2021高考数学大一轮复习考点规范练48直线与圆圆与圆的位置关系理新人教A版
考点规范练48 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点规范练B册第33页
基础巩固
1.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+5=0或2x+y-5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+5=0或2x-y-5=0
答案:A
解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1).
因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为5,
所以|m|5=5,即|m|=5.
故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.
2.(2019河北衡水中学高三下学期大联考)已知圆O1:x2+y2=4,圆O2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),则“2
0,符合题意,所以存在直线MN为y=-x或y=-x+3符合条件.
能力提升
11.(2019广西柳州高三模拟)已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的取值为( )
A.-1或12 B.1或-1 C.2或-2 D.1
答案:B
解析:由题意可知△ABC为等腰直角三角形,∴圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d=sinπ4=22,即|a-a-1|1+a2=22,整理得1+a2=2,即a2=1,解得a=-1或1,故选B.
12.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|OA+OB|≥33|AB|,则k的取值范围是( )
A.(3,+∞) B.[2,+∞) C.[2,22) D.[3,22)
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答案:C
解析:设AB中点为D,则OD⊥AB,
∵|OA+OB|≥33|AB|,∴2|OD|≥33|AB|,
∴|AB|≤23|OD|.
∵|OD|2+14|AB|2=4,∴|OD|2≥1.
∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,∴|OD|2<4.
∴4>|OD|2≥1,∴4>|-k|22≥1.
∵k>0,∴2≤k<22,故选C.
13.已知点P(x,y)是直线y=-kx-4(k>0)上的一个动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的面积的最小值为2,则实数k的值为 .
答案:2
解析:根据题意画出图形,如图所示.
由题意得圆C:x2+y2-2y=0的圆心C(0,1),半径为r=1,由圆的性质可得S四边形PACB=2S△PBC,四边形PACB的面积的最小值为2,∴S△PBC的最小值S=1=12rd(d是切线长),
∴dmin=2,此时|CP|min=5.
∵圆心到直线的距离就是PC的最小值,
∴51+k2=5,又k>0,∴k=2.
14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.
解:因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为±1或切线过原点.
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①当k=±1时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.
由于相切,则方程有两个相等的实数根,
即b=3或b=-1,c=5或c=1.
故所求切线方程为
x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.
②当切线过原点时,设切线方程为y=kx,即kx-y=0.
由|-k-2|k2+1=2,得k=2±6.
所以此时切线方程为y=(2±6)x.
综上①②可得切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-6)x-y=0或(2+6)x-y=0.
15.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.
解:因为圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0
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