2017-2018学年安徽省蚌埠铁中高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年安徽省蚌埠铁中高二上学期期中考试数学（理）试题

蚌埠铁中 2017—2018 学年度第一学期期中检测试卷 高 二 数 学（理） 考试时间：120 分钟 试卷分值：150 分 一．选择题（60 分） 1．“点 P 在直线 m 上，m 在平面 α 内”可表示为(　　) A．P∈m，m∈α　　B．P∈m，m⊂α C．P⊂m，m∈α D．P⊂m，m⊂α 2．某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的 面积是(　　) A．2　　　B．2 2 C． 3 D．2 3 3．若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α 内， l2 在平面 β 内，l 是平面 α 与平面 β 的交线， 则下列命题正确的是(　　) A．l 与 l1，l2 都不相交 B．l 与 l1，l2 都相交 C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2 中 的一条相交 4．下列命题中，真命题的个数为(　　) ①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； ④若 M∈α，M∈β，α∩β＝l，则 M∈l． A．1 B．2 C．3 D．4 5. 若直线 a⊥b，且直线 a∥平面 α，则直线 b 与平面 α 的位置关系是(　　) A．b⊂α 　B．b∥α C．b⊂α 或 b∥α D．b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α 6．如果直线 a∥平面 α，那么直线 a 与平面 α 内的(　　) A．一条直线不相交　　　B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交 7．设 a，b 是夹角为 30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且 α⊥β ” 的平面 α，β(　　) A．不存在 B．有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对 8．直线 l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0 的斜率是(　　) A． 3 3 　　　　B． 3 C．－ 3 D．－ 3 3 9．若直线 l：y＝kx＋1(k＜0)与圆 C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0 相切，则直线 l 与圆 D：(x －2)2＋y2＝3 的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 10．若直线 x－2y＋b＝0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值范围 是(　　) A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞) 11．已知直线 l 过点(1,0)，且倾斜角为直线 l0：x－2y－2＝0 的倾斜角的 2 倍， 则直线 l 的方程为(　　) A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0 C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0 12．已知 AC，BD 为圆 O：x2＋y2＝4 的两条互相垂直的弦，且垂足为 M(1， 2)，则四边 形 ABCD 面积的最大值为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 二．填空题（20 分） 13．正三棱柱 ABC­A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3， D 为 BC 中点，则三棱锥 A­B1DC1 的体积为________． 14．如图，直三棱柱 ABC ­A1B1C1 中，侧棱长为 2，AC＝BC＝1， ∠ACB＝90°，D 是 A1B1 的中点，F 是 BB1 上的动点，AB1，DF 交于点 E． 要使 AB1⊥平面 C1DF，则线段 B1F 的长为________． 15.若过两点 A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为 12，则 m＝________． 16. 当方程 x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0 所表示的圆的面积取最大值时，直线 y＝(k－1)x＋2 的倾斜角 α＝________． 三．解答题（70 分） 17（12 分）如图，四棱锥 P­ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， F 是 AB 的中 点，E 是 PD 的中点． (1)证明：PB∥平面 AEC； (2)在 PC 上求一点 G，使 FG∥平面 AEC，并证明你的结论． 18（12 分）如图，S 是 Rt△ABC 所在平面外一点， 且 SA＝SB＝SC．D 为斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC． 19（12 分）如图，在三棱锥 A­BCD 中，CD⊥BD， AB＝AD，E 为 BC 的中点． (1)求证：AE⊥BD； (2)设平面 ABD⊥平面 BCD，AD＝CD＝2，BC＝4， 求三棱锥 D­ABC 的体积． 20（12 分）已知 M(m，n)为圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0 上任意一点． (1)求 m＋2n 的最大值； (2)求 n－3 m＋2的最大值和最小值． 21(12 分)已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a). (1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切，求实数 a 的值，并求出切线方程； (2)若 a= ，过点 M 的圆的两条弦 AC、BD 互相垂直，求 AC+BD 的最大值. 2 22（10 分）已知直线 l：4x＋3y＋10＝0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且 在直线 l 的右上方． (1)求圆 C 的方程； (2)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存 在定点 N，使得 x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理 由． 蚌埠铁中 2017-2018 学年度第一学期其中检测试卷 高二数学（理）参考答案 一．选择题（60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B D D B D D D A A C D A 二．填空题（20 分） 13. 1 14. 1 2 15. －2 16. 3π 4 三．解答题（70 分） 17.解：(1)证明：连接 BD，设 BD 与 AC 的交点为 O，连接 EO． 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点． 又 E 为 PD 的中点，所以 EO∥PB． 因为 EO⊂平面 AEC，PB⊄平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC． (2)PC 的中点 G 即为所求的点．证明如下： 连接 GE，FG，∵E 为 PD 的中点，∴GE∥ 1 2CD． 又 F 为 AB 的中点，且四边形 ABCD 为矩形， ∴FA∥ 1 2CD．∴FA∥GE．∴四边形 AFGE 为平行四边形，∴FG∥ AE． 又 FG⊄平面 AEC，AE⊂平面 AEC，∴FG∥平面 AEC． 18.证明：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE， 在 Rt△ABC 中，D，E 分别为 AC，AB 的中点． ∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB． 又 SE∩DE＝E，∴AB⊥平面 SDE． 又 SD⊂平面 SDE，∴AB⊥SD． 在△SAC 中，SA＝SC，D 为 AC 的中点，∴SD⊥AC． 又 AC∩AB＝A，∴SD⊥平面 ABC． (2)由于 AB＝BC，则 BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥平面 ABC，又 BD⊂平面 ABC， ∴SD⊥BD， 又 SD∩AC＝D，∴BD⊥平面 SAC． 19.解：(1)证明：设 BD 的中点为 O，连接 AO，EO，∵AB＝AD，∴ AO ⊥BD． 又 E 为 BC 的中点，∴EO∥CD．∵CD⊥BD，∴EO⊥BD． 又 OA∩OE＝O，∴BD⊥平面 AOE．又 AE⊂平面 AOE，∴AE⊥BD． (2)由已知得三棱锥 D­ABC 与 C­ABD 的体积相等． ∵CD⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，∴CD⊥平面 ABD，BD＝ BC2－CD2＝2 3． 由已知得 S△ABD＝ 1 2×BD× AD2－ BD2 4 ＝ 3． ∴三棱锥 C­ABD 的体积 VC­ABD＝ 1 3×CD×S△ABD＝ 2 3 3 ． ∴三棱锥 D­ABC 的体积为 2 3 3 ． 20. 解：(1)因为 x2＋y2－4x－14y＋45＝0 的圆心 C(2,7)，半径 r＝2 2， 设 m＋2n＝t，将 m＋2n＝t 看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离 d＝ |2＋2 × 7－t| 12＋22 ≤2 2， 解上式得，16－2 10≤t≤16＋2 10，所以所求的最大值为 16＋2 10． (2)记点 Q(－2,3)，因为 n－3 m＋2表示直线 MQ 的斜率 k， 所以直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋3＝0． 由直线 MQ 与圆 C 有公共点，得 |2k－7＋2k＋3| 1＋k2 ≤2 2． 可得 2－ 3≤k≤2＋ 3，所以 n－3 m＋2的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3． 21 解： (1)由条件知点 M 在圆 O 上，所以 1+a2=4,则 a=± . 当 a= 时，点 M 为(1, )，kOM= ,k 切=- ，此时切线方 程为 y- =- (x-1).即 x+ y-4=0.当 a=- 时，点 M 为 (1,- )，kOM=- ，k 切= .此时切线方程为 y+ = (x-1).即 x- y-4=0.所以所求的切线方程为 x+ y-4=0 或 x- y-4=0. (2)设 O 到直线 AC、BD 的距离分别为 d1,d2(d1,d2≥0)，则 d12+d22=OM2=3.于是 AC=2 , BD=2 . 所以 AC+BD=2 +2 . 则(AC+BD)2=4(4-d12+4-d22+2 ) 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 14 d− 2 24 d− 2 14 d− 3 3 2 24 d− 2 24 d−2 14 d− =4(5+2 )=4(5+2 ). 因为 2d1d2≤d12+d22=3,所以 d12d22≤ ，当且仅当 d12=d22= 时 取等号，所以 ≤ .所以 (AC+BD)2≤4×(5+2× )=40.所以 AC+BD≤2 ，即 AC+BD 的 最大值为 2 . 22.解：(1)设圆心 C(a,0)(a＞－ 5 2)，则 |4a＋10| 5 ＝2， 解得 a＝0 或 a＝－5(舍)．所以圆 C：x2＋y2＝4． (2)如图，当直线 AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB． 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 由Error!得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 所以 x1＋x2＝ 2k2 k2＋1，x1x2＝ k2－4 k2＋1． 若 x 轴平分∠ANB， 则 kAN＝－kBN⇒ y1 x1－t＋ y2 x2－t＝0⇒ kx1－1 x1－t ＋ kx2－1 x2－t ＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋ 2t＝0⇒ 2k2－4 k2＋1 － 2k2t＋1 k2＋1 ＋2t＝0⇒t＝4， 所以当点 N 为(4,0)时， 能使得∠ANM＝∠BNM 总成立． 9 4 3 2 5 2 5 2 10 10 2 2 1 24 d d+ 2 2 1 24 d d+