数学卷·2018届黑龙江省鹤岗市绥滨一中高二上学期期中数学试卷（文科）+（解析版）

数学卷·2018届黑龙江省鹤岗市绥滨一中高二上学期期中数学试卷（文科）+（解析版）

‎2016-2017学年黑龙江省鹤岗市绥滨一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每题5分）‎ ‎1．命题：“若p则q”的逆命题是（　　）‎ A．若¬p则¬q B．若¬q则¬p C．若q则p D．若p则q ‎2．设x∈R，则“x＜1”是“x2+x﹣2＜0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（　　）‎ A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1‎ C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1‎ ‎4．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知命题：∀x∈R，则2x2+2x+＜0的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，则2x2+2x+≥0 B．∃x0∈R，则2x02+2x0+≥0‎ C．∃x0∈R，则2x02+2x0+＜0 D．∀x∈R，则2x2+2x+＞0‎ ‎6．关于命题p：A∩∅=∅，命题q：A∪∅=A，则下列说法正确的是（　　）‎ A．（￢p）∨q为假 B．（￢p）∧（￢q）为真 C．（￢p）∨（￢q）为假 D．（￢p）∧q为真 ‎7．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎8．设F1，F2为椭圆的两个焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，则的值是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．I ‎9．已知F1，F2是双曲线=1的两个焦点，p为双曲线上一点且∠F1PF2=60°，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知椭圆内一点P（1，1），则以P为中点的弦方程为（　　）‎ A．x+2y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x+y﹣5=0 D．x﹣2y=0‎ ‎11．已知y2=16x，A（1，2），P为抛物线上的点，F为抛物线焦点，则|PF|+|PA|的最小值为（　　）‎ A．1 B．4 C．5 D．3‎ ‎12．已知y2=8x的焦点为F，则过F点且倾斜角为60°的直线被抛物线截得的弦长为（　　）‎ A．8 B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分）‎ ‎13．双曲线的渐近线方程为　　．‎ ‎14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2=45°，则椭圆的离心率e=　　．‎ ‎15．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为　　．‎ ‎16．若f（x）=x2+2x﹣5且A（1，﹣2），则以点A为切点的切线方程为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知命题p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0；命题q：0＜x＜4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎18．求证：若a2+2ab+b2+a+b﹣2≠0，则a+b≠1．‎ ‎19．已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆：x2+y2﹣4x+2=0的圆心，求椭圆E的方程．‎ ‎20．已知双曲线x2﹣y2=4，直线l：y=k（x﹣1），试在下列条件下，求实数k的取值范围：‎ ‎（1）直线l与双曲线有两个公共点，‎ ‎（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点．‎ ‎21．已知抛物线y2=2px（p＞0），点M（2，y0）在抛物线上， ‎ ‎（1）求抛物线方程 ‎（2）设A点坐标为，求抛物线上距点A最近的点B的坐标及相应的距离|BA|．‎ ‎22．已知直线y=﹣x+2和椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|=2，直线OM的斜率为，求椭圆的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省鹤岗市绥滨一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题5分）‎ ‎1．命题：“若p则q”的逆命题是（　　）‎ A．若¬p则¬q B．若¬q则¬p C．若q则p D．若p则q ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据命题与它的逆命题的定义，写出即可．‎ ‎【解答】解：命题“若p则q”的逆命题是 ‎“若q则p”．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．设x∈R，则“x＜1”是“x2+x﹣2＜0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】解不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：由x2+x﹣2＜0得﹣2＜x＜1，‎ 所以“x＜1”是“x2+x﹣2＜0”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（　　）‎ A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1‎ C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据逆否命题的定义，直接写出答案即可，要注意“且”形式的命题的否定．‎ ‎【解答】解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，‎ 则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．‎ ‎【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．‎ ‎【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，‎ ‎∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，‎ 其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，‎ 则p是¬q的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．已知命题：∀x∈R，则2x2+2x+＜0的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，则2x2+2x+≥0 B．∃x0∈R，则2x02+2x0+≥0‎ C．∃x0∈R，则2x02+2x0+＜0 D．∀x∈R，则2x2+2x+＞0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定 ‎【解答】解：原命题为“∀x∈R，则2x2+2x+＜0，‎ ‎∵原命题为全称命题 ‎∴其否定为存在性命题，且不等号须改变 ‎∴原命题的否定为：∃x0∈R，则2x02+2x0+≥0‎ 故选：B ‎　‎ ‎6．关于命题p：A∩∅=∅，命题q：A∪∅=A，则下列说法正确的是（　　）‎ A．（￢p）∨q为假 B．（￢p）∧（￢q）为真 C．（￢p）∨（￢q）为假 D．（￢p）∧q为真 ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别判断命题p，q的证明，结合复合命题真假关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：命题p：A∩∅=∅，为真命题．‎ 命题q：A∪∅=A，为真命题．‎ 则（￢p）∨q为真命题，故A错误，‎ ‎（￢p）∧（￢q）为假，故B错误，‎ ‎（￢p）∨（￢q）为假，故C正确，‎ ‎（￢p）∧q为假，故D错误，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a．‎ ‎【解答】解：由题意，‎ e===2，‎ 解得，a=1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．设F1，F2为椭圆的两个焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，则的值是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．I ‎【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】设的夹角为2θ，根据焦点三角形面积公式S=b2tanθ，可求2θ，再利用数量积公式即可；‎ ‎【解答】解：设的夹角为2θ 因为S=b2tanθ=1，其中b=1所以tanθ=1，θ=45°‎ ‎∴∠F1PF2=90°‎ 所以=0‎ 故选A ‎　‎ ‎9．已知F1，F2是双曲线=1的两个焦点，p为双曲线上一点且∠F1PF2=60°，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程求得a，c的值，由余弦定理结合双曲线的定义求得|PF1||PF2|的值，则三角形面积可求．‎ ‎【解答】解：由双曲线=1，得a=3，2a=6，‎ b2=16，c2=a2+b2=25，c=5．‎ 不妨设P在双曲线右支上，则|PF1|﹣|PF2|=6，‎ 在△F1PF2中，由余弦定理可得：，‎ 则，即100=36+|PF1||PF2|，‎ 得|PF1||PF2|=64．‎ ‎∴=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知椭圆内一点P（1，1），则以P为中点的弦方程为（　　）‎ A．x+2y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x+y﹣5=0 D．x﹣2y=0‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设以点P（1，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出结果 ‎【解答】解：设以点P（1，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，‎ 分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程，‎ 再相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，‎ k=﹣‎ ‎∴点P（1，1）为中点的弦所在直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），‎ 整理，得：x+4y﹣5=0．‎ 故选：B ‎　‎ ‎11．已知y2=16x，A（1，2），P为抛物线上的点，F为抛物线焦点，则|PF|+|PA|的最小值为（　　）‎ A．1 B．4 C．5 D．3‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PD|+|PA|的最小值，同时可推断出当D，P，A三点共线时|PD|+|PA|最小，答案可得．‎ ‎【解答】解：设点A在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|，‎ ‎∴要求|PF|+|PA|的最小值，即求|PD|+|PA|的最小值，‎ 只有当D，P，A三点共线时|PD|+|PA|最小，且最小值为1﹣（﹣4）=5 （准线方程为x=﹣4）‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．已知y2=8x的焦点为F，则过F点且倾斜角为60°的直线被抛物线截得的弦长为（　　）‎ A．8 B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点为F（2，0），直线的斜率k=tan60°=，从而得到直线的方程．直线方程与抛物线方程联解消去y得3x2﹣20x+12=0，利用根与系数的关系可得x1+x2=，再根据抛物线的定义加以计算，即可得到直线被抛物线截得的弦长．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，2p=8， =2，∴抛物线的焦点是F（2，0）．‎ ‎∵直线的倾斜角为60°，∴直线斜率为k=tan60°=‎ 可得直线方程为：y=（x﹣2），‎ 设直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联解，消去y得3x2﹣20x+12=0，‎ ‎∴x1+x2=，‎ 根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+=x1+2，|BF|=x2+=x2+2，‎ ‎∴|AB|=x1+x2+4=，即直线被抛物线截得的弦长为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分）‎ ‎13．双曲线的渐近线方程为　y=±x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦点在y轴上，可以求出a、b的值，进而由双曲线的渐近线方程分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，‎ 则其焦点在y轴上，且a==3，b==2，‎ 故其渐近线方程y=±x；‎ 故答案为：y=±x．‎ ‎　‎ ‎14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2=45°，则椭圆的离心率e=　﹣1　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，等腰Rt△F1PF2中，PF2=F1F2=2c，且PF1=2c，结合椭圆的定义得到PF1+PF2=2a=（1+）2c，最后由椭圆的离心率公式，可求得椭圆的离心率e．‎ ‎【解答】解：∵Rt△F1PF2中，PF2⊥F2F1且∠F1PF2=45°，‎ ‎∴PF2=F1F2=2c，PF1=F1F2=2c，‎ ‎∵点P在椭圆上，‎ ‎∴PF1+PF2=2a=（1+）2c 因此，椭圆的离心率e===﹣1‎ 故答案为：﹣1‎ ‎　‎ ‎15．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为　[﹣1，6]　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】分别化简命题p，q，利用充分条件的意义即可得出．‎ ‎【解答】解：p：﹣4＜x﹣a＜4，化为：a﹣4＜x＜4+a．‎ q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，解得2＜x＜3．‎ ‎∵q是p的充分条件，∴，解得﹣1≤a≤6．‎ 故答案为：[﹣1，6]．‎ ‎　‎ ‎16．若f（x）=x2+2x﹣5且A（1，﹣2），则以点A为切点的切线方程为　4x﹣y﹣6=0　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而求出切线方程．‎ ‎【解答】解：由题意，f′（x）=2x+2‎ ‎∴当x=1时，f′（1）=4‎ ‎∴以点A（1，﹣2）为切点的f（x）切线方程是4x﹣y﹣6=0．‎ 故答案为：4x﹣y﹣6=0．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知命题p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0；命题q：0＜x＜4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】先根据题p是真命题，求出x的取值范围，然后根据命题q是假命题，求出x的取值范围，最后求它们的交集，即可．‎ ‎【解答】解：因为命题p是真命题，则x2﹣2x﹣2≥1，‎ ‎∴x≥3或x≤﹣1，‎ 命题q是假命题，则x≤0或x≥4．‎ ‎∴x≥4或x≤﹣1．‎ ‎　‎ ‎18．求证：若a2+2ab+b2+a+b﹣2≠0，则a+b≠1．‎ ‎【考点】反证法与放缩法．‎ ‎【分析】原命题不好证明，利用逆否命题的等价性进行证明即可 ‎【解答】证明：若a+b=1，则a2+2ab+b2+a+b﹣2=（a+b）2+（a+b）﹣2=1+1﹣2=0成立，‎ ‎∴根据逆否命题的等价性可知：‎ 若a2+2ab+b2+a+b﹣2≠0，则a+b≠1．‎ ‎　‎ ‎19．已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆：x2+y2﹣4x+2=0的圆心，求椭圆E的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】确定x2+y2﹣4x+2=0的圆心C（2，0），设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，利用离心率求出a即可．‎ ‎【解答】解：由x2+y2﹣4x+2=0得（x﹣2）2+y2=2，∴圆心C（2，0），‎ 设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，‎ e=，∴a=4，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=12，∴椭圆E的方程为：．‎ ‎　‎ ‎20．已知双曲线x2﹣y2=4，直线l：y=k（x﹣1），试在下列条件下，求实数k的取值范围：‎ ‎（1）直线l与双曲线有两个公共点，‎ ‎（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】将直线方程代入双曲线方程，化为关于x的方程，利用方程根的判别式，即可求得k的取值范围．‎ ‎（1）由1﹣k2≠0，且△＞0，解得即可；（2）1﹣k2=0或1﹣k2≠0，且△=0，解得即可．‎ ‎【解答】解：联立直线y=k（x﹣1）和双曲线：x2﹣y2=4，消去y得，（1﹣k2）x2+2k2x﹣k2﹣4=0，‎ 判别式△=4k4+4（1﹣k2）（k2+4）=4（4﹣3k2）．‎ ‎（1）1﹣k2≠0，且△＞0，解得﹣＜k＜且k≠±1，‎ 则k的取值范围是：（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）；‎ ‎（2）1﹣k2=0或1﹣k2≠0，且△=0，解得k=±1，或k=±，则k的取值范围是k=±1，或k=±．‎ ‎　‎ ‎21．已知抛物线y2=2px（p＞0），点M（2，y0）在抛物线上， ‎ ‎（1）求抛物线方程 ‎（2）设A点坐标为，求抛物线上距点A最近的点B的坐标及相应的距离|BA|．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，由点M（2，y0）在抛物线上，，可直接求出p值，代入y2=2px即可．‎ ‎（2）利用两点间距离公式，可用B点坐标表示|BA|，再根据B在抛物线上，求出|BA|最值．‎ ‎【解答】解：（1）所以p=1‎ 故抛物线方程为y2=2x ‎（2）设y2=2x上任一点M（x，y）‎ 所以当x=0时，‎ 所以，此时B（0，0）‎ ‎　‎ ‎22．已知直线y=﹣x+2和椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|=2，直线OM的斜率为，求椭圆的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用点差法，结合M为线段AB的中点，|AB|=2，直线OM的斜率为，求出几何量，即可求椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．‎ 则A（x1，y1），B（x2，y2）代入方程并相减得： =﹣•．‎ ‎∴kAB=﹣•=﹣．③‎ 又kOM==，④‎ 由③④得a2=4b2．‎ 由直线y=﹣x+2和椭圆+=1（a＞b＞0）得：x2﹣4x+8﹣2b2=0，‎ ‎∴x1+x2=4，x1•x2=8﹣2b2．‎ ‎∴|AB|=|x1﹣x2|==2．‎ 解得：b2=4．‎ 故所求椭圆方程为：．‎ ‎　‎