天津市南开中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

天津市南开中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

‎2018~2019学年天津南开区天津市南开中学高二下学期 期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1.＝（　　）‎ A. ﹣1 B. ﹣i C. 1 D. i ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算得到结果即可.‎ ‎【详解】＝ ‎ 故答案A.‎ ‎【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，题目比较简单.‎ ‎2.下列式子不正确的是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析选项，易知C选项的导函数可得答案.‎ ‎【详解】对于选项C，，C错误 故选C ‎【点睛】本题主要考查了初等函数导函数的四则运算，属于基础题.‎ ‎3.函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是（ ）‎ A. 5，-15 B. 5，‎-4 ‎C. -4，-15 D. 5，-16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，判断在[0,3]上单调性，再进行求解．‎ ‎【详解】，令，得或，所以当时，，即为单调递减函数，当时，，即为单调递增函数，所以，又，所以，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数最值问题，考查计算能力，属基础题 ‎4.4种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是　　‎ A. 12 B. ‎10 ‎C. 8 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出所有的排法，再排除甲乙相邻的排法，即得结果．‎ ‎【详解】解：4种不同产品排成一排所有的排法共有种，‎ 其中甲、乙两种产品相邻的排法有种，‎ 故甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是排法有种．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于中档题．‎ ‎5.在的展开式中，的系数为( )‎ A. -120 B. ‎120 ‎C. -15 D. 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．‎ ‎【详解】的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C ‎【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．‎ ‎6.函数在时有极值0，那么的值为　　‎ A. 14 B. ‎40 ‎C. 48 D. 52‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，若在时有极值0，可得，解得a，b，并且验证即可得出．‎ ‎【详解】函数，，若在时有极值0，‎ 可得，‎ 则，解得：，或，，‎ 当，时，满足题意函数在时有极值0．‎ 当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．‎ ‎．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7.‎ 在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（ ）‎ A. 36 B. ‎72 ‎C. 24 D. 48‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可．‎ ‎【详解】根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有种分组方法；‎ ‎②将分好的3组对应3名任课教师，有种情况；‎ 根据分步乘法计数原理可得共有种不同的问卷调查方案．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎8.张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（ ）‎ A. 12 B. ‎24 ‎C. 36 D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论．‎ 详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为种．‎ 故选B．‎ 点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”‎ ‎9.函数存在两个不同极值点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解出，将在上有两个不等实根，转化为二次函数图像与轴有两个交点，通过二次函数图像得到不等式，求解出的范围.‎ ‎【详解】由题意得：‎ 设，又，‎ 可知存在两个不同的极值点等价于在上存在两个不同零点 由此可得：，即 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查导数与极值的关系，解题关键在于通过求导将极值点个数问题转化为二次函数在区间内的零点个数问题，确定二次函数图像主要通过以下三个方式：①判别式；②对称轴；③区间端点值符号.‎ ‎10.若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为二次函数最多有一个极值点，故先分析的部分；时，令，利用参变分离将变形为，构造新函数，判断的单调性，得出结论：最多仅有两解，因此可确定：时有两个极值点，时有一个极值点. 时，利用与有两个交点时(数形结合)，对应求出的范围；时，利用二次函数的对称轴进行分析可求出的另一个范围，两者综合即可.‎ ‎【详解】由题可知，当时，令，可化为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当，即时，有两个不同的解；当，令，，解得，综上，.‎ ‎【点睛】分析极值点个数的时候，可转化为导函数为零时方程解的个数问题，这里需要注意：并不是导数值为零就一定是极值点，还需要在该点左右两侧导数值符号相异.‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11.复数z满足方程，则______．‎ ‎【答案】-1-i ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】解：由1﹣i•z＝i，得iz＝1﹣i，‎ 则z．‎ 故答案为﹣1﹣i．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎12.函数的极小值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，由f’(x)＞0，得增区间，由f’(x)＜0，得减区间，从而可确定极值．‎ ‎【详解】函数，定义域为,则f’(x)＝x-，‎ 由f’(x)＞0得x＞1，f（x）单调递增；‎ 当x＜0或0＜x＜1时，f’(x)＜0，f（x）单调递减，‎ 故x＝1时，f（x）取极小值 故答案为 ‎【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，注意判断极值点的条件，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎13.二项式展开式中的常数项为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合二项展开式的通项公式，计算常数项对应的r的值，代入，计算系数，即可．‎ ‎【详解】该二项展开式的通项公式为，要使得该项为常数项，则要求，解得，所以系数为 ‎【点睛】考查了二项展开式的常数项，关键表示出通项，计算r的值，即可，难度中等．‎ ‎14.已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图像于点，过点作图像的切线交轴于点，则面积的最小值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出f（x）的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．‎ ‎【详解】函数f（x）＝的导数为f′（x），‎ 由题意可令x＝a，解得y，‎ 可得P（a，），‎ 即有切线的斜率为k，‎ 切线的方程为y﹣（x），‎ 令y＝0，可得x＝a﹣1，‎ 即B（ a﹣1，0），‎ 在直角三角形PAB中，|AB|＝1，|AP|，‎ 则△ABP面积为S（a）|AB|•|AP|•，a＞0，‎ 导数S′（a）•，‎ 当a＞1时，S′＞0，S（a）递增；当0＜a＜1时，S′＜0，S（a）递减．‎ 即有a＝1处S取得极小值，且为最小值e．‎ 故答案为e．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎15.设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．‎ ‎【详解】设F（x），‎ 则F′（x），‎ ‎∵，‎ ‎∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．‎ ‎∵‎ ‎∴，即F（x）＜F（2x）‎ ‎∴，即x＞1‎ ‎∴不等式的解为 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．‎ ‎16.某单位安排位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班天，若位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有_______‎ ‎【答案】1008‎ ‎【解析】‎ 分析：本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两元之间有一个排列，丙不排在初一，丁不排在初七，则可以甲乙排初一、初二和初六、初七，丙排初七和不排初七，根据分类原理得到结果.‎ 详解：分两类：‎ 第一类：甲乙相邻排初一、初二或初六、初七，这时先安排甲和乙，有种，然后排丙或丁，有种，剩下的四人全排有种，因此共有种方法；‎ 第二类：甲乙相邻排中间，有种，当丙排在初七，则剩下的四人有种排法，若丙排在中间，则甲有种，初七就从剩下的三人中选一个，有种，剩下三人有种，所以共有种，‎ 故共有种安排方案，故答案为.‎ 点睛：该题考查的是由多个限制条件的排列问题，在解题的过程中，注意相邻问题捆绑法，特殊元素优先考虑的原则，利用分类加法计数原理求得结果.‎ 三、解答题（本大题共3小题，共36分）‎ ‎17.已知函数．若函数在处有极值-4．‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于的方程组，求得后再根据导函数的符号求出单调递减区间．‎ 由求出函数的单调区间，可以数判断函数在上的单调性，求出函数 在上的极值和端点值，通过比较可得的最大值和最小值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ 依题意有即，解得 ‎∴，‎ 由，得，‎ ‎∴函数单调递减区间 由知 ‎∴，‎ 令，解得．‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增．‎ 故可得 又．‎ ‎∴‎ 综上可得函数在上的最大值和最小值分别为和．‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）判断函数的单调性；‎ ‎（2）当在上的最小值是时，求m的值.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导，得=，按两种情况进行讨论单调性即可；‎ ‎（2）由（1）知，按两种情况进行求在上的最小值，，列方程解出即可.‎ ‎【详解】（1）依题意，.‎ 当时，，则在上单调递增； ‎ 当时，由解得，由解得.‎ 故当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. ‎ ‎（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，‎ 故，即，矛盾. ‎ 当时，由（1）得是函数在上的极小值点.‎ ‎①当即时，函数在上单调递增，‎ 则函数的最小值为，即，符合条件. ‎ ‎②当即时，函数在上单调递减，‎ 则函数的最小值为，即，矛盾.‎ ‎③当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数的最小值为，即.‎ 令（），则，‎ ‎∴在上单调递减，而，∴在上没有零点，‎ 即当时，方程无解. ‎ 综上所述：=.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，也考查了利用函数在区间上的最小值求参数的问题，属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（I）若在处取得极值，求过点且与在处的切线平行的直线方程；‎ ‎（II）当函数有两个极值点，且时，总有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求导函数，利用极值点必为f′（x）＝0的根，求出a的值，可得斜率，利用点斜式写出方程即可． ‎ ‎（II）由题意得u（x）＝2x2﹣8x+a＝0在（0，+∞）上有两个不等正根，可得a的范围，利用根与系数的关系将中的a，都用表示，构造函数，对m分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由已知知，，点，所以所求直线方程为． ‎ ‎（Ⅱ）定义域为，令，由有两个极值点 得有两个不等的正根，所以，‎ 所以由知 不等式等价于 ‎，即 ‎ 时，时 令，‎ 当时，，所以在上单调递增，又，‎ 所以时，；时，‎ 所以，不等式不成立 当时,令 ‎(i)方程的即时所以在上单调递减，又，‎ 当时，，不等式成立 当时，，不等式成立 所以时不等式成立 ‎ (ii)当即时，对称轴开口向下且 ‎，令则在上单调递增，又， ，时不等式不成立，综上所述，则 ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎ ‎