四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学文卷含答案

四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学文卷含答案

绵阳市高中2013级第三次诊断性考试 数学（文科）‎ 本试卷分第I卷（选择题)和第II卷（非选择题）两部分。第I卷l至2页，第II卷 3至4页。满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。‎ ‎2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效。‎ ‎3. 考试结束后，将答题卡收回。‎ 第I卷（选择题，共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2，3, 4},则等于 ‎ A. {1, 2} B. {2, 3}‎ C.{2, 4} D. {1, 4}‎ ‎2.抛物线x2=-4y的准线方程是 A. x=-1 B. x=2‎ C.y=1 D. y=-2‎ ‎3. 若复数z满足z*i=1+i (i为虚数单位),则复数z=‎ A. 1+i B. -1-i C. 1-i D. -1+i ‎4. 设数列{an}是等比数列，则“a13l D. k>l5‎ ‎8. 己知函数. ，若函数f(x)在区间 上单调递增，则0的取值范围是 A []‎ B []‎ C (][)‎ D (][)‎ ‎9. 已知椭圆与离心率为2的双曲线的公共焦点 是F‎1 F2,点P是两曲线的一个公共点，若,则椭圆的离心率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10. 已知函数f(x)=ln(ex+a)(e是自然对数的底数，a为常数）是实数集R上的奇函数，若 函数f(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点，则实数m的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ 第II卷（非选择题，共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11. 若直线x+(a-1)y=4与直线x=1平行，则实数a的值是____‎ ‎12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形，俯视图是一个直径为4的圆，则这个几何体的侧 面积是____‎ ‎13. 设变量x、y满足约束条件：，则目标函数z=2x+y的最大值是_______‎ ‎14. 己知，且则cosa=______‎ ‎15. 定义在区间[a, b]上的函数y=f(x), 是函数f(x)的导数，如果，使得f(b)-f(a)= ,则称为[a,b]上的“中值点”.下列函数：‎ ‎① f(x)=2x+l, ② f(x)=x2-x+l,‎ ‎③ f(x)=lnx+l, ④，‎ 其中在区间[0, 1]上的“中值点”多于一个的函数是______(请写出你认为正确的所有结论的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16. (本小题满分12分）‎ 从高三学生中抽取n名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.‎ ‎(I) 求n的值;‎ ‎(II)试估计这n名学生的平均成绩；‎ ‎(III)若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.‎ ‎17. (本小题满分12分）‎ 已知{an}是等差数列，a1=3, Sn是其前n项和，在各项均为正数的等比数列{bn}中， b1=1 且b2+S2=1O, S5 =5b3+3a2.‎ ‎(I )求数列{an}, {bn}的通项公式； ‎ ‎(II)设，数列{cn}的前n项和为Tn,求证 ‎18. (本小题满分12分）‎ 如图，ABCD是边长为2的正方形，ED丄平面ABCD,ED=1, EF//BD 且EF=BD.‎ ‎(I)求证：BF//平面ACE ‎(II)求证：平面EAC丄平面BDEF;‎ ‎(III)求几何体ABCDEF的体积.‎ ‎19. (本小题满分12分）‎ 函数的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y=f(x)的 图象.‎ ‎(I )求函数y=g(x)的解析式；‎ ‎(II)已知ΔABC中三个内角A，B， C的对边分别为a, b，c，且满足+＝2sinAsinaB,且C=，c=3，求ΔABC的面积.‎ ‎20. (本小题满分13分）‎ 已知椭圆C: 的离心率为，以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线 相切.A、B是椭圆的左右顶点，直线l 过B点且与x轴垂直，如图.‎ ‎(I )求椭圆的标准方程；‎ ‎(II)设G是椭圆上异于A、B的任意一点，GH丄x轴，H为垂足，延长HG到点Q 使得HG=GQ,连接AQ并延长交直线l于点M,点N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎21. (本小题满分14分）‎ 已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).‎ ‎(I )求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(II)如果对任意，都有不等式f(x)> x + x2成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(III)设,证明：+++…+<‎ 绵阳市高中2013级第三次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．‎ DCCBB AABDD 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．1 12．16π 13．3 14． 15．①④‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．解：（Ⅰ）成绩在区间的频率是：‎ ‎ 1(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，‎ ‎∴ 人． ……………………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）成绩在区间的频率是：‎ ‎1(0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)10=0.24，‎ 利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是：‎ ‎ 45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分 ‎（Ⅲ）成绩在区间的学生人数是：50×0.04=2人，‎ 成绩在区间的学生人数是：50×0.06=3人，‎ 设成绩在区间的学生分别是A1，A2，成绩在区间的学生分别是B1，B2，B3，‎ 从成绩在的学生中随机选取2人的所有结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，‎ ‎(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10种情况．‎ 至少有1人成绩在内的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7种情况．‎ ‎∴ 至少有1人成绩在内的概率P=． ……………………………6分 ‎17．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ 由题意可得： ‎ 解得q=2或q=(舍)，d=2．‎ ‎∴ 数列{an}的通项公式是an=2n+1，数列{bn}的通项公式是． …7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，于是，‎ ‎∴ ‎ ‎<． …………12分 ‎18．解：（Ⅰ）如图，记AC与BD的交点为O，连接EO，于是DO=OB．‎ A B C D E F O ‎∵ EF∥BD且EF＝BD，‎ ‎∴ EFOB，‎ ‎∴ 四边形EFBO是平行四边形，‎ ‎∴ BF∥EO．‎ 而BF平面ACE，EO平面ACE，‎ ‎∴ BF∥平面ACE．…………………………4分 ‎（Ⅱ）∵ ED⊥平面ABCD，AC平面ABCD，‎ ‎∴ ED⊥AC．‎ ‎∵ ABCD是正方形，‎ ‎∴ BD⊥AC，‎ ‎∴ AC⊥平面BDEF．‎ 又AC⊂平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF． ……………………………8分 ‎（Ⅲ）连结FO，∵ EFDO，‎ ‎∴ 四边形EFOD是平行四边形．‎ 由ED⊥平面ABCD可得ED⊥DO，‎ ‎∴ 四边形EFOD是矩形．‎ ‎∵ 平面EAC⊥平面BDEF．‎ ‎∴ 点F到平面ACE的距离等于就是Rt△EFO斜边EO上的高，‎ 且高h=＝．‎ ‎∴几何体ABCDEF的体积 ‎=‎ ‎=2．……………………………………………12分 ‎19．解：（Ⅰ）由图知：，解得ω=2．‎ 再由，‎ 得，即．‎ 由，得．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ，‎ 即函数y=g(x)的解析式为g(x)=．………………………………6分 ‎（Ⅱ）由已知化简得：．‎ ‎∵ (R为△ABC的外接圆半径)，‎ ‎∴，‎ ‎∴ sinA=，sinB=．‎ ‎∴，即 ． ①‎ 由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC， ‎ 即 9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab． ②‎ 联立①②可得：2(ab)2-3ab-9=0，解得：ab=3或ab=(舍去)， ‎ 故△ABC的面积S△ABC=．…………………………………12分 ‎20．解：（Ⅰ）由题可得：e=．‎ ‎∵ 以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切，‎ ‎∴ =b，解得b=1．‎ 再由 a2=b2+c2，可解得：a=2． ‎ ‎∴ 椭圆的标准方程：．……………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A(-2，0)，B(2，0)，直线l的方程为：x=2．‎ 设G(x0，y0)(y0≠0)，于是H(x0，0)，Q(x0，2y0)，‎ 且有，即4y02=4-x02．‎ 设直线AQ与直线BQ的斜率分别为：kAQ，kBQ，‎ ‎∵，即AQ⊥BQ，‎ ‎∴ 点Q在以AB为直径的圆上．‎ ‎∵ 直线AQ的方程为：，‎ 由 解得：即，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ 直线QN的斜率为：，‎ ‎∴ ，于是直线OQ与直线QN垂直，‎ ‎∴ 直线QN与以AB为直径的圆O相切． …………………………………13分 ‎21．解：（Ⅰ）∵，‎ 当a≤0时，得函数f (x)在(-∞，+∞)上是增函数．‎ 当a>0时，‎ 若x∈(lna，+∞)，，得函数在(lna，+∞)上是增函数；‎ 若x∈(-∞，lna)，，得函数在(-∞，lna)上是减函数．‎ 综上所述，当a≤0时，函数f (x)的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a>0时，函数f (x) 的单调递增区间是(lna，+∞)，单调递减区间是(-∞，lna)．…5分 ‎（Ⅱ）由题知：不等式ex-ax>x+x2对任意成立，‎ 即不等式对任意成立．‎ 设(x≥2)，于是．‎ 再设，得．‎ 由x≥2，得，即在上单调递增，‎ ‎∴ h(x)≥h(2)=e2-4>0，进而，‎ ‎∴ g(x)在上单调递增，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，即实数a的取值范围是．………………………10分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，‎ 当a=1时，函数f (x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．‎ ‎∴ f (x)≥f (0)=1，即ex-x≥1，整理得1+x≤ex．‎ 令(n∈N*，i=1，2，…，n-1)，则≤，即≤，‎ ‎∴≤，≤，≤，…，≤，‎ 显然≤，‎ ‎∴ ‎ ‎≤‎ ‎，‎ 故不等式（n∈N*）成立．……………4分