淄博市2020年中考数学试题及答案

淄博市2020年中考数学试题及答案

试卷类型：A 淄博市 2020 年初中学业水平考试 数 学 试 题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 8页，满分 120分，考试时间 120分钟。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必用 0．5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在 答 题卡和试卷规定位置，并核对条形码． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．非选择题必须用 0．5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指 定 区域内如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修 正带修改，不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。 5．评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效。 选择题 共 48分 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．若实数 a的相反数是﹣2，则 a等于 A．2 B．﹣2 C． 1 2 D．0 2．下列图形中，不是轴对称图形的是 A． B． C． D． 3．李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了 本校 10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5， 5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是 A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，6 4．如图，在四边形 ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于 A．30° B．35° C．40° D．45° 5．下列运算正确的是 A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．（a2）3＝a5 6．已知 sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角 A时（在开机状态下），按下的第一个键是 A． B． C． D． 7．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是 A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 8．化简 + 的结果是 A．a+b B．a﹣b C． D． 9．如图，在直角坐标系中，以坐标原点 O（0，0），A（0，4）， B（3，0）为顶点的 Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分 线相交于点 P，且点 P恰好在反比例函数 y＝ 的图象上，则 k的值为 A．36 B．48 C．49 D．64 10．如图，放置在直线 l上的扇形 OAB．由图 ①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到 图③．若半径 OA＝2，∠AOB＝45°，则点 O 所经过的最短路径的长是 A．2π+2 B．3π C． D． +2 11．如图 1，点 P从△ABC的顶 点 B出发，沿 B→C→A匀速 运动到点 A，图 2是点 P运动 时，线段 BP的长度 y随时间 x变化的关系图象，其中 M是 曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是 A．12 B．24 C．36 D．48 12．如图，在△ABC中，AD，BE分别是 BC，AC边上的中线，且 AD⊥BE，垂足为点 F，设 BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系 式中成立的是 A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2 非选择题 共 72 分 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。请直接填写最后结果。 13．计算： + ＝ ． 14．如图，将△ABC沿 BC方向平移至△DEF处．若 EC＝2BE＝2，则 CF的长为 ． 15．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+2m＝0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围 是 ． 16．如图，矩形纸片 ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边 CD上一点．将△BCE沿 BE所在的直 线折叠，点 C恰好落在 AD边上的点 F处，过点 F作 FM⊥BE，垂足为点 M，取 AF的中点 N， 连接 MN，则 MN＝ cm． 17．某快递公司在甲地和乙地之间共设有 29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲 站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各 1个，又 要装上该站发往后面各站的货包各 1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 个． 三、解答题：本大题共 7 个小题，共 52 分。解答要写出必要的文字说明证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分 5分） 解方程组： 19.（本小题满分 5分） 已知：如图，E是▱ ABCD的边 BC延长线上的一点，且 CE＝BC． 求证：△ABC≌△DCE． 20.（本小题满分 8分） 某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航； D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本 人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 人； （2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整； （3）最关注话题扇形统计图中的 a＝ ，话题 D所在扇形的圆心角是 度； （4）假设这个小区居民共有 10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大 约有多少？ 21.（本小题满分 8分） 如图，在直角坐标系中，直线 y1＝ax+b与双曲线 y2＝ （k≠0）分别相交于第二、四象限内的 A（m，4），B（6， n）两点，与 x轴相交于 C点．已知 OC＝3，tan∠ACO＝ ． （1）求 y1，y2对应的函数表达式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出当 x＜0时，不等式 ax+b＞ 的解集． 22.（本小题满分 8分） 如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线 A→C→B方可到达．当 地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从 A地到景区 B的笔直公路．请 结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米， 2 ≈1.4， 3 ≈1.7等数据信息，解答下列问题： （1）公路修建后，从 A地到景区 B旅游可以少走多少千米？ （2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的 工效比原计划增加 25%，结果提前 50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？ 23.（本小题满分 9分） 如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交 BC边于点 E，交⊙O于点 D，过点 A作 AF⊥BC 于点 F，设⊙O的半径为 R，AF＝h． （1）过点 D作直线 MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线； （2）求证：AB•AC＝2R•h； （3）设∠BAC＝2α，求 的值（用含α的代数式表示）． 24.（本小题满分 9分） 如图，在直角坐标系中，四边形 OABC是平行四边形，经过 A（﹣2，0），B，C三点的抛物线 y ＝ax2+bx+ （a＜0）与 x轴的另一个交点为 D，其顶点为 M，对称轴与 x轴交于点 E． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）已知 R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱ OABC的面积的 ，求点 R的坐标； （3）已知 P是抛物线对称轴上的点，满足在直线 MD上存在唯一的点 Q，使得∠PQE＝45°， 求点 P的坐标． 参考答案和解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C C B D B B A C D A 1．【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出 a的值． 【解答】解：∵2的相反数是﹣2，∴a＝2．故选：A． 【点评】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念． 2．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后 可重合． 3．【分析】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可． 【解答】解：这组数据 4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是 5，因此众数是 5，将这组数据从小到大排列后，处在第 5、6位的两个数都是 5，因此中位数是 5． 故选：C． 【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前 提，掌握计算方法是解决问题的关键． 4．【分析】由 AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB ＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°． 【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°， 又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°， ∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是 解答本题的关键． 5．【分析】A．根据合并同类项的定义即可判断； B．根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断； C．根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断； D．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断． 【解答】解：A．a2+a3≠a5，所以 A选项错误；B．a2•a3＝a5，所以 B选项正确； C．a3÷a2＝a，所以 C选项错误；D．（a2）3＝a6，所以 D选项错误； 故选：B． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，解决本题的 关键是综合掌握以上知识． 6．【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论． 【解答】解：∵已知 sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角 A时（在开机状态下）的按键顺序 是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是 2ndF． 故选：D． 【点评】本题考查了计算器﹣三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器． 7．【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE．故 A，C，D选项错误，B选项正确， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 8．【分析】跟据同分母分式相加减的运算法则计算．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝a﹣b． 故选：B． 【点评】本题主要考查了分式的加减，熟记运算法则是解答本题的关键． 9．【分析】过 P分别作 AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为 C、D、E，如图，利用勾股定理计算 出 AB＝5，根据角平分线的性质得 PE＝PC＝PD，设 P（t，t），利用面积的和差得到 1 2 ×t×（t ﹣4）+ 1 2 ×5×t+ 1 2 ×t×（t﹣3）+ 1 2 ×3×4＝t×t，求出 t得到 P点坐标，然后把 P点坐标代入 y＝ k x 中求出 k的值． 【解答】解：过 P分别作 AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为 C、D、E，如图， ∵A（0，4），B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝ ＝5， ∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点 P， ∴PE＝PC，PD＝PC， ∴PE＝PC＝PD， 设 P（t，t），则 PC＝t， ∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S 矩形 PEOD， ∴ ×t×（t﹣4）+ ×5×t+ ×t×（t﹣3）+ ×3×4＝t×t， 解得 t＝6，∴P（6，6）， 把 P（6，6）代入 y＝ 得 k＝6×6＝36． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析 式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式． 10．【分析】利用弧长公式计算即可． 【解答】解：如图， 点 O的运动路径的长＝ 的长+O1O2+ 的长＝ + + ＝ ， 故选：C． 【点评】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问 题，属于中考常考题型． 11．【分析】由图 2知，AB＝BC＝10，当 BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为 8（即此时 BP＝8），即可求解． 【解答】解：由图 2知，AB＝BC＝10，当 BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的 高为 8（即此时 BP＝8），当 y＝8 时，PC＝ ＝ ＝6，△ABC 的面积＝ ×AC×BP＝ ×8×12＝48， 故选：D． 【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识 点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的 完整运动过程． 12．【分析】设 EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得 AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理 得到 4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝ b2，x2+4y2＝ a2，然后利用加减消元法消去 x、y得到 a、b、c 的关系． 【解答】解：设 EF＝x，DF＝y， ∵AD，BE分别是 BC，AC边上的中线， ∴点 F为△ABC的重心，AF＝ AC＝ b，BD＝ a， ∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x， ∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°， 在 Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，① 在 Rt△AEF中，4x2+y2＝ b2，② 在 Rt△BFD中，x2+4y2＝ a2，③ ②+③得 5x2+5y2＝ （a2+b2），∴4x2+4y2＝ （a2+b2），④ ①﹣④得 c2﹣ （a2+b2）＝0，即 a2+b2＝5c2． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1．也 考查了勾股定理． 二、填空题 题号 13 14 15 16 17 答案 2 1 m＜ 5 210 13．【分析】分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可． 【解答】解： + ＝﹣2+4＝2． 故答案为：2 【点评】本题考查了立方根与算术平方根，记熟立方根与二次根式的性质是解答本题的关键． 14．【分析】利用平移的性质得到 BE＝CF，再用 EC＝2BE＝2得到 BE的长，从而得到 CF的长． 【解答】解：∵△ABC沿 BC方向平移至△DEF处． ∴BE＝CF， ∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1． 故答案为 1． 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形， 新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后 得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 15．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于 m的不等式， 求出 m的取值范围． 【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得 m＜ ， 故答案为 m＜ ． 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的 实数根；②△＝0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根． 16．【分析】连接 AC，FC，求出 AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可． 【解答】解：连接 AC，FC． 由翻折的性质可知，BE垂直平分线段 CF， ∴FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC， ∵AN＝FN，∴MN＝ AC， ∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°， ∴AC＝ ＝ ＝10（cm），∴MN＝ AC＝5（cm）， 故答案为 5． 【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型． 17．【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式， 再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站． 【解答】解：当一辆快递货车停靠在第 x个服务驿站时， 快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个， 还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个． 根据题意，完成下表： 服务驿站序号 在第 x服务驿站启程时快递货车货包总数 1 n﹣1 2 （n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2） 3 2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3） 4 3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4） 5 4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5） … … n 0 由上表可得 y＝x（n﹣x）．当 n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25， 当 x＝14或 15时，y取得最大值 210． 答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 210个． 故答案为：210． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数 的最值在 x＝﹣ 时取得． 三、解答题： 18.（本题满分 5 分） 解： ， ①+②，得：5x＝10，解得x＝2， 把x＝2代入①，得：6+ y＝8，解得y＝4， 所以原方程组的解为 ． 【分析】利用加减消元法解答即可． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减 消元法． 19.（本题满分 5 分） 证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠B＝∠DCE， 在△ABC和△DCE中， ∴△ABC≌△DCE（SAS）． 【分析】由平行四边形的性质得出 AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由 SAS 即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识； 【点评】熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 20.（本题满分 8 分） 解：（1）200 （2）如图 （3）25，36 （4）10000×30%＝3000（人）， 答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有 3000人． 【解析】 （1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人）， （2）选 C的有：200×15%＝30（人），选 A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人）， （3）a%＝50÷200×100%＝25%，话题 D所在扇形的圆心角是：360°× ＝36°， （4）10000×30%＝3000（人）， 答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有 3000人． 【分析】（1）根据选择 B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；（2）根据（1） 中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择 A和 C的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据，可以得到 a和话题 D所在扇形的圆心角的度数；（4）根据题意和统计 图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利 用数形结合的思想解答． 21.（本题满分 8 分） 解：（1）设直线 y1＝ax+b与 y轴交于点 D， 在 Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝ ． ∴OD＝2，即点 D（0，2）， 把点 D（0，2），C（0，3）代入直线 y1＝ax+b得， b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣ ， ∴直线的关系式为 y1＝﹣ x+2； 把 A（m，4），B（6，n）代入 y1＝﹣ x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2， ∴A（﹣3，4），B（6，﹣2）， ∴k＝﹣3×4＝﹣12， ∴反比例函数的关系式为 y2＝﹣ ，因此 y1＝﹣ x+2，y2＝﹣ ； （2）由 S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝ ×3×4+ ×3×2＝9． （3）由图象可知，当 x＜0时，不等式 ax+b＞ 的解集为 x＜﹣3． 【分析】（1）根据 OC＝3，tan∠ACO＝ ，可求直线与 y轴的交点坐标，进而求出点 A、B的坐 标，确定两个函数的关系式； （2）由 S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可； （3）由函数的图象直接可以得出，当 x＜0时，不等式 ax+b＞ 的解集． 【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与 坐标的相互转化是解决问题的关键． 22.（本题满分 8 分） 解：（1）过点 C作 AB的垂线 CD，垂足为 D， 在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝ CD BC ，BC＝1000千米， ∴CD＝BC•sin30°＝100× ＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100× ＝50 （千米）， 在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝ ＝50 （千米）， ∴AB＝50+50 （千米）， ∴AC+BC﹣AB＝50 +100﹣（50+50 ）＝50+50 ﹣50 ≈35（千米）． 答：从 A地到景区 B旅游可以少走 35千米； （2）设施工队原计划每天修建 x千米， 依题意有， ﹣ ＝50， 解得 x＝0.14，经检验 x＝0.14是原分式方程的解． 答：施工队原计划每天修建 0.14千米． 【分析】（1）过点 C作 AB的垂线 CD，垂足为 D，在直角△BCD中，解直角三角形求出 CD的长 度和 BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出 AD的长度和 AC的长度，再求出 AB的长 度，进而求出从 A地到景区 B旅游可以少走多少千米； （2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求 出结果，最后检验并作答． 【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可 以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．同时考查了分式方程的应用，解题的关 键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解 出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验． 23.（本题满分 9 分） 解：（1）证明：如图 1，连接 OD， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴ ＝ ， 又∵OD是半径，∴OD⊥BC， ∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线； （2）证明：如图 2，连接 AO并延长交⊙O于 H， ∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC， 又∵∠AHB＝∠ACF， ∴△ACF∽△AHB， ∴ AC AF AH AB  ， ∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h； （3）如图 3，过点 D作 DQ⊥AB于 Q，DP⊥AC，交 AC 延长线于 P，连接 CD， ∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴ ＝ ，∴BD＝CD， ∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP， ∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP， ∵DQ＝DP，AD＝AD， ∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP， ∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ， ∵cos∠BAD＝ AQ AD ，∴AD＝ cos AQ  ，∴ AB AC AD  ＝ 2 cos AQ AQ  ＝2cosα． 【分析】（1）连接 OD，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得 ＝ ，由垂径定理可得 OD⊥BC，可证 OD⊥MN，可得结论；（2）连接 AO并延长交⊙O于 H，通过证明△ACF∽△AHB， 可得 AC AF AH AB  ，可得结论；（3）由“HL”可证 Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得 BQ＝CP，AQ＝AP，可得 AB+AC＝2AQ，由锐角三角函数可得 AD＝ cos AQ  ，即可求解． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质， 相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键． 24.（本题满分 9 分） 解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为 x＝1，则 x＝﹣ ＝1①， 将点 A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+ ②， 联立①②并解得 ，故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+ ③； （2）由抛物线的表达式得，点 M（1，3）、点 D（4，0）； ∵△ADR的面积是▱ OABC的面积的 ， ∴ ×AD×|yR|＝ ×OA×OB，则 ×6×|yR|＝ ×2× ，解得：yR＝± ④， 联立④③并解得， 或 故点 R的坐标为（1+ ，4）或（1﹣ ，4）或（1+ ，﹣4）或（1﹣ ，﹣4）； （3）作△PEQ的外接圆 R， ∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°， 则△PRE为等腰直角三角形， 当直线 MD上存在唯一的点 Q，则 RQ⊥MD， 点 M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0）， 则 ME＝4，ED＝4﹣1＝3，则 MD＝5， 过点 R作 RH⊥ME于点 H， 设点 P（1，2m），则 PH＝HE＝HR＝m，则圆 R的半径为 m，则点 R（1+m，m）， S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即 ×EM•ED＝ ×MD×RQ+ ×ED•yR+ ×ME•RH， ∴ ×4×3＝ ×5× m+ ×4×m+ ×3×m，解得 m＝60 ﹣84，故点 P（1，120 ﹣168）． 【分析】（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣ ＝1①，将点A的坐标代入抛物线 表达式得：0＝4a﹣2b+ ②，联立①②即可求解；（2）△ADR的面积是▱OABC的面积的 ，则 ×AD×|yR|＝ ×OA×OB，则 ×6×|yR|＝ ×2× ，即可求解； （3）∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的点Q， 则RQ⊥MD，即可求解． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算 等，综合性强，难度较大．