2018-2019学年福建省福州市长乐高中、城关中学、文笔中学高二上学期期末联考数学(理)试题(解析版)

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2018-2019学年福建省福州市长乐高中、城关中学、文笔中学高二上学期期末联考数学(理)试题(解析版)

‎2018-2019学年福建省福州市长乐高中、城关中学、文笔中学高二上学期期末联考数学(理)试题 一、单选题 ‎1.如果,则下列不等式成立的是()‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据a、b的范围,取特殊值带入判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解:∵a<b<0,‎ 不妨令a=﹣2,b=﹣1,‎ 显然A、B、C不成立,D成立,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的性质,考查特殊值法的应用,是一道基础题.‎ ‎2.“”是“”成立的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由 ,解得 ,所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.‎ ‎3.抛物线y2= 2x的准线方程是( )‎ A.y= B.y=- C.x= D.x=-‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析:由题意所以其准线方程为 ‎【考点】抛物线的标准方程.‎ ‎4.空间四边形 OABC中,=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,根据向量的加法、减法法则,把进行化简即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解:根据向量的加法、减法法则,得 ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考点是空间向量的加减法,解题的关键是根据向量的加法、减法法则进行化简,属于基础题.‎ ‎5.命题“a ,b 都是偶数,则 a 与 b 的和是偶数”的逆否命题是( )‎ A.a 与 b 的和是偶数,则 a, b 都是偶数 B.a 与 b 的和不是偶数,则 a, b 都不是偶数 C.a, b 不都是偶数,则 a 与 b 的和不是偶数 D.a 与 b 的和不是偶数,则 a, b 不都是偶数 ‎【答案】D ‎【解析】根据原命题和它的逆否命题的概念即可找出原命题的逆否命题.‎ ‎【详解】‎ 原命题的逆否命题为:‎ a与b的和不是偶数,则a,b不都是偶数.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题,关键在于明确四种命题之间的相互转化,属于简单题.‎ ‎6.等差数列的前项和为,且,则公差等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,得,则,又因为,所以公差为 ‎;故选A.‎ 点睛:在处理等差数列的前项和时,灵活利用等差数列的常见性质进行处理,可减少计算量,通过解题速度,如:若 ,则.‎ ‎7.双曲线的焦点到其渐近线的距离为( )‎ A.1 B. C.2 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据双曲线的方程得到焦点为,渐近线为: ,根据点到直线的距离得到焦点到渐近线的距离为 ‎ 故答案为:A。‎ ‎8.如图,在四面体ABCD中,,点M在AB上,且,点N是CD的中点,则 =( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知可将分解为,进而由表示,进而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解:点在上,且,点是的中点,‎ ‎ ,,‎ ‎ ,‎ 又 ,‎ ‎ ,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是向量在几何中的应用,向量的线性运算,难度中档.‎ ‎9.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:根据成等比数列,有,又因为,可得,根据余弦定理,有,将,带入有.‎ ‎【考点】等比中项,余弦定理.‎ ‎10.已知,点Q在直线OP上,那么当取得最小值时,点Q的坐标是( )。‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由点在直线上运动,可得存在实数使得,,,利用数量积可得,再利用二次函数的单调性即可得出.‎ ‎【详解】‎ 解:点在直线上运动,存在实数使得,,,‎ ‎ ,.‎ ‎ ‎ ‎,‎ 当且仅当时,上式取得最小值,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性等是解题的关键,属于中档题.‎ ‎11.如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,可得和的坐标,进而可得,从而可得结论.‎ ‎【详解】‎ 以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,‎ 则可得,‎ ‎,‎ 设异面直线与所成的角为,‎ 则,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成的角,属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种:一是向量法,根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后,分别求出两直线的方向向量,再利用空间向量夹角的余弦公式求解;二是传统法,利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角,再利用平面几何性质求解.‎ ‎12.过抛物线的焦F作两条相互垂直的射线,分别与抛物线相交于点M,N,过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线 PQ,垂足为Q,则的最大值为( )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】设,,由抛物线定义,.再由勾股定理可得,进而根据基本不等式,求得的范围,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解:设,.‎ 由抛物线定义,结合梯形中位线定理可得,‎ 由勾股定理得,配方得,‎ ‎,‎ 又,‎ ‎,‎ 得到,‎ ‎ ,‎ 即的最大值为,‎ 故选: C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义和基本不等式的应用及计算能力、分析问题和解决问题的能力,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.命题“”的否定为___________.‎ ‎【答案】∃x0∈R,x03﹣3x0≤0.‎ ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解:命题是全称命题,则命题的否定是特称命题,‎ ‎∴命题“∀x∈R,x3﹣3x>0”的否定为∃x0∈R,x03﹣3x0≤0.‎ 故答案为:∃x0∈R,x03﹣3x0≤0.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键,是基础题.‎ ‎14.已知,则函数的取值范围是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据不等式组得到可行域,将目标函数化为,结合图像可得到最值.‎ ‎【详解】‎ 根据不等式组得到可行域如图,函数化简为函数,截距的相反数的范围即z的范围,由图像得到当目标函数过点(1,1)时有最大值代入得到2,当目标函数过点(-,1)时有最小值代入得到.‎ 故范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 利用线性规划求最值的步骤:‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域.‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.常见的类型有截距型(型)、斜率型(型)和距离型(型).‎ ‎(3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解.‎ ‎(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ ‎15.已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点,且两曲线的交点连线过点F,则该双曲线的离心率________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析:由题意焦点,交点,代入双曲线的方程得 ‎,又 ‎,化简得,,‎ ‎,故答案是.‎ ‎【考点】1、抛物线的应用;2、抛物线的性质.‎ ‎16.方程表示曲线,给出以下命题:‎ ‎①曲线不可能为圆;‎ ‎②若,则曲线为椭圆;‎ ‎③若曲线为双曲线,则或;‎ ‎④若曲线为焦点在轴上的椭圆,则.‎ 其中真命题的序号是_____(写出所有正确命题的序号).‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】试题分析:根据题意,①曲线不可能为圆;若C表示圆,应该满足4-t=t-1>0则t=,错误 ‎②若,则曲线为椭圆;则有,错误 ‎③若曲线为双曲线,则或;(4-k)(k-1)<0即t>4或t<1 故=对 ‎④若曲线为焦点在轴上的椭圆,则.成立,故填写③‎ ‎【考点】圆锥曲线的方程 点评:考查了圆锥曲线的方程的形式,属于基础题。关键是对于方程的表示中分母中参数的范围表示。‎ 三、解答题 ‎17.已知命题在区间上是减函数;‎ 命题q:不等式无解。‎ 若命题“”为真,命题“”为假,求实数m 的取值范围。‎ ‎【答案】[﹣3,1]‎ ‎【解析】如果命题p∨q为真,命题p∧q为假,则命题p,q一真一假,进而可得实数m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解:f(x)=x2+2(m﹣1)x+3的图象是开口朝上,且以直线x=1﹣m为对称轴的抛物线,‎ 若命题p:f(x)=x2+2(m﹣1)x+3在区间(﹣∞,0)上是减函数为真命题,‎ 则1﹣m≥0,即m≤1;‎ 命题q:“不等式x2﹣4x+1﹣m≤0无解”,‎ 则△=16﹣4(1﹣m)<0,即m<﹣3.‎ 如果命题p∨q为真,命题p∧q为假,则命题p,q一真一假,‎ 若p真,q假,则﹣3≤m≤1,‎ 若p假,q真,则不存在满足条件的m值,‎ ‎∴﹣3≤m≤1.‎ ‎∴实数m的取值范围是[﹣3,1].‎ ‎【点睛】‎ 本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了二次函数的图象和性质,复合命题,是中档题.‎ ‎18.在中,角所对的边分别为已知 ‎(1)求角C 的大小;‎ ‎(2)若a=5,b=8,求边c 的长.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)利用正弦定理化简题目所给条件可得;(2)利用余弦定理可求得.‎ 试题解析:(1)由及正弦定理得,‎ 即,‎ ‎,又为三角形的内角,.‎ ‎(2)由余弦定理,得.‎ ‎19.已知等差数列前n项和且关于x的不等式的解集.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意可得为方程的两根,代入方程,结合等差数列的通项公式和求和公式,解得首项和公差,即可得到所求通项公式;(Ⅱ)求得,运用数列的分组求和,结合等比数列的求和公式,即可得到所求和.‎ ‎【详解】‎ 解:(Ⅰ)不等式的解集为,‎ 可得为方程的两根,‎ 即有,‎ 解得,‎ 又,即,可得,‎ 得等差数列的通项公式为;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,‎ 所以数列的前项和 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根与系数的关系,等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查化简变形能力以及运算能力,属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆 的离心率为,短轴长为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)已知过点P(2,1)作弦且弦被P平分,则此弦所在的直线方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析:(1)根据椭圆的性质列方程组解出a,b,c即可; (2)设直线斜率为k,把直线方程代入椭圆方程,根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值,从而求出直线方程.‎ 试题解析:‎ ‎(1),2b=4,所以a=4,b=2,c=,椭圆标准方程为 ‎(2)设以点为中点的弦与椭圆交于,则,分别代入椭圆的方程,两式相减得,所以,所以,由直线的点斜式方程可知,所求直线方程为,即.‎ 点睛:弦中点问题解法一般为设而不求,关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法,列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解;方法二是直接设出斜率k,利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎21.设为抛物线的焦点是抛物线C上的两个动点.‎ ‎(1)若直线 AB 经过焦点F,且斜率为2,求;‎ ‎(2)若直线求点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ). ‎ ‎【解析】试题分析:(1)联立直线和曲线得到二次方程,由弦长公式得到AB长度;(2)用点线距离公式得到,是抛物线上的动点,得,二元化一元,求值域即可。‎ 解析:‎ ‎(Ⅰ)由题意,得,则直线的方程为. ‎ ‎ 由 消去,得. ‎ ‎ 设点,,‎ ‎ 则,且,, ‎ ‎ 所以. ‎ ‎(Ⅱ)设,‎ ‎ 则点到直线距离. ‎ ‎ 由是抛物线上的动点,得, ‎ ‎ 所以, ‎ ‎ 所以当时,.‎ ‎ 即点到直线的距离的最小值. ‎ 点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.‎ ‎22.如图,在底面是正三角形的三棱锥中,D 为PC的中点,,‎ ‎(1)求证:平面 ;‎ ‎(2)求 BD 与平面 ABC 所成角的大小;‎ ‎(3)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)详见解析(2)(3)‎ ‎【解析】(1)推导出,,由此能证明平面.(2)以为原点,为轴,为轴,平面中垂直于的直线为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出与平面所成角.(3)求出平面的法向量和平面的法向量,由此能求出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 证明:(1),,,‎ 底面是正三角形,,‎ ‎,,‎ ‎,,平面,‎ 平面. ‎ ‎(2)以为原点,为轴,为轴,平面中垂直于的直线为轴,‎ 建立空间直角坐标系,‎ 则,0,,,0,,,,,0,, ‎ ‎,. ‎ 平面的法向量为,0,,‎ 记与平面所成的角为,‎ 则, ‎ ‎ ,‎ 与平面所成角为. ‎ ‎(3)设平面的法向量为,,,‎ 则,取,得,2,. ‎ 记二面角的大小为,‎ 则,‎ 二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的证明,考查线面角的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中档题.‎
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