江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题

江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题

‎2021届高二年级第一次月考数学（文科）试卷 一：选择题。‎ ‎1.若直线与圆相切，则 （ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可根据圆的方程确定圆心以及半径，然后根据直线与圆相切即可列出算式并通过计算得出结果。‎ ‎【详解】由题意可知，圆方程为，‎ 所以圆心坐标为，圆的半径，‎ 因为直线与圆相切，‎ 所以圆心到直线距离等于半径，即 解得或，故选D。‎ ‎【点睛】本题考查根据直线与圆相切求参数，考查根据圆的方程确定圆心与半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，考查推理能力，是简单题。‎ ‎2.圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 A. 8 B. 9 C. 16 D. 18‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以.所以，当且仅当，即 时取等号，故选B．‎ ‎3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积.‎ ‎【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥，四边形是边长为1的正方形，平面，，则四棱锥的体积为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.‎ ‎4.如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则下列叙述正确的是( )‎ A. 原图形是正方形 B. 原图形是非正方形的菱形 C. 原图形的面积是 D. 原图形的面积是 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直观图还原为平面图形，可判断原图形既不是正方形又不是菱形,求出面积可得出答案.‎ ‎【详解】过点作的平行线交轴于点如图（1），，，，，由正弦定理可得，可得，，‎ 将直观图还原为平面图形，并过点作的垂线垂足为，如图（2），‎ 则，,，‎ 显然，即原图形既不是正方形又不是菱形,原图形的面积为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面图形直观图与原图形的关系，属于基础题.‎ ‎5.空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据关于平面xOy对称的点的规律：横坐标、纵坐标保持不变，第三坐标变为它的相反数，根据规律将点M（2，5，8）的第三坐标变为它的相反数，即可得N的坐标.‎ ‎【详解】由题意，关于平面xOy对称的点横坐标、纵坐标保持不变，第三坐标变为它的相反数，‎ 从而有点M（2，5，8）关于平面xOy对称的点的坐标为（2，5，-8）．‎ 故选C．‎ 本题考查了空间直角坐标系中对称点的坐标特征的有关知识，关键在于掌握对称点的坐标之间的关系；‎ 考点：点的对称性.‎ ‎6.已知圆，由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求处切线长的最小值，即可得到答案．‎ ‎【详解】将圆化为标准方程，得，‎ 所以圆心坐标为，半径为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 所以切线长的最小值为，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及数形结合思想的应用，属于基础题．‎ ‎7.如图，在正方体中，M， N分别为棱的中点，以下四个结论：①直线DM与是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.‎ ‎【详解】①：与是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；‎ ‎②：若平行，又平行且，所以平面平面，明显不正确，故错误；‎ ‎③：不共面，所以是异面直线，故正确；‎ ‎④：不共面，所以是异面直线，故正确；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.‎ ‎8.已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆心坐标为，根据圆与直线相切可求出，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．‎ ‎【详解】由题意设圆心坐标为，‎ ‎∵圆与直线相切，‎ ‎∴，解得a=2．‎ ‎∴圆心为，半径为，‎ ‎∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，即．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．‎ ‎9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）。由余弦定理，计算得即可。‎ ‎【详解】如图，设的中点为，连接、、，‎ 易知即为异面直线与所成的角（或其补角）‎ 设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，‎ 则，，，‎ 由余弦定理，得 故应选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好作，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.解答本题时，易知即为异面直线与所成的角（或其补角），进而通过计算的各边长，利用余弦定理求解即可。‎ ‎10.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然A、D选项不过（1，1），A、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，-1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，B满足． 故选B．‎ 点睛：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．由题意判断出切点（1，1）代入选项排除A、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．‎ ‎11.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可 详解：直线分别与轴，轴交于，两点 ‎,则 点P在圆上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离 故点P到直线的距离的范围为 则 故答案选A.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。‎ ‎12.如图所示，在三棱台中，点在上，且，点是内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 平面 B. 直线 C. 线段，但只含1个端点 D. 圆 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连结BN，则平面BDN∥平面A1C，由此得到M的轨迹是线段DM，且M与D不重合．‎ ‎【详解】过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连结BN，∵在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，‎ AA1∩A1C1＝A1，BD∩DN＝D，∴平面BDN∥平面A1C，‎ ‎∵点M是△A1B1C1内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，‎ ‎∴M的轨迹是线段DN，且M与D不重合，∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中动点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．‎ 二、填空题。‎ ‎13.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知，该几何体下边是一个长方体，上边是半个圆柱，其中长方体的长，宽，高分别为5，4，4，圆柱的底面半径为2，高为5，求出表面积即可.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体下边是一个长方体，上边是半个圆柱，其中长方体的长，宽，高分别为5，4，4，圆柱的底面半径为2，高为5，‎ 下半部分表面积为，‎ 上半部分的表面积为.‎ ‎【点睛】本题考查了几何体的三视图，考查了几何体的表面积，属于基础题.‎ ‎14.圆和圆的位置关系是_____‎ ‎【答案】相离 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出两圆的圆心距及两圆的半径之和，比较二者大小可知两圆相离.‎ ‎【详解】圆的圆心为，半径为2，‎ 圆的圆心为，半径为1，‎ 两圆的圆心距为，两圆的半径之和为3，‎ ‎.‎ 故两圆相离.‎ ‎【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系的判断，属于基础题.‎ ‎15.已知圆，点P在圆C上运动，则OP的中点M的轨迹方程_____．（为坐标原点）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，得代入已知圆的方程，能求出线段的中点的轨迹方程．‎ ‎【详解】设，∵为坐标原点，且是线段的中点，得，‎ 当点在圆上运动时，把代入圆得：.‎ 整理得线段的中点的轨迹方程为：．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查相关点法、中点坐标公式等基础知识，属于中档题．‎ ‎16.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．‎ ‎【详解】作分别垂直于，平面，连，‎ 知，，‎ 平面，平面，‎ ‎，．，‎ ‎，‎ ‎，为平分线，‎ ‎，又，‎ ‎．‎ ‎【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．‎ 三、解答题。‎ ‎17.（1）求与y轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程；‎ ‎（2）已知点在直线上运动，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设圆的圆心为，半径为，由该圆与y轴相切，圆心在直线上，可得，再求出圆心到直线的距离，可得，即，求出的值，进而可求出，即可求出圆的方程.（2）将代入，可得，即可求出最小值.‎ ‎【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，‎ 因为该圆与y轴相切，圆心在直线上，所以，‎ 设圆心到直线的距离为，则，‎ 则，即，解得，‎ 当时，，，此时圆的方程为，‎ 当时，，，此时圆的方程为.‎ ‎（2）点直线上，则，‎ 即，‎ 当时，取得最小值.‎ ‎【点睛】与圆的弦长有关的问题，常常用几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则.‎ ‎18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点．‎ ‎（1）求证：OM∥平面PAB； ‎ ‎（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）易知OM是△PBD的中位线，可知OM∥PB，进而可证明OM∥平面PAB；（2）底面ABCD是菱形，可知BD⊥AC，再由PA⊥平面ABCD，可得BD⊥PA，进而可证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC．‎ ‎【详解】证明：（1）∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，‎ ‎∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，‎ ‎∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，‎ ‎∴OM∥平面PAB；‎ ‎（2）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．‎ ‎∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，‎ ‎∵BD⊂平面PBD，‎ ‎∴平面PBD⊥平面PAC．‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行与面面垂直的证明，考查了学生的推理能力，属于基础题.‎ ‎19.已知圆 ‎（1）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短.‎ ‎（2）求圆关于直线对称的圆的标准方程；‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线过定点,当时，弦长最短，圆的圆心为，可得，由，可求出；（2）设圆的圆心为，圆心与关于直线对称，可求出的坐标，再由两个圆半径相等，可求出圆的标准方程.‎ ‎【详解】（1）由直线，可化为，‎ 可得直线过定点,当时，弦长最短，‎ 圆的圆心为，‎ 则，因为，所以，‎ ‎（2）由题意，圆的圆心，半径为，‎ 设圆的圆心为，因为圆心与关于直线对称，‎ 所以，解得，则，半径， ‎ 所以圆标准方程为：‎ ‎【点睛】本题考查了弦长问题，考查了两圆关于直线的对称问题，考查了学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎20.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）若的面积为，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1) 见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)证明：在底面ABCD中，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD，‎ 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴直线BC∥平面PAD.‎ ‎(2)解：取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.‎ 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.‎ 因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.‎ 设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.‎ 取CD的中点N，连接PN.‎ 则PN⊥CD，所以PN＝x.‎ 因为△PCD的面积为2，所以，‎ 解得x＝－2(舍去)或x＝2.‎ 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.‎ 所以四棱锥P－ABCD的体积V＝.‎ ‎21.如图1，在△ABC中，D,E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，BC=4．将△ADE沿DE折起到△的位置，使得平面平面BCED， F为A1C的中点，如图2．‎ ‎(1)求证EF∥平面；‎ ‎(2)求点C到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取线段的中点，连接，，易知，，，，所以，，即四边形为平行四边形，所以．‎ 即可证明平面；（2）易证面，设点C到平面的距离为，由等体积法可得，即可求出.‎ ‎【详解】（1）取线段的中点，连接，．‎ 因为在△中，，分别为，的中点，所以，．‎ 因为，分别为，的中点，所以， ‎ 所以，，所以四边形为平行四边形，所以．‎ 因为平面，平面，所以平面． ‎ ‎（2）因为为的中点，, ‎ 又因为平面平面，面面 面，，‎ 易知，，‎ 设点C到平面的距离为，，‎ 则，‎ 故点C到平面的距离.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查了点到平面的距离的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.‎ ‎22.已知圆：与直线：，动直线过定点.‎ ‎（1）若直线与圆相切，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与圆相交于、两点，点M是PQ的中点，直线与直线相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）直线的方程为或（2）•为定值，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）假设直线方程，再根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径求解；（2）根据向量加法三角形法和数量积公式把化为，联立两直线方程求出点的坐标，把向量积用坐标表示，化简即可的得到结果.‎ ‎【详解】解：（1）当直线的斜率不存在时，‎ 直线的方程为，此时与圆相切，符合题意；‎ 当直线的斜率存在时，‎ 设直线的方程为，即，‎ 若直线与圆相切，则圆心 到直线的距离等于半径1，‎ 所以，解得 ，‎ 所以直线的方程为，即.‎ 综上，直线的方程为或.‎ 直线的方程为或．‎ ‎（2）∵⊥，‎ ‎∴‎ 若直线与轴垂直时，不符合题意；‎ 所以的斜率存在，设直线的方程为，‎ 则由，即．‎ ‎∴，‎ 从而．‎ 综上所述， ．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及应用，向量积的坐标计算；此题的关键在于结合图形把化为.‎