2018-2019学年湖北省华中师范大学第一附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年湖北省华中师范大学第一附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省华中师范大学第一附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．用秦九韶算法求多项式当时的值，有如下说法：①要用到6次乘法；②要用到6次加法和15次乘法；③v3＝12；④v0＝11．其中说法正确的是 A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，把等到价转化为，就能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 需做加法与乘法的次数都是6次，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的值为12；‎ 其中正确的是①④‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键,属于基础题．‎ ‎2．把[0，1]内的均匀随机数x分别转化为[0，2]和内的均匀随机数y1，y2，需实施的变换分别为( )‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】先看区间长度之间的关系：故可设 或，再用区间中点之间的对应关系得到，解出，问题得以解决．‎ ‎【详解】‎ 解：将[0,1]内的随机数x转化为[0,2]内的均匀随机数，区间长度变为原来的2倍，‎ 因此设=2x+(是常数)，‎ 再用两个区间中点的对应值，‎ 得当时，=1，‎ 所以，可得=0，‎ 因此x与的关系为：=2x；‎ 将[0,1]内的随机数x转化为[-2,1]内的均匀随机数，区间长度变为原来的2倍，‎ 因此设=3x+(是常数)，‎ 再用两个区间中点的对应值，‎ 得当时，=，‎ 所以，可得，‎ 因此x与的关系为：=3x-2；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查均匀随机数的含义与应用，属于基础题．解决本题解题的关键是理解均匀随机数的定义，以及两个均匀随机数之间的线性关系．‎ ‎3．抛物线的准线方程是，则的值为（ ）‎ A． B． C．8 D．-8‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程表示的是抛物线,，，抛物线的准线方程是，解得，故选A.‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，若输出n的值为9，则判断框中可填入( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】执行程序框图，根据输出，可计算的值，由此得出判断框中应填入的条件．‎ ‎【详解】‎ 解：执行程序框图，可得该程序运行后是计算，‎ 满足条件后，输出，由此得出判断框中的横线上可以填入？．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图的应用问题，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5．将二进制数110 101(2)转化为十进制数为(　　)‎ A．106 B．53‎ C．55 D．108‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得110101(2)=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=53.选B。‎ ‎6．若满足约束条件， ，则的取值范围为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 画出表示的可行域如图，由，得，由，得， 表示可行域内的内的点与连线的斜率， ，由图可得的范围是，故选A.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎7．在边长为的正三角形内任取一点，则点到三个顶点的距离均大于的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图正的边长为，分别以它的三个顶点为圆心，以为半径，在 内部画圆弧，得三个扇形，则题中点在这三个扇形外，因此所求概率为 ‎，故选B．‎ ‎8．从装有6个红球和5个白球的口袋中任取4个球，那么下列是互斥而不对立的事件是（ ）‎ A．至少一个红球与都是红球 B．至少一个红球与至少一个白球 C．至少一个红球与都是白球 D．恰有一个红球与恰有两个红球 ‎【答案】D ‎【解析】“至少一个红球”包含“都是红球”；至少一个红球与至少一个白球包含“一个红球三个白球”、“二个红球二个白球”、“三个红球一个白球”；至少一个红球与都是白球是对立的事件；恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立的事件，所以选D.‎ ‎9．某校为了解高三学生英语听力情况，抽查了甲、乙两班各十名学生的一次英语听力成绩，并将所得数据用茎叶图表示(如图所示)，则以下判断正确的是 A．甲组数据的众数为28 B．甲组数据的中位数是22‎ C．乙组数据的最大值为30 D．乙组数据的极差为16‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据茎叶图中的数据，结合众数、中位数、最大数与极差的概念，进行判断即可．‎ 解：根据茎叶图中的数据，得；‎ 甲组数据的众数是17，∴A错误；‎ 甲组数据的中位数是=22，∴B正确；‎ 乙组数据的最大数是24，∴C错误；‎ 乙组数据的极差是24﹣16=8，∴D错误． ‎ 故选：B．‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎10．与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）‎ A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 ‎【答案】B ‎【解析】直线过原点时，设方程为,利用点到直线的距离等于半径可求得,即直线方程为;②直线不过原点时，设其方程为 ，同理可求得,直线方程为.所以共3条，故选B.‎ ‎11．已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，点P是其上一点，双曲线的离心率是2，若△F1PF2是直角三角形且面积为3，则双曲线的实轴长为（ ）‎ A．2 B． C．2或 D．1或 ‎【答案】C ‎【解析】分情况讨论△F1PF2中直角位置的情况，并根据双曲线特性和勾股定理进行计算，可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，‎ 为直角三角形，‎ ‎,‎ 又 联立可得，‎ ‎，双曲线实轴长为2；‎ ‎（2）若，‎ 此时P点坐标为(c,),‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 此时实轴长.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义、方程和基本性质．在涉及到与焦点有关的题目时，一般都用定义求解，考查运算能力．注意应分情况进行计算，属于中档题.‎ ‎12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意可得 PF1=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得 PF2 =2a﹣2c．设∠PF1F2 =θ，则，故﹣＜cosθ＜，再由余弦定理，求得e的范围．‎ 详解：‎ 由题意可得 PF1=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得 PF2 =2a﹣PF1=2a﹣2c．‎ 设∠PF2F1 =θ，则，∴﹣＜cosθ＜．‎ ‎△PF1F2中，由余弦定理可得 cosθ= ，由﹣＜cosθ＜ 可得e的范围，‎ 故答案为：B.‎ 点睛：本题考查椭圆的几何性质及其应用，列出不等式并转化为关于离心率的不等式是解答的关键，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).‎ 二、填空题 ‎13．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本平均数为1，则样本方差为____________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先由数据的平均数公式求得，再根据方差的公式计算．‎ ‎【详解】‎ 解：由题可知样本的平均值为1，‎ ‎ ，解得，‎ 样本的方差为．‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一组数据的平均数公式、方差公式，属于基础题．‎ ‎14．某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为，所以样本容量为，‎ 故答案为20.‎ 点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力．‎ ‎15．从1,2,3,4,5共五个数字中,任取两个数字,取出数字之和为偶数的概率是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】任取两个数字的可能为： 种，这个数为偶数的种数为： ，‎ 结合古典概型公式可得，所求概率为： .‎ ‎16．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交两点，且，双曲线的渐近线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，设垂足为A，易得， ,‎ 又，所以，而，故， ，在中，利用余弦定理可得： ，即 ‎， ，得： ，故渐近线方程为： ‎ 三、解答题 ‎17．某区的区人大代表有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为，乙校教师记为，丙校教师记为，丁校教师记为.现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名.‎ ‎（1）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；‎ ‎（2）求教师被选中的概率；‎ ‎（3）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) (3) ‎ ‎【解析】分析：（1）某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D．从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大政策宣讲团，利用列举法能求出组成人员的全部可能结果．‎ ‎（2）组成人员的全部可能结果中，利用列举法求出A1被选中的结果有5种，由此能求出教师A1被选中的概率．‎ ‎（3）利用列举法求出宣讲团中没有乙校代表的结果有2种，由此能求出宣讲团中没有乙校教师代表的概率．‎ 详解：（1）从6名教师代表中选出3名教师组成十九大政策宣讲团，组成人员的全部可能结果有：，，， ，，，，，，，，共有12种不同可能结果.‎ ‎（2）组成人员的全部可能结果中，被选中的结果有，，， ，共有5种，‎ 所以所求概率.‎ ‎（3）宣讲团没有乙校代表的结果有：，共2种结果，所以所求概率为.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎18．为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，并得到如图所示的频率分布直方图，在这100人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表所示：‎ ‎ ‎ ‎(1)由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；‎ ‎(2)根据以上统计数据填写下面的22列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异？‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 不支持 支持 总计 参考数据：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）42；（2）不能.‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可；‎ ‎（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)估计这100人年龄的平均数为（岁）；‎ ‎(2)由频率分布直方图可知，45岁以下共有50人，45岁以上共有50人.‎ 列联表如下：‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 不支持 ‎35‎ ‎40‎ ‎75‎ 支持 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎∴ K= 1.333＜3.841 ‎ ‎∴不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图应用问题，是中档题．‎ ‎19．一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了6组观测数据于下表中，通过散点图可以看出样本点分布在一条指数型函数y=的图象的周围.‎ ‎(1)试求出y关于x的上述指数型的回归曲线方程(结果保留两位小数)；‎ ‎(2)试用(1)中的回归曲线方程求相应于点(24，17)的残差.(结果保留两位小数)‎ 温度x(°C)‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎28‎ ‎30‎ 产卵数y(个)‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎17‎ ‎25‎ ‎44‎ ‎88‎ z=lny ‎1.79‎ ‎2.20‎ ‎2.83‎ ‎3.22‎ ‎3.78‎ ‎4.48‎ 几点说明：‎ ‎①结果中的都应按题目要求保留两位小数.但在求时请将的值多保留一位即用保留三位小数的结果代入.‎ ‎②计算过程中可能会用到下面的公式：回归直线方程的斜率==，截距.‎ ‎③下面的参考数据可以直接引用：=25，=31.5，≈3.05，=5248，≈476.08，，ln18.17≈2.90.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)由已知条件结合计算公式求出的值，继而得到回归直线方程 ‎(2)由(1)得回归直线方程，代入点(24,17)计算出残差 ‎【详解】‎ ‎(1)设z关于x的回归直线方程为 ‎∴=≈‎ 保留三位小数：≈0.265，保留两位小数：≈0.27 ‎ ‎∴=≈3.05－0.265×25≈－3.58 ‎ ‎∴z=lny关于x的回归直线方程为=0.27x－3.58‎ ‎∴y关于x的指数型的回归曲线方程为= ‎ ‎(2)相应于点(24,17)的残差=y－=17－=17－‎ ‎≈17－=17－18.17=－1.17‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了回归直线方程的计算并求出残差，运用公式求解，较为基础 ‎20．已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，直线的斜率为2．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）与圆相切的直线，与抛物线交于两点，若在抛物线上存在点，使，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）设切点，可分别写出过两点的切线方程，再利用它们都过点，从而求p，即可求出抛物线的标准方程；‎ ‎（2）由题意设直线，由题意可得，，可化为，由直线方程与抛物线联立可得，从而求b的取值范围，进而由韦达定理可得，从而求λ的取值范围．‎ 试题解析：（1）设，‎ 则点处抛物线的切线为，过点，因而；‎ 同理，点处抛物线的切线为，过点，因而．‎ 两式结合，说明直线过两点，也就是直线的方程为．‎ 由已知直线的斜率为2，知，‎ 故所求抛物线的方程为．‎ ‎（2）显然当直线的斜率不存在与斜率为0时不合题意 故可设直线的方程为．‎ 又直线与圆相切，‎ 所以，即．‎ 与抛物线方程联立，即，‎ 化简消得，‎ 设，则，‎ ‎．‎ 由，则，．‎ 又点在抛物线上，则．‎ 即，由于，因而．‎ 所以的取值范围为 ‎【考点】1、椭圆的标准方程；2、向量在几何中的应用；3．直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【方法点晴】本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行解题．在解析几何题目的解答过程中，代数式的恒等变形能力，计算能力是能顺利解题的基本保障，在此过程中用好韦达定理及已知条件是解决问题的关键．‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且其中O为坐标原点。‎ ‎（I） 求椭圆C的方程；‎ ‎（II） 如图，过点S（0，}，且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，‎ 点M的坐标为（0，1）。‎ ‎【解析】（1）利用；（2）直线方程与椭圆方程，联立方程组并借助于韦达定理，求点的坐标.‎ 解:(1)设，,① ……1分 又,，即② ……2分 ‎①代入②得：. 又故所求椭圆方程为……4分 ‎(2)设直线，代入，有.‎ 设，则. ……6分 若轴上存在定点满足题设，则，，‎ ‎ ‎ ‎……9分 由题意知，对任意实数都有恒成立， ……10分 即对成立.‎ 解得， ……11分 在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点. ……12分 ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）当时，与相交于，两点，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)直线的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，求 的普通方程和C的直角坐标方程；（2）由（1）可知圆心坐标为C（2，0），半径为2，直线过点A（3，1），CA⊥PQ时，可求|PQ|的最小值．‎ 试题解析：（1）由直线的参数方程（为参数），‎ 消去参数得，，‎ 即直线的普通方程为，‎ 由圆的极坐标方程为，得，‎ 将代入()得， ，‎ 即的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入得，，‎ ‎，‎ 设两点对应的参数分别为，‎ 则，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以当时，取得最小值.‎ ‎【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】‎ 解法二：（1）同解法一 ‎（2）由直线的参数方程知，直线过定点，‎ 当直线时，线段长度最小.‎ 此时，，‎ 所以的最小值为.‎ 解法三：‎ ‎（1）同解法一 ‎（2）圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ 又因为，‎ 所以当时，取得最大值.‎ 又，‎ 所以当时，取得最小值.‎