专题9-5 椭圆（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

专题9-5 椭圆（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第九章 解析几何 第五节 椭圆 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 椭圆 ‎（1）掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.‎ ‎（2）会解决直线与椭圆的位置关系的问题.‎ ‎（3）了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.‎ ‎（4）理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想。了解圆锥曲线的简单应用.‎ ‎2013•浙江理9,21; ‎ ‎2014•浙江理21;‎ ‎2015•浙江文15；理19;‎ ‎2016•浙江理7,19；‎ ‎2017•浙江2.‎ ‎1.考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合；‎ ‎2.考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；3.考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；‎ ‎4.考查直线与椭圆的位置关系问题.‎ ‎5.圆锥曲线的综合问题.‎ ‎6.备考重点：‎ ‎ (1)掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质，关注椭圆的“特征三角形”；‎ ‎（2）熟练运用方程思想及待定系数法；‎ ‎（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1.椭圆的定义及其应用 ‎1.椭圆的概念 ‎(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F‎1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距．‎ ‎(2)代数式形式：集合 ‎①若，则集合P为椭圆；‎ ‎②若，则集合P为线段；‎ ‎③若，则集合P为空集．‎ ‎2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，‎ 对点练习：‎ ‎【2018届云南省师范大学附属中学高三适应性月考卷（二）】点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎2.椭圆的标准方程 ‎1. 椭圆的标准方程：‎ ‎（1）焦点在轴，；‎ ‎（2）焦点在轴，.‎ ‎2．满足条件： 对点练习：‎ ‎【2018届广西柳州市高三上摸底】已知焦点在轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3.椭圆的几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质 条件 图形 标准方程 范围 对称性 曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点 长轴顶点 ,轴顶点 焦点 焦距 离心率 ，其中 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 对点练习：‎ ‎【2017浙江，2】椭圆的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎4.直线与椭圆的位置关系 ‎1.直线与椭圆位置关系的判断 ‎(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．‎ ‎(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．‎ ‎2．直线与椭圆的相交长问题：‎ ‎（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．‎ ‎（2）弦中点问题，适用“点差法”.‎ 对点练习：‎ ‎【2017课标1，文12】设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎【答案】A ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 椭圆的定义及其应用 ‎【1-1】【2018届河南省驻马店市正阳县第二高级中学高三上开学】以的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的焦点为，顶点为，双曲线的顶点为焦点，长半轴长为的椭圆中，，椭圆的方程为，故选D.‎ ‎【1-2】【河北省定州中学2017届高三上学期周练】已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则____________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由知，则由题意，得，可得，‎ 即，所以,应填.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．‎ ‎2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【变式二】【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟】如图，为圆上的动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点．‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）记动点的轨迹为曲线 ，设圆的切线交曲线于两点，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2）①当切线垂直坐标轴时，；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎②当切线不垂直坐标轴时，设切线的方程：，点，由直线和圆相切，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由得，，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 又∵，‎ 令，则，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ ‎∴，‎ 综上，的最大值为．‎ ‎【综合点评】‎ 应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF‎1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．‎ ‎(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.‎ 考点2 椭圆的标准方程 ‎【2-1】已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【2-2】求满足下列各条件的椭圆的标准方程：‎ ‎(1)长轴是短轴的3倍且经过点；‎ ‎(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；‎ ‎【答案】　(1) 或　(2) ，或　‎ ‎∴.∴方程为.‎ 若焦点在y轴上，设方程为．‎ ‎∵椭圆过点，∴，‎ 又，∴，∴方程为.‎ 综上所述，椭圆方程为或.‎ ‎(2)由已知，有，解得，‎ 从而，∴所求椭圆方程为，或.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1．求椭圆标准方程的方法 求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．‎ 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 (A＞0，B＞0且A≠B)，这种形式在解题中更简便．‎ ‎2．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系，并能熟练地应用．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】求经过点两点的椭圆标准方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【变式二】求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】法一：∵，‎ 设所求椭圆方程为，则，从而，‎ 又，‎ ‎∴方程为.‎ 若焦点在轴上，设方程为 则，且，‎ 解得.故所求方程为.‎ 法二：若焦点在轴上，设所求椭圆方程为 ‎，将点代入，得 ‎，‎ 故所求方程为.‎ 若焦点在轴上，设方程为代入点，得，∴.‎ 综上知，所求椭圆的标准方程为或.‎ ‎【综合点评】　‎ ‎1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：‎ ‎(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．‎ ‎(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ．‎ ‎(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．‎ ‎(4)求解，得方程．‎ ‎2．(1)方程与有相同的离心率．‎ ‎(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．‎ 考点3 椭圆的几何性质 ‎【3-1】【2018届浙江省温州市高三9月测试】正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【3-2】【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，因此 ‎【领悟技法】‎ ‎1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题；‎ ‎2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】椭设是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点， （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【变式二】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.‎ ‎(1)求椭圆离心率的范围；‎ ‎(2)求证：的面积只与椭圆的短轴长有关．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎（2）由（1）知，所以的面积为即的面积只与椭圆的短轴长有关．‎ ‎【综合点评】‎ ‎1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：‎ ‎(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．‎ ‎(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．‎ ‎(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF‎1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．‎ ‎(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.‎ ‎2．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．‎ 考点4 直线与椭圆的位置关系 ‎【4-1】【2017北京，文19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析.‎ 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为.‎ 由题意得解得.‎ 所以.‎ 所以椭圆的方程为.‎ 由点在椭圆上，得.‎ 所以.‎ 又，‎ ，‎ 所以与的面积之比为.‎ ‎【4-2】【2017课标II，文20】设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点在直线上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F. ‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎（2）由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则 ‎，‎ ‎.‎ 由得，又由（1）知，故 .‎ 所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F ‎【领悟技法】‎ ‎1.涉及直线与椭圆的基本题型有：‎ ‎（1）位置关系的判断 ‎（2）弦长、弦中点问题 ‎（3）轨迹问题 ‎（4）定值、最值及参数范围问题 ‎（5）存在性问题 ‎2．常用思想方法和技巧有：‎ ‎（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系 ‎3. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系中,椭圆 的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c. ‎ 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，， ‎ 解得，于是， ‎ 因此椭圆E的标准方程是.‎ 由①②，解得，所以.‎ 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.‎ 又在椭圆E上，故.‎ 由，解得；，无解.‎ 因此点P的坐标为.‎ ‎【变式二】【2016高考天津理数】设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知 ‎，其中 为原点，为椭圆的离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.‎ 解得，或，由题意得，从而.‎ 由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.‎ 设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解 得或.‎ 所以，直线的斜率的取值范围为.‎ ‎【综合点评】‎ ‎1.涉及直线与椭圆的基本题型有：‎ ‎（1）位置关系的判断 ‎（2）弦长、弦中点问题 ‎（3）轨迹问题 ‎（4）定值、最值及参数范围问题 ‎（5）存在性问题 ‎2．常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：已知椭圆的一个焦点为，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.‎ 易错分析：研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解．‎ ‎（2）①设从点所引的直线的方程为，即，‎ 当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，‎ 将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，‎ ‎，‎ 化简得，即，‎ 则、是关于的一元二次方程的两根，则，‎ 化简得；‎ ‎②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.‎ 综上所述，点的轨迹方程为.‎ 温馨提醒：(1)研究直线与圆锥曲线位置关系问题，要特别注意运用数形结合思想；(2)在解答此类问题时，要注意直线斜率是否存在，分类讨论，避免漏解.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 化整为零，积零为整——分类讨论思想 ‎1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．‎ ‎2.分类讨论思想的常见类型 ‎ ‎⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ‎ ‎⑵问题中的条件是分类给出的； ‎ ‎⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ‎ ‎⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.‎ ‎【典例】【河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试（一）】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若是椭圆的左顶点，经过左焦点的直线与椭圆交于，两点，求与的 面积之差的绝对值的最大值.（为坐标原点）‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎（Ⅱ）解法一：设的面积为，的面积为.‎ 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时不妨设，，且，面积相等，.………………………………………………………………………………………（6分）‎ 当直线斜率存在时，设直线方程为，设，，‎ 和椭圆方程联立得，消掉得.………………………（7分）‎ 显然，方程有根，且.……………………………………………………………（8分）‎ 此时.‎ 因为，所以上式（时等号成立）.‎ 所以的最大值为.……………………………………………………………………………（12分）‎ 解法二：设直线的方程为，与椭圆方程联立得：.‎ ‎…………………………………………………………………………………………………………………（6‎ 分）‎ ‎∴，………………………………………………………………………………………（8分）‎ ‎∴，‎ 当时，.‎ 当时，（当且仅当时等号成立）.‎ 所以的最大值为.……………………………………………………………………………（12分）‎ ‎ ‎