2020届高考数学一轮复习（课时训练·文）第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ12函数模型及其应用

2020届高考数学一轮复习（课时训练·文）第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ12函数模型及其应用

【课时训练】函数模型及其应用 一、选择题 1．(2018 德阳一诊)将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量 符合指数衰减曲线 y＝aent ，假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等．若再过 m min 甲桶中 的水只有 a 4 L，则 m 的值为( ) A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数 y＝f(t)＝aent满足 f(5)＝ae5n＝ 1 2 a， 可得 n＝ 1 5 ln 1 2 ，∴f(t)＝a· 1 2 t 5 ，因此，当 k min 后甲桶中的水只有 a 4 L 时，f(k)＝a· 1 2 k 5 ＝ 1 4 a，即 1 2 k 5 ＝ 1 4 ，∴k＝10，则 m＝k－5＝5. 2．(2018 安徽淮南模拟)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中 水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( ) 【答案】C 【解析】由三视图可知，该容器上部分为圆台下部分是一个与上部分形状相同的倒放的 圆台，所以水面高度随时间的变化为先慢后快再慢的情况．故选 C. 3．(2018 北京西城模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度 (单位 mol/L，记作[H ＋ ])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位 mol/L，记作[OH － ])的乘积等 于常数 10 －14 .已知 pH 值的定义为 pH＝－lg [H ＋ ]，健康人体血液的 pH 值保持在 7.35～7.45 之间，那么健康人体血液中的 [H ＋ ] [OH － ] 可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( ) A． 1 2 B． 1 3 C． 1 6 D． 1 10 【答案】C 【解析】∵[H ＋ ]·[OH － ]＝10 －14 ，∴ [H ＋ ] [OH － ] ＝[H ＋ ] 2 ×10 14 ，∵7.35<－lg [H ＋ ]<7.45， ∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9< [H ＋ ] [OH － ] ＝1014·[H＋]2<10－0.7，10－0.9＝ 1 10 0.9 > 1 10 ，lg(100.7) ＝0.7>lg 3>lg 2，∴10 0.7 >3>2，10 －0.7 < 1 3 < 1 2 ，∴ 1 10 < [H ＋ ] [OH － ] < 1 3 .故选 C. 4．(2018 四川内江模拟)某商店计划投入资金 20 万元经销甲或乙两种商品．已知经销 甲、乙商品所获得的利润分别为 P(万元)和 Q(万元)，且它们与投入资金 x(万元)的关系是： P＝ x 4 ，Q＝ a 2 x(a>0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的 纯利润总不少于 5 万元，则 a的最小值应为( ) A． 5 B．5 C． 2 D．2 【答案】A 【解析】设投入 x 万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，总利润 y＝P＋Q ＝ x 4 ＋ a 2 · 20－x.令 y≥5，则 x 4 ＋ a 2 · 20－x≥5 对 0≤x≤20 恒成立．∴a 20－x≥10－ x 2 ， ∴a≥ 1 2 20－x对 0≤x<20 恒成立．∵f(x)＝ 1 2 20－x的最大值为 5，且 x＝20 时， a 20－x≥10－ x 2 也成立，∴amin＝ 5.故选 A. 二、填空题 5．(2018 山东日照一模)某商店按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件，根据市场预 测，销售价为每件 100 元时可全部售完，定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件．若要获得最 大利润，销售价应定为每件________元． 【答案】190 元 【解析】设售价提高 x元，则依题意 y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2 ＋900x＋20 000 ＝－5(x－90) 2 ＋60 500. 故当 x＝90 时，ymax＝60 500，此时售价为每件 190 元． 6．(2018 浙江台州一模)现有含盐 7%的食盐水 200 g，需将它制成工业生产上需要的含 盐 5%以上且在 6%以下(不含 5%和 6%)的食盐水，设需要加入 4%的食盐水 x g，则 x的取值范 围是________． 【答案】(100,400) 【解析】设 y＝ 200×7%＋x·4% 200＋x ，令 5%＜y＜6%，即(200＋x)5%＜200×7%＋x·4%＜(200 ＋x)6%，解得 100＜x＜400. 7．(2019 陕西宝鸡质检)某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不 超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费； 超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元．现某人乘 坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了________km. 【答案】9 【解析】由已知可得 y＝ 8＋1，08， ＝ 9，08. 由 y＝22.6 解得 x＝9. 8．(2018 湖南永州模拟)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%.若 初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 3 ，至少应过滤________次才能达到市场要求 (已知 lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)． 【答案】8 【解析】设过滤 n次才能达到市场要求，则 2% 1－ 1 3 n ≤0.1%，即 2 3 n ≤ 1 20 ，所以 nlg 2 3 ≤ －1－lg 2，所以 n≥7.39，所以 n＝8. 9．(2018 湖北七州第一次联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的 污染物数量 P(毫克/升)与时间 t(小时)的关系为 P＝P0e －kt .如果在前 5 小时消除了 10%的污 染物，那么污染物减少 19%需要花费的时间为________小时． 【答案】10 【解析】由题设可得(1－0.1)P0＝P0e －5k ，即 0.9＝e －5k ，故－5k＝ln 0.9；又(1－0.19)P0 ＝P0e －kt ，即 0.81＝e －kt ，故－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，故 t＝10，应填 10. 10．(2018 四川南充模拟)渔场中鱼群的最大养殖量为 m，为保证鱼群的生长空间，实际 养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖 量 x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为 k(k＞0)，则鱼群年增长量的最大值是________． 【答案】 km 4 【解析】由题意，空闲率为 1－ x m ， ∴y＝kx 1－ x m ，定义域为(0，m)， y＝kx 1－ x m ＝－ k m x－ m 2 2 ＋ km 4 ， ∵x∈(0，m)，k＞0，∴当 x＝ m 2 时，ymax＝ km 4 . 三、解答题 11．(2018 江苏盐城中学期末)我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为 S(平方米)的 AMPN 矩形健身场地．如图，点 M在 AC 上，点 N 在 AB 上，且 P 点在斜边 BC 上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30 米，|AM|＝x 米，x∈[10,20]．设 矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为 37k S 元，再把矩形 AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每 平方米的造价为 12k S 元(k 为正常数)． (1)试用 x 表示 S，并求 S的取值范围； (2)求总造价 T 关于面积 S 的函数 T＝f(S)； (3)如何选取|AM|，使总造价 T 最低(不要求求出最低造价)? 【解】(1)在 Rt△PMC 中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝ 3(30－x)， ∴矩形 AMPN 的面积 S＝|PM|·|AM|＝ 3x(30－x)，x∈[10,20]， ∴200 3≤S≤225 3. (2)矩形 AMPN 健身场地造价 T1＝37k S， 又∵△ABC 的面积为 450 3，∴草坪造价 T2＝ 12k S (450 3－S)．∴总造价 T＝T1＋T2＝ 25k S＋ 216 3 S ， 200 3≤S≤225 3. (3)∵ S＋ 216 3 S ≥12 6 3， 当且仅当 S＝ 216 3 S ，即 S＝216 3时等号成立， 此时 3x(30－x)＝216 3，解得 x＝12 或 x＝18. 答：选取|AM|为 12 米或 18 米时总造价 T 最低． 12．(2018 福建三明第一中学期中)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生 活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的 函数关系可以近似地表示为： y＝ 1 3 x3 －80x2 ＋5 040x，x∈[120，144 ， 1 2 x2 －200x＋80 000，x∈[144，500 ， 且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为 200 元，若该项目不获利，政 府将给予补贴． (1)当 x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利， 则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【解】(1)当 x∈[200,300]时，该项目获利为 S，则 S＝200x－ 1 2 x2 －200x＋80 000 ＝ － 1 2 (x－400) 2 ， ∴当 x∈[200,300]时，S<0，因此，该项目不会获利． 当 x＝300 时，S取得最大值－5 000， ∴政府每月至少需要补贴 5 000 元才能使该项目不亏损． (2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为： y x ＝ 1 3 x2 －80x＋5 040，x∈[120，144 ， 1 2 x－200＋ 80 000 x ，x∈[144，500 . 当 x∈[120,144)时， y x ＝ 1 3 x2－80x＋5 040＝ 1 3 (x－120)2＋240，∴当 x＝120 时， y x 取得 最小值 240. 当 x∈[144,500)时， y x ＝ 1 2 x－200＋ 80 000 x ≥2 x 2 · 80 000 x －200＝400－200＝200， 当且仅当 x 2 ＝ 80 000 x ，即 x＝400 时， y x 取得最小值 200. ∵240>200，∴当每月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．