2012年理数高考试题答案及解析-福建

2012年理数高考试题答案及解析-福建

‎2012年福建省高考理科数学 第I卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.若复数z满足zi=1-i，则z等于 A.-1-I B.1-i C.-1+I D.1=i ‎2.等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎3.下列命题中，真命题是 A. B. ‎ C.a+b=0的充要条件是=-1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件 ‎【解析】A，B，C 均错，D正确 ‎【答案】D ‎【考点定位】此题主要考查逻辑用语中的充分必要条件，考查逻辑推理能力、分析判断能力、必然与或然的能力.‎ ‎4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱 ‎【解析】分别比较ABC的三视图不符合条件，D符合.‎ ‎【答案】D ‎【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力.‎ ‎5.下列不等式一定成立的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎7.设函数则下列结论错误的是 A.D（x）的值域为{0,1} B. D（x）是偶函数 C. D（x）不是周期函数 [ D. D（x）不是单调函数 ‎【解析】A,B.D 均正确，C错误。‎ ‎【答案】C ‎【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键.‎ ‎8.已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. B. C.3 D.5‎ ‎【解析】∵抛物线的焦点是F（3,0），∴双曲线的半焦距c=3，‎ ‎9.若函数y=2x图像上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为 ‎ A． B‎.1 C. D.2‎ ‎10.函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P。设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：‎ ‎①f（x）在[1,3]上的图像时连续不断的；‎ ‎②f（x2）在[1,]上具有性质P；‎ ‎③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]；‎ ‎④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有 其中真命题的序号是 A.①② B.①③ C.②④ D.③④‎ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎11.（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________。‎ ‎【解析】‎ ‎【答案】２‎ ‎【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系，考查计算求解能力.‎ ‎12.阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于_____________________。‎ ‎13.已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.‎ ‎【解析】‎ ‎14.数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________。‎ ‎=2×503+2012=3018.‎ ‎【答案】3018‎ ‎【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和，考查数列求和能力，此类问题关键是并项求和.‎ ‎15.对于实数a和b，定义运算“﹡”： ‎ 设f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________。‎ ‎【解析】由定义运算“*”可知 ‎ ‎，画出该函数图象可知满足条件的取值范围是。‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】本题主要考查函数的零点，考查新定义新运算，考查创新能力.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎(II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；‎ ‎（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。‎ ‎17（本小题满分13分）‎ 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。‎ ‎（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°‎ ‎（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°‎ ‎（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°‎ ‎（4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos48°‎ ‎（5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos55°‎ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 ‎ Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。‎ ‎【解析】‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 如图，在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点。‎ ‎（Ⅰ）求证：B1E⊥A D1‎ ‎（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。[ ‎ ‎（Ⅲ）若二面角A-B1E-A1的大小为30°，求AB的长。‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ 如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率。过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程。‎ ‎（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q。试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎【解析】‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知函数f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R。 ‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P。 ‎ ‎21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1。‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值。‎ ‎（Ⅱ）求A2的逆矩阵。‎ ‎【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想.‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2,0），，圆C的参数方程。‎ ‎（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系。‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意知M（2,0），N（0，），因为P是线段MN中点，则P（1，），‎ 因此PO直角坐标方程为：‎ ‎（Ⅱ）因为直线l上两点M（2,0），N（0，）‎ ‎∴l垂直平分线方程为：，圆心（2，），半径r=2.‎ ‎∴d=,故直线l和圆C相交.‎ ‎【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想。‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c∈R，且 ‎【解析】(1)∵，‎ ‎∴的解集是[-1,1]‎ 故m=1.‎ ‎(2)由（1）知,由柯西不等式得 ‎【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想