辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

高二年级数学试卷（理科）‎ 命题范围：人教B版 选修2-2 总分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.i是虚数单位，复数= （ ）‎ ‎ A. 2 + i B.2 – i C.-2 + i D.-2 – i ‎2. 是函数在点处取极值的: （ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 　C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”‎ ‎ 结论显然是错误的，是因为 （ ） ‎ A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 ‎4．已知曲线y＝cosx，其中x∈[0，π]，则该曲线与坐标轴围成的面积等于（ ）‎ 1 2 3‎ ‎5.如果z是3+4i的共轭复数，则z对应的向量的模是 （ ）‎ ‎ A.1 B. C. D.5‎ ‎6.若函数y=a(-x)的递减区间为(-,)，则a的取值范围是 （ ）‎ A.(0,+∞) B. (-1,0) C. (1,+∞) D.(0,1)‎ ‎7．定义的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（　　）的运算的结果（ ）‎ ‎ A.， B．， ‎ ‎ C.， D．，‎ ‎8.函数的定义域为(a,b)，导函数在(a,b)内的图像如图所示，‎ 则函数在(a,b)内有极小值点 （ ）‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9. 给出下列四个命题：（1）任一两个复数都不能比较大小；（2）为实数为实数（3）‎ ‎ 虚轴上的点都表示纯虚数；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的。‎ 其中正确命题的个数是 （ ）‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎10. 已知函数=，若+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m ≥ B．m＞ C．m≤ D．m＜‎ ‎11.用数学归纳法证明：<1(n∈,n≥2)，由n=k到n=k+1， 不等式左端变化的是 （ ）‎ A.增加一项 B.增加和两项 C.增加和两项，同时减少一项 D.增加一项，同时减少一项 ‎12.已知函数，下列结论中错误的是（ ）‎ ‎ A. B.函数的图像是中心对称图形 ‎ C.若是的极小值点，则f(x)在区间单调递减 ‎ D.若是的极值点，则 ‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上)‎ ‎13.设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z等于 ‎ ‎14.已知函数=+ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 ‎ ‎15.已知函数是定义在R上的奇函数，，，‎ ‎ 则不等式的解集是 ‎ ‎16. 一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）‎ ‎ ○●○○●○○○●○○○○●‎ 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的 个数为　 　　　　． ‎ 三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ ‎ 已知复数z=(-3m)+( -m-6)i,‎ 问：当实数m为何值时，复数z是：①实数；②z=4+6i；③对应的点在第三象限。‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数=a+b+cx(a≠0)，当x=-1时取得极值5，且f（1）=-11．‎ ‎ 求的单调区间和极小值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知曲线 y = + x－2 在点 处的切线 平行于直线4x－y－1=0，且点 在第三象限,‎ ‎ ⑴求的坐标; ‎ ‎ ⑵若直线垂直于 , 且也过切点 ,求 的方程.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ ‎ 已知x=1是函数=m-3(m+1) +nx+1的一个极值点，其中m<0‎ ‎ （1）求m与n的关系式； ‎ ‎ （2）求的单调区间；‎ ‎ （3）当〔-1,1〕，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ x y O ‎21题 ‎ 求由抛物线y=-+4x-3与它在点A（0，－3）和点B(3，0)的切线所围成的区域的面积。‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （1）设是的极值点，求，并讨论的单调性；‎ ‎ （2）当时，证明.‎ 高二年级数学试卷（理科）‎ 一.选择题：‎ ‎1.B 2.B 3.C 4．D 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.A 11.C 12.C 二、填空题 ‎13. 1＋3i 14. a<0 15. 16. 61‎ 三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）‎ ‎ 17．【解析】 ‎ ‎①令，即时，z为 实数；………………2分 ‎②‎ ‎………………………………6分 ‎③‎ ‎………………………………10分 ‎18．解：（1） ‎ 由题意得 ，即 ，解得 ‎ 因此，…………………………………………………………5分 ‎． ………………………………7分 当 时，；当时，．‎ 所以函数的单调增区间为和；单调减区间为.‎ 故函数在处取得极小值， ………………………………12分 ‎19. 解:⑴由y = + x－2，得y′=3+1，‎ 由已知得3+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.‎ 又∵点在第三象限,∴切点的坐标为 (－1,－4). …………………………………………………………6分 ‎⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为-,‎ ‎∵l过切点点的坐标为 (－1,－4)‎ ‎∴直线l的方程为即.……………………………………12分 ‎20. 解：（1）因为是函数的一个极值点.‎ 所以即所以……………………………………………3分 ‎ （2）由（1）知，当时，有，‎ 当为化时，与的变化如下表：‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故由上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减…………………7分 ‎（3），即又，所以，‎ 即 ‎ 设，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以 解之得所以即的取值范围为……………………………………………12分 ‎21．解析：，，‎ 所以过点A（0，－3）和点B(3，0)的切线方程分别是，……………………………4分 两条切线的交点是（），围成的区域如图所示：区域被直线分成了两部分，………………………………6分 分别计算再相加，得：‎ 即所求区域的面积是……………………………………………12分 ‎22.解：(1)f′(x)＝.‎ 由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.‎ 于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝.‎ 函数f′(x)＝在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.‎ 因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；‎ 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.‎ 所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．……………………………………………5分 ‎(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.‎ 当m＝2时，函数f′(x)＝在(－2，＋∞)单调递增．‎ 又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，‎ 故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．‎ 当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；‎ 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．‎ 由f′(x0)＝0得＝，ln(x0＋2)＝－x0，‎ 故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.‎ 综上，当m≤2时，f(x)＞0. ……………………………………………12分