高中数学（人教A版）必修4：2-2-1同步试题（含详解）

高中数学（人教A版）必修4：2-2-1同步试题（含详解）

高中数学(人教A版)必修4同步试题 ‎1．在四边形ABCD中，＝＋，则(　　)‎ A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形 解析　由向量的平行四边形法则知，ABCD一定是平行四边形．‎ 答案　D ‎2．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析　(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋＋)＝＋0＝，故选C.‎ 答案　C ‎3．向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是(　　)‎ A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同 B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同 C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同 D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同 解析　向量a与b反向，且|a|<|b|，则a＋b应与b方向相同，因此B错．‎ 答案　B ‎4．对任意向量a，b，在下式中：①a＋b＝b＋a；②(a＋b)＋c＝b＋(a＋c)；③|a＋b|＝|a|＋|b|；④|a＋b|≤|a|＋|b|，恒成立的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　因为向量加法满足交换律，结合律，所以①，②恒成立．|a＋b|＝|a|＋|b|仅当a与b同向或有零向量时成立，所以③不恒成立．由向量模的几何定义知④恒成立．故选C.‎ 答案　C ‎5．正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|为(　　)‎ A．0 B. C．3 D．2 解析　|a＋b＋c|＝|‎2c|＝2|c|＝2.应选D.‎ 答案　D ‎6．若a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|的最大值为__________，最小值为__________．‎ 解析　当a与b同向时，|a＋b|有最大值|a|＋|b|＝5.‎ 当a与b反向时，|a＋b|有最小值|b|－|a|＝1.‎ 答案　5　1‎ ‎7．下列结论：‎ ‎①a－a＝0；②a－b＝a＋(－b)；③设a，b为任意向量，则|a＋b|>0；④若∥，且||＝2012，||＝1，则|＋|＝2013.‎ 其中正确的有________．‎ 解析　a－a＝0，故①错；②正确；③中当a＋b＝0时，不成立，故③错；④中当与方向相反时，不正确，故④错．‎ 答案　②‎ ‎8．设a表示“向东走了‎2 km”，b表示“向南走了‎2 km”，c表示“向西走了‎2 km”，d表示“向北走了‎2 km”，则 ‎(1)a＋b＋c表示向________走了________km；‎ ‎(2)b＋c＋d表示向________走了________km；‎ ‎(3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．‎ 解析　(1)如图所示，a＋b＋c 表示向南走了‎2 km.‎ ‎(2)如图②所示，b＋c＋d表示向西走了‎2 km.‎ ‎(3)如图①所示，|a＋b|＝＝2，a＋b的方向是东南．‎ 答案　(1)南　‎‎2 km ‎(2)西　‎‎2 km ‎(3)2　东南 ‎9．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：‎ ‎(1)＋；‎ ‎(2)＋；‎ ‎(3)＋.‎ 解　‎ ‎(1)如图，由正六边形的性质知，OABC为平行四边形，‎ ‎∴＋＝.‎ ‎(2)由图知，＝＝＝，‎ ‎∴＋＝＋＝.‎ ‎(3)∵＝，＝，‎ ‎∴＋ ‎＝＋＝＋＝0.‎ ‎10.‎ 如右图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝.‎ 求证：＋＝＋.‎ 证明　由图可知＝＋，‎ ＝＋，‎ ‎∴＋＝＋＋＋.‎ ‎∵＝，‎ 又与模相等，方向相反，‎ 故＋＝＋＝0.‎ ‎∴＋＝＋.‎ 教师备课资源 ‎1.在Rt△ABC中，若∠A＝90°，||＝2，||＝3，则＋的模等于(　　)‎ A. B．2 C．3 D．5‎ 解析　由题意知|＋|＝＝＝，应选A.‎ 答案　A ‎2．已知下列各式：‎ ‎①＋＋；‎ ‎②(＋)＋＋；‎ ‎③＋＋＋；‎ ‎④＋＋＋.‎ 其中结果为0的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析　①＋＋＝＋＝0.‎ ‎②(＋)＋＋＝＋＋＝＋＝≠0.‎ ‎③＋＋＋＝＋≠0.‎ ‎④＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.‎ 其中结果为0的有两个．‎ 答案　B ‎3．①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；‎ ‎②△ABC中，必有＋＋＝0；‎ ‎③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；‎ ‎④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．‎ 其中真命题的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析　①不正确，当a＋b＝0时，不成立．②正确．③不正确．当A，B，C共线时，不成立．④不正确．因为|a＋b|≤|a|＋|b|.应选B.‎ 答案　B ‎4．已知正方形ABCD的边长为1，则|＋＋＋|等于________．‎ 解析　|＋＋＋|＝|2|＝2.‎ 答案　2 ‎5．如图，在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，求，，.‎ 解　如下图，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF和四边形ABCO均为平行四边形．‎ 根据向量的平行四边形法则，有 ＝＋＝a＋b.‎ ‎∴＝2＝‎2a＋2b.‎ 在平行四边形ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝‎2a＋b.‎ 而＝＝＝a＋b，‎ 由三角形法则得 ＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.‎