寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题4 用样本估计总体（解析）x

寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题4 用样本估计总体（解析）x

专题4　用样本估计总体 ‎1．用样本估计总体的两种情况 ‎(1)用样本的频率分布估计总体的分布．‎ ‎(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征．‎ ‎2．用样本的频率分布估计总体分布 ‎(1)频率分布直方图；‎ ‎(2)频率分布折线图和总体密度曲线及茎叶图 ‎①频率分布折线图的作法；‎ ‎②总体密度曲线的含义；‎ ‎③茎叶图的特点．‎ ‎3．用样本的数字特征估计总体的数字特征 ‎(1)众数、中位数、平均数的定义；‎ ‎(2)样本方差、标准差的含义及求法．‎ 例1　调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：‎ ‎171　163　163　166　166　168　168　160　168　165‎ ‎171　169　167　169　151　168　170　168　160　174‎ ‎165　168　174　159　167　156　157　164　169　180‎ ‎176　157　162　161　158　164　163　163　167　161‎ ‎(1)作出频率分布表；‎ ‎(2)画出频率分布直方图．‎ 变式1　下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).‎ ‎(1)列出样本频率分布表；‎ ‎(2)画出频率分布直方图；‎ ‎(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．‎ 例2　某赛季甲、乙两名篮球运动员每场得分情况如下：‎ 甲的得分：12,15,24,25,31,31,36,37,36,39,44,49,50.‎ 乙的得分：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51,9,17.‎ ‎(1)用茎叶图表示上面的数据；‎ ‎(2)根据你所画的茎叶图，分析甲、乙运动员的得分情况．‎ 变式2　有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中分别随机抽取了16台，记录了上午8：00～11：00间各自的销售情况(单位：元)‎ 画出茎叶图，分析两城市自动售货机的销售情况．‎ 例3　从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：‎ 甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42‎ 乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40‎ 问：(1)哪种玉米的苗长得高？‎ ‎(2)哪种玉米的苗长得齐？‎ 变式3　甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为(单位：mm)：‎ 甲：10.2　10.1　10.9　8.9　9.9　10.3　9.7　10　9.9　10.1‎ 乙：10.3　10.4　9.6　9.9　10.1　10　9.8　9.7　10.2　10‎ 分别计算上面两个样本的平均数与标准差．如果图纸上的设计尺寸为10 mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适．‎ A级 ‎1．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是(　　)‎ A．总体容量越大，估计越精确 B．总体容量越小，估计越精确 C．样本容量越大，估计越精确 D．样本容量越小，估计越精确 ‎2．频率分布直方图中，小长方形的面积等于(　　)‎ A．组距 B．频率 C．组数 D．频数 ‎3．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x为(　　)‎ A．21 B．22 C．20 D．23‎ ‎4．从总体中抽取的样本数据有n1个a，n2个b，n3个c，则总体平均数的估计值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．一个容量为n的样本，分成若干组，已知甲组的频数和频率分别为36和，则容量n＝________，且频率为的乙组的频数是________．‎ ‎6．已知一样本x1，x2，…，xn，其标准差s＝8.5，另一样本3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5，其标准差s′＝________.‎ ‎7．某商店大米的价格是3.00元/千克，面粉的价格是3.60元/千克，大米与面粉的销量分别是1 000千克，500千克，则该商店出售的粮食的平均价格是______元/千克．‎ B级 ‎8．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：‎ 则样本数据落在区间[10,40)的频率为(　　)‎ A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65‎ ‎9.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是(　　) ‎ A．46,45,56 B．46,45,53‎ C．47,45,56 D．45,47,53‎ ‎10．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差等于(　　)‎ A．3.5 B．－3 C．3 D．－0.5‎ ‎11．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空．‎ ‎(1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为________；‎ ‎(2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________．‎ ‎12．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.‎ ‎13．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．‎ ‎(1)求图中a的值；‎ ‎(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.‎ ‎14．某车间20名工人年龄数据如下表：‎ ‎ ‎ ‎(1)求这20名工人年龄的众数与极差；‎ ‎(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；‎ ‎(3)求这20名工人年龄的方差．‎ 详解答案 典型例题 例1　解　(1)最低身高为151 cm，最高身高为180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为3，组数为10，列表如下：‎ ‎(2)频率分布直方图，如图所示．‎ 变式1　解　(1)样本频率分布表如下：‎ ‎(2)其频率分布直方图如下：‎ ‎(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.‎ 例2　解　(1)如图所示的茎叶图中，中间的数字表示两位运动员得分的十位数，两边的数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数．‎ ‎(2)从茎叶图上可以看出：甲运动员的得分比较集中在茎为3的一行，且大致关于这一行对称；乙运动员的得分主要分散在四行．‎ 所以甲运动员的发挥比较稳定，总体得分情况比乙运动员好．‎ 变式2　解　茎叶图如图所示．‎ 根据茎叶图对两城市自动售货机进行比较，从茎叶图上可以看出：甲城市自动售货机的销售量不均匀，有最多的，58元．有最少的，5元；乙城市自动售货机的销售量没有特殊销售量，分布比较均匀．‎ 因此乙城市自动售货机销售量比较稳定．‎ 例3　解　(1)∵甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，‎ 乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．‎ ‎∴甲<乙，即乙种玉米的苗长得高．‎ ‎(2)∵s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1 042＝104.2，‎ s＝[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝×1 288＝128.8，‎ ‎∴ss乙，所以乙比甲稳定，用乙较合适．‎ 强化提高 ‎1．C　2.B　3.A　4.D ‎5．144　24‎ 解析　抽样时要保证每个个体被抽到的机会均等，则＝，所以n＝36×4＝144，设频率为的乙组的频数为x，同理＝，x＝24.‎ ‎6．25.5‎ 解析　s′＝3s＝25.5.‎ ‎7．3.20‎ ‎8．B　[根据频率的定义求解．由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间[10,40)的频率为＝0.45.]‎ ‎9．A [由题意知，各数为 ‎12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.]‎ ‎10．B　[少输入90，＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际的平均数等于－3.]‎ ‎11．0.32　36‎ 解析　样本数据落在[6,10)内的频率为4×0.08＝0.32，落在[10,14)内的频率为4×0.09＝0.36，频数n＝100×0.36＝36.‎ ‎12．91‎ 解析　由题意得 即 解得，或.所以xy＝91.‎ ‎13．解　(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.‎ ‎(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．‎ ‎(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30，0.02×10×100＝20.‎ 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×＝20,30×＝40,20×＝25.‎ 故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.‎ ‎14．解　(1)这20名工人年龄的众数为：30；这20名工人年龄的极差为：40－19＝21.‎ ‎(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：‎ ‎(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；‎ 所以这20名工人年龄的方差为：‎ (30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6.‎