数学卷·2018届浙江省台州市书生中学高二上学期期中数学试卷（解析版）

数学卷·2018届浙江省台州市书生中学高二上学期期中数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年浙江省台州市书生中学高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一．选择题：（每小题5分，共40分）‎ ‎1．下列命题中错误的是（　　）‎ A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B．“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件 C．命题p：∃x0∈R，x02+x0﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0‎ D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”‎ ‎2．已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（　　）‎ A．16 B．16或64 C．64 D．都不对 ‎3．已知平面α内有一点M（1，﹣1，2），平面α的一个法向量=（2，﹣1，2），则下列点P在平面α内的是（　　）‎ A．（﹣4，4，0） B．（2，0，1） C．（2，3，3） D．（3，﹣3，4）‎ ‎4．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（　　）‎ A．m∥β且l∥α B．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2‎ ‎5．圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0和圆x2+y2+6x﹣2y+6=0的公切线条数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（　　）‎ A．1个 B．4个 C．7个 D．8个 ‎7．若直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），则 （　　）‎ A．a2+b2≤4 B．a2+b2≥4 C． D．‎ ‎8．如图，多面体OABCD，AB=CD=2，AD=BC=，AC=BD=，且OA，OB，OC两两垂直，则下列说法正确的是（　　）‎ A．直线OB∥平面ACD B．球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是 C．直线AD与OB所成角是45°‎ D．二面角A﹣OC﹣D等于30°‎ ‎　‎ 二．填空题：（9-12题每空3分，13-15题每空4分，共36分）‎ ‎9．向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），若⊥，则x=　　；若与夹角是锐角，则x 的取值范围　　．‎ ‎10．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为　　；直线SB与AC所成角的余弦值为　　．‎ ‎11．若实数x，y满足等式 x2+y2=4x﹣1，那么的最大值为　　．x2+y2的最小值为　　．‎ ‎12．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为　　．‎ ‎13．曲线x2+y2=2（|x|+|y|）围成的图形面积是　　．‎ ‎14．过点（1，2）总可以作两条直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0 相切，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎15．在四面体ABCD中，AB=CD=，AD=BD=3，AC=BC=4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：（共74分）‎ ‎16．设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎17．如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=CD=4，AC=4，CD=4，∠ACB=45°，E，F分别为MN的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面ABD；‎ ‎（2）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．‎ ‎18．已知圆M的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．‎ ‎（Ⅰ）求圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点C（1，2）的圆M的切线方程；‎ ‎（Ⅲ）已知D（﹣3，4），点P在圆M上运动，求以AD，AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q轨迹方程．‎ ‎19．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．‎ ‎（1）求证：BD⊥平面POA；‎ ‎（2）设点Q满足 ‎，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．‎ ‎20．已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线，被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方．‎ ‎（I）求圆M的方程；‎ ‎（II）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年浙江省台州市书生中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：（每小题5分，共40分）‎ ‎1．下列命题中错误的是（　　）‎ A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B．“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件 C．命题p：∃x0∈R，x02+x0﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0‎ D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据命题命题真假判断的真值表，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；写出原命题的否定，可判断C；写出原命题的逆否命题，可判断D．‎ ‎【解答】解：若p∨q为真命题，则命题p，q中存在真命题，但不一定全是真命题，故p∧q不一定为真命题，故A错误；‎ ‎“x2﹣4x﹣5＞0”⇔“x＜﹣1，或x＞5”，故“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件，故B正确；‎ 命题p：∃x0∈R，x02+x0﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0，故C正确；‎ 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故D正确；‎ 故选：A ‎　‎ ‎2．已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（　　）‎ A．16 B．16或64 C．64 D．都不对 ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】‎ 应分直观图中的平行四边形哪条边为4，两种情况，由斜二测画法规则可知，原正方形的边长可为4或8，求其面积即可．‎ ‎【解答】解：由斜二测画法规则可知，原正方形的边长可为4或8，故其面积为16或64．‎ 故选B ‎　‎ ‎3．已知平面α内有一点M（1，﹣1，2），平面α的一个法向量=（2，﹣1，2），则下列点P在平面α内的是（　　）‎ A．（﹣4，4，0） B．（2，0，1） C．（2，3，3） D．（3，﹣3，4）‎ ‎【考点】平面的法向量．‎ ‎【分析】若点P在平面α内，则=0，经过验证即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：若点P在平面α内，则=0，‎ 经过验证只有点（2，3，3）满足．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（　　）‎ A．m∥β且l∥α B．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是充要条件的判断，我们根据面面平行的判断及性质定理，对四个答案进行逐一的分析，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：若m∥l1，n∥l2，‎ m．n⊂α，l1．l2⊂β，l1，l2相交，‎ 则可得α∥β．即B答案是α∥β的充分条件，‎ 若α∥β则m∥l1，n∥l2不一定成立，即B答案是α∥β的不必要条件，‎ 故m∥l1，n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件，‎ 故选B ‎　‎ ‎5．圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0和圆x2+y2+6x﹣2y+6=0的公切线条数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】把两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距等于半径之和，两圆外切，由此可得两圆的公切线的条数．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，表示以（1，1）为圆心，半径等于2的圆．‎ 圆x2+y2+6x﹣2y+6=0的即 （x+3）2+（y﹣1）2=4，表示以（﹣3，1）为圆心，半径等于2的圆．‎ 两圆的圆心距等于4=2+2，等于半径之和，两圆外切，‎ 故两圆的公切线的条数为3．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（　　）‎ A．1个 B．4个 C．7个 D．8个 ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】对于四点不共面时，画出对应的几何体，根据几何体和在平面两侧的点的个数分两类，结合图形进行解．‎ ‎【解答】解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：‎ ‎①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，‎ ‎②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线共垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件．因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，‎ 所以满足条件的平面共有7个，‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．若直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），则 （　　）‎ A．a2+b2≤4 B．a2+b2≥4 C． D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用题设中的直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），得到acosα+bsinα=2，结合同角关系式中的平方关系，利用基本不等式求得正确选项．‎ ‎【解答】解：直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），∴acosα+bsinα=2，‎ ‎∴a2+b2=（a2+b2）（cos2α+sin2α）≥（acosα+bsinα）2=4，（当且仅当时等号成立）‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．如图，多面体OABCD，AB=CD=2，AD=BC=，AC=BD=，且OA，OB，OC两两垂直，则下列说法正确的是（　　）‎ A．直线OB∥平面ACD B．球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是 C．直线AD与OB所成角是45°‎ D．二面角A﹣OC﹣D等于30°‎ ‎【考点】组合几何体的面积、体积问题．‎ ‎【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：对于A，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故A错 对于B，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，‎ 即为=，故B对 对于C由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，tan∠DAE=，则∠DAE=60°，故C错误；‎ 对于D，因为AO⊥OC，DC⊥OC，所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角A﹣OC﹣D的二面角大小，连接OE，则∠AOE为所求，tan∠AOE=，所以∠AOE=60°；D错误．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二．填空题：（9-12题每空3分，13-15题每空4分，共36分）‎ ‎9．向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），若⊥，则x=　　；若与夹角是锐角，则x 的取值范围　　．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】①由⊥，可得=﹣8﹣2+3x=0，解得x．‎ ‎②由与夹角是锐角，可得=﹣8﹣2+3x＞0，解得x范围．若，则 ‎，可得，解得x，进而得出范围．‎ ‎【解答】解：①∵⊥，则=﹣8﹣2+3x=0，解得x=．‎ ‎②∵与夹角是锐角，∴=﹣8﹣2+3x＞0，解得x＞．‎ 若，则，∴，解得x=﹣6＜．‎ ‎∴与夹角是锐角，则x 的取值范围是．‎ 故答案为：；．‎ ‎　‎ ‎10．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为　4　；直线SB与AC所成角的余弦值为　　．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．建立如图所示的坐标系，利用向量方法求解即可．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，‎ 且底面△ABC为等腰三角形，‎ 在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，‎ 故BC=4，∠ACB=60°‎ 在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，‎ 建立如图所示的坐标系，则S（0，0，4），B（2‎ ‎，﹣2，0），A（0，﹣4，0），C（0，0，0），‎ ‎∴=（2，﹣2，﹣4），=（0，4，0），‎ ‎∴直线SB与AC所成角的余弦值为||=．‎ 故答案为4，．‎ ‎　‎ ‎11．若实数x，y满足等式 x2+y2=4x﹣1，那么的最大值为　　．x2+y2的最小值为　7﹣4　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】①x2+y2=4x﹣1，令=k，即y=kx，代入上式可得：x2（1+k2）﹣4x+1=0，令△≥0，解得k即可得出．‎ ‎②令x=2+cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．代入x2+y2，利用三角函数平方关系及其单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：①∵x2+y2=4x﹣1，∴（x﹣2）2+y2=3．‎ 令=k，即y=kx，代入上式可得：x2（1+k2）﹣4x+1=0，‎ 令△=16﹣4（1+k2）≥0，解得，因此的最大值为．‎ ‎②令x=2+cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．‎ 则x2+y2==7+4cosθ≥7﹣4，当且仅当cosθ=﹣1时取等号．‎ ‎　‎ ‎12．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为　　．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，根据圆锥是由半径为R的半圆卷成，求出圆锥的底面半径与高，即可求得体积．‎ ‎【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr=πR，∴‎ ‎∵R2=r2+h2，∴‎ ‎∴V=×π××=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎13．曲线x2+y2=2（|x|+|y|）围成的图形面积是　8+4π　．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】根据题意，作出如图的图象．由图象知，此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，由此其面积易求．‎ ‎【解答】解：由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，‎ 当x≥0，y≥0时，解析式为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，‎ 故可得此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，‎ 所围成的面积是2×2+4××π×（）2=8+4π 故答案为：8+4π．‎ ‎　‎ ‎14．过点（1，2）总可以作两条直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0‎ ‎ 相切，则实数k的取值范围是　（﹣，﹣3）∪（2，）　．‎ ‎【考点】点与圆的位置关系．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的并集即为实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=16﹣k2，‎ 所以16﹣k2＞0，解得：﹣＜k＜，‎ 又点（1，2）应在已知圆的外部，‎ 把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，‎ 解得：k＞2或k＜﹣3，‎ 则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）．‎ 故答案为：（﹣，﹣3）∪（2，）‎ ‎　‎ ‎15．在四面体ABCD中，AB=CD=，AD=BD=3，AC=BC=4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是　2　．‎ ‎【考点】直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】由直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，所以HG∥AB，同理EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以FG∥EH，EF∥HG．四边形EFGH为平行四边形．又AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD．‎ 所以：四边形EFGH为矩形．建立二次函数关系求解四边形EFGH面积的最大值．‎ ‎【解答】解：∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB；‎ 同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以：FG∥EH，EF∥HG．‎ 故：四边形EFGH为平行四边形．‎ 又∵AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD．‎ 所以：四边形EFGH为矩形．‎ 设BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，（0≤x≤1）‎ FG=2x，HG=2（1﹣x）‎ SEFGH=FG×HG=8x（1﹣x）=﹣8（x﹣）2+2，‎ 根据二次函数的性质可知：SEFGH面积的最大值2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ 三．解答题：（共74分）‎ ‎16．设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，‎ 得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0．‎ 由解得2＜x≤3．‎ 即q：2＜x≤3．‎ ‎（1）若a=1，则p：1＜x＜3，‎ 若p∧q为真，则p，q同时为真，‎ 即，解得2＜x＜3，‎ ‎∴实数x的取值范围（2，3）．‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，‎ ‎∴，即，‎ 解得1＜a≤2．‎ ‎　‎ ‎17．如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=CD=4，AC=4，CD=4，∠ACB=45°，E，F分别为MN的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面ABD；‎ ‎（2）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连接E，F，由E，F分别为AC，CD的中点，结合三角形中位线定理可得EF∥AD，再由线面平行的判定可得EF∥平面ABD；‎ ‎（2）由已知求解三角形可得AB⊥BC，结合△ABC和△BCD所在平面互相垂直可得AB⊥平面BCD，取BC中点G，过点G作BF的垂线GH，点H为垂足，则∠EHG为二面角E﹣BF﹣C的平面角，求解直角三角形得答案．‎ ‎【解答】（1）证明：连接E，F，‎ ‎∵E，F分别为AC，CD的中点，∴EF∥AD，‎ 又AD⊂平面ADB，EF⊄平面ADB，∴EF∥面ABD；‎ ‎（2）解：取BC中点G，过点G作BF的垂线GH，点H为垂足，‎ ‎∵AB=4，AC=4，∠ACB=45°，‎ ‎∴由AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos45°，得16=32+BC2﹣8BC，即BC=4．‎ ‎∴AB2+BC2=AC2，即AB⊥BC，‎ 又平面ABC⊥平面BCD，且平面ABC∩平面BCD=BC，‎ ‎∴AB⊥平面BCD，则EG⊥平面BCD，EG⊥BF，‎ 又GH⊥BF，∴BF⊥平面EGH，则BF⊥EH，即∠EHG为二面角E﹣BF﹣C的平面角．‎ ‎∵BD=4，BC=4，CD=，∴BF=．‎ 则∠CBF=60°，∴GH=2×．‎ Rt△EGH中，．‎ ‎　‎ ‎18．已知圆M的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．‎ ‎（Ⅰ）求圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点C（1，2）的圆M的切线方程；‎ ‎（Ⅲ）已知D（﹣3，4），点P在圆M上运动，求以AD，AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q轨迹方程．‎ ‎【考点】圆的切线方程；轨迹方程．‎ ‎【分析】（I）根据圆的性质，可得圆心M为AB垂直平分线与直线x﹣2y+4=0的交点．因此联解两直线的方程，得到圆心M的坐标，由两点的距离公式算出半径r=，即可得到圆M的方程；‎ ‎（II）由于点C是圆M上的点，所以过点C的圆M的切线与CM垂直．因此利用直线的斜率公式算出CM的斜率，从而得到切线的斜率k=﹣3，根据直线方程的点斜式列式，化简即得所求切线的方程；‎ ‎（III）设Q（x，y）、P（x0，y0），根据平行四边形ADQP的对角线互相平分，利用线段的中点坐标公式列式，解出P的坐标为（x﹣2，y﹣4），代入圆M的方程化简可得x2+（y﹣5）2=10．最后根据构成平行四边形的条件，去除两个杂点（﹣1，8）、（﹣3，4），即可得到顶点Q的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵圆M与x轴交于两点A（﹣5，0）、B（1，0），‎ ‎∴圆心在AB的垂直平分线上，即C在直线x=﹣2上．‎ 由，解得，即圆心M的坐标为（﹣2，1）．‎ ‎∴半径，‎ 因此，圆M的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=10．‎ ‎（Ⅱ）∵点C（1，2）满足（1+2）2+（2﹣1）2=10，‎ ‎∴点C在圆M上，可得经过点C与圆M相切的直线与CM垂直．‎ ‎∵CM的斜率kCM=，∴过点C的切线斜率为k==﹣3，‎ 由此可得过点C（1，2）的圆M的切线方程为y﹣2=﹣3（x﹣1），化简得3x+y﹣5=0．‎ ‎（Ⅲ）设Q（x，y）、P（x0，y0），‎ ‎∵四边形ADQP为平行四边形，∴对角线AQ、PD互相平分，即AQ的中点也是PD的中点．‎ 即，解得 将P（x﹣2，y﹣4）代入圆M的方程，可得（x﹣2+2）2+（y﹣4﹣1）2=10，即x2+（y﹣5）2=10，‎ ‎∴顶点Q在圆x2+（y﹣5）2=10上运动，‎ ‎∵圆x2+（y﹣5）2=10交直线AD于点（﹣1，8）和（﹣3，4），‎ 当Q与这两个点重合时，不能构成平行四边形ADQP，‎ ‎∴顶点Q的轨迹方程为x2+（y﹣5）2=10，（点（﹣1，8）、（﹣3，4）除外）．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．‎ ‎（1）求证：BD⊥平面POA；‎ ‎（2）设点Q满足，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．‎ ‎【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（1）利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO，证明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用线面垂直的判定，可得 BD⊥平面POA；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系O﹣xyz，设PO=x，求出时，，此时，进一步求点Q的坐标，求出平面PBD的法向量，利用向量的夹角公式，可证直线OQ与平面E所成的角大于．‎ ‎【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，‎ ‎∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．‎ ‎∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，‎ ‎∴PO⊥平面ABFED，‎ ‎∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD．‎ ‎∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…‎ ‎（2）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．‎ 设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，‎ 故BD=4，．‎ 又设PO=x，则，，‎ 所以O（0，0，0），P（0，0，x），，，‎ 故，‎ 所以，‎ 当时，．此时，…‎ 设点Q的坐标为（a，0，c），由（1）知，，则，，，．‎ ‎∴，，‎ ‎∵，∴． ‎ ‎∴，∴． ‎ 设平面PBD的法向量为，则．‎ ‎∵，，∴‎ 取x=1，解得：y=0，z=1，所以．…‎ 设直线OQ与平面E所成的角θ，‎ ‎∴=．…‎ 又∵λ＞0∴．∵，∴．‎ 因此直线OQ与平面E所成的角大于，即结论成立．…‎ ‎　‎ ‎20．已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线，被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方．‎ ‎（I）求圆M的方程；‎ ‎（II）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（I）设圆心M（a，0），利用M到l：8x﹣6y﹣3=0的距离，求出M坐标，然后求圆M的方程；‎ ‎（II）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），设AC斜率为k1，BC斜率为k2，推出直线AC、直线BC的方程，求出△ABC的面积S的表达式，求出面积的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设圆心M（a，0），由已知，得M到l：8x﹣6y﹣3=0的距离为，∴，‎ 又∵M在l的下方，∴8a﹣3＞0，∴8a﹣3=5，a=1，故圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．‎ ‎（Ⅱ）设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则直线AC的方程为y=k1x+t，直线BC的方程为y=k2x+t+6．由方程组，得C点的横坐标为，∵|AB|=t+6﹣t=6，∴，‎ 由于圆M与AC相切，所以，∴；同理，，∴，∴，∵﹣5≤t≤﹣2，∴﹣2≤t+3≤1，∴﹣8≤t2+6t+1≤﹣4，∴，．‎ ‎　‎ ‎2017年1月13日