的图象经过点，.‎ ‎（1）试求、的值；‎ ‎（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）将、两点的坐标代入函数的解析式，可得出关于、的方程组，由此解出、的值；‎ ‎（2）由题意得出，利用指数函数的单调性求出函数在区间上的最小值，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，解得，；‎ ‎（2）由于不等式在时恒成立，则，‎ 由于指数函数在上是减函数，则，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂的运算，同时也考查了指数函数不等式恒成立问题，在含单参数的不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法来求解，简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎20．已知关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若，求函数的最值．‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】（1）由得，可解出实数的范围，即可得出集合；‎ ‎（2）换元，可得出，则，问题转化为求二次函数在上的最值问题，然后利用二次函数的性质求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，解的，‎ 因此，；‎ ‎（2），‎ ‎，则，二次函数，‎ 当时，，‎ 又当时，，当时，，.‎ 因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数不等式的求解，同时也考查了对数型函数的最值问题，解题的关键就是利用换元法将对数型函数的最值问题转化为二次函数的最值问题来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎21．已知函数的图象过点，且对任意实数都成立，函数与的图象关于原点对称．‎ ‎（1）求与的解析式；‎ ‎（2）若在上是增函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）代入点，得，由得，所以，又函数与的图象关于原点对称，所以；（2）由（1），分类讨论.‎ 试题解析：（1）的图象过点，∴，‎ 又对任意实数都成立，‎ ‎∴， ， ，‎ ‎∴，‎ 又函数与的图象关于原点对称，‎ ‎∴， ．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴在上是增函数，‎ 当，即时， 符合题意；‎ 当，且，即符合题意；‎ 当，且，即符合题意．‎ 综上可知．‎ ‎【考点】二次函数．‎ ‎22．已知函数是上的奇函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，则不等式在上有解，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若且在上的最小值为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）由题意得出，求出的值，然后再利用奇函数的定义验证函数为奇函数即可；‎ ‎（2）由可得出，分析出函数在上为增函数，再由为奇函数，由得出关于的不等式在上有解，可得出，即可求出实数的取值范围；‎ ‎（3）由且，可得出，可得出，换元，可得出，然后对分和，分析二次函数在区间上的单调性，结合题中条件可求出实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数是上的奇函数，，，‎ 当时，，定义域为，关于原点对称，‎ 且，此时函数为奇函数，因此，；‎ ‎（2）由（1）可知，又，，解得.‎ 则函数在上为增函数，函数在上为减函数，‎ 函数在上是增函数且为奇函数，‎ 由，得在上有解，‎ 在上有解，即在上有解，‎ ‎，解得或.‎ 因此，实数的取值范围是；‎ ‎（3），即，且，解得.‎ ‎，令，又，则.‎ ‎，.‎ 则，令，‎ 二次函数图象的对称轴为直线.‎ ‎①当时，函数在为增函数，，即不合乎题意；‎ ‎②当时，在为增函数，在为减函数，‎ ‎，满足.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用奇偶性求参数、奇偶性与单调性解不等式、以及指数型函数的最值问题，在处理与之间的关系，常用利用换元，将问题转化为二次函数问题来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎