2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§6-2　等差数列（讲解部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§6-2　等差数列（讲解部分）

§６.２ 等差数列 高考数学 考点一　等差数列的有关概念及运算 1.等差数列的定义 (1)如果一个数列从第二项起,每一项与它相邻前面一项的差是① 　同一个 常数     ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通 常用字母 d 表示. (2) a n +1 - a n = d (常数)( n ∈N * )或 a n - a n -1 = d (常数)( n ∈N * , n ≥ 2) 2.等差中项:如果 a , A , b 成等差数列,那么②      A      叫做 a 与 b 的等差中项且③      A =        . 考点清单 (2)通项公式的推广: a n = a m +( n - m ) d ( n , m ∈N * ). 4.等差数列的前 n 项和 5.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 S n =   n 2 +   n . 非零数列{ a n }是等差数列的充要条件是其前 n 项和 S n = f ( n )是 n 的二次函数或 一次函数且不含常数项,即 S n = An 2 + Bn ( A , B 是常数). 6.在等差数列{ a n }中,若 a 1 >0, d <0,则 S n 存在最大值;若 a 1 <0, d >0,则 S n 存在最小值. 已知条件 前 n 项和公式 a 1 , a n , n S n =   a 1 , d , n S n = na 1 +   d 3.通项公式 (1)如果等差数列{ a n }的首项为 a 1 ,公差为 d ,那么通项公式为 a n = ④      a 1 +( n -1) d , n ∈N *      . 考点二　等差数列的性质 　　已知数列{ a n }是等差数列, S n 是{ a n }的前 n 项和. (1)若 m + n = p + q ( m , n , p , q ∈N * ),则有 a m + a n = a p + a q . (2)等差数列{ a n }的单调性:当 d >0时,{ a n }是递增数列;当 d <0时,{ a n }是递减数 列;当 d =0时,{ a n }是常数列. (3)若{ a n }是等差数列,公差为 d ,则 a k , a k + m , a k +2 m , … ( k , m ∈N * )是公差为 md 的等差 数列. (4)若{ a n }是等差数列,则   也是等差数列,其首项与{ a n }的首项相同,其公 差是{ a n }的公差的   . (5)若{ a n }是等差数列, S m , S 2 m , S 3 m 分别为{ a n }的前 m 项,前2 m 项,前3 m 项的和,则 S m , S 2 m - S m , S 3 m - S 2 m 成等差数列,公差为 m 2 d ( d 为数列{ a n }的公差). (6)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (i)若项数为2 n ,则 S 偶 - S 奇 = nd ,   =   . (ii)若项数为2 n -1,则 S 偶 =( n -1) a n , S 奇 = na n , S 奇 - S 偶 = a n ,   =   . (7)两个等差数列{ a n }、{ b n }的前 n 项和 S n 、 T n 之间的关系为   =   . 考法一 　等差数列的判定与证明 知能拓展 例1     (2018山东济南一中1月检测,18)各项均不为0的数列{ a n }满足   = a n +2 a n ,且 a 3 =2 a 8 =   . (1)证明:数列   是等差数列,并求数列{ a n }的通项公式; (2)若数列{ b n }的通项公式为 b n =   ,求数列{ b n }的前 n 项和 S n . 解题导引     解析　 (1)依题意,知 a n +1 a n + a n +2 a n +1 =2 a n +2 a n ,两边同时除以 a n a n +1 a n +2 ,可得   +   =   ,故数列   是等差数列. 设数列   的公差为 d .因为 a 3 =2 a 8 =   ,所以   =5,   =10,所以   -   =5=5 d ,即 d =1, 故   =   +( n -3) d =5+( n -3) × 1= n +2,故 a n =   . (2)由(1)可知 b n =   =   ·   =     , 故 S n =     =   . 方法总结 　判定等差数列的方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于 n ∈N * , a n +1 - a n 为同一常数 ⇔ { a n }是等差数列 解答题中的 证明问题 等差 中项法 2 a n -1 = a n + a n -2 ( n ≥ 3, n ∈N * )成立 ⇔ { a n }是等差数列 通项 公式法 a n = pn + q ( p , q 为常数)对任意的正 整数 n 都成立 ⇔ { a n }是等差数列 选择题、填 空题中的 判定问题 前 n 项和 公式法 验证 S n = An 2 + Bn ( A , B 是常数)对任 意的正整数 n 都成立 ⇔ { a n }是等 差数列 考法二 　等差数列前n项和的最值问题 例2     (2018山东青岛调研,17)已知 S n 是数列{ a n }的前 n 项和, S n =3 × 2 n -3,其中 n ∈N * . (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)数列{ b n }为等差数列, T n 为其前 n 项和, b 2 = a 5 , b 11 = S 3 ,求 T n 的最值. 解题导引      (1)   (2)   解析　 (1)由 S n =3 × 2 n -3, n ∈N * ,得 (i)当 n =1时, a 1 = S 1 =3 × 2 1 -3=3. (ii)当 n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 =(3 × 2 n -3)-(3 × 2 n -1 -3)=3 × (2 n -2 n -1 )=3 × 2 n -1 (*).又当 n =1时, a 1 =3也满足(*)式. 所以,对任意 n ∈N * ,都有 a n =3 × 2 n -1 . (2)解法一:设等差数列{ b n }的首项为 b 1 ,公差为 d ,由(1)得 b 2 = a 5 =3 × 2 5-1 =48, b 11 = S 3 =3 × 2 3 -3=21. 由等差数列的通项公式得   解得   所以 b n =54-3 n . ∵ b n +1 - b n =-3<0, ∴ b n 随着 n 的增大而减小, 令 b n =0,解得 n =18,∴当 n ≤ 17的 b n >0,当 n >19时, b n <0. 所以 T n 有最大值,无最小值,且 T 18 (或 T 17 )为 T n 的最大值, T 18 =   =9 × (51+0)=459. 解法二:由解法一可知 T n =51 n +   × (-3) =-   n 2 +   n =-   ( n 2 -35 n )=-     =-     +   , ∵ n ∈N * ,∴当 n =17或18时, T n 有最大值, T 17 = T 18 =459. 方法总结 　求等差数列{ a n }的前 n 项和 S n 的最值的方法: