2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（文科）

2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（文科）

‎2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则A∩B=（　　）‎ A．R B．（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（1，2）‎ ‎2．（5分）复数=（　　）‎ A．﹣i B．i C．﹣1 D．1‎ ‎3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的x=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．1或4‎ ‎4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（　　）‎ A．2 B．6 C．7 D．9‎ ‎5．（5分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：‎ 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（　　）‎ A．样本中的男生数量多于女生数量 B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量 C．样本中多数男生喜欢手机支付 D．样本中多数女生喜欢现金支付 ‎6．（5分）若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知ABCD是边长为1的正方形，E，F分别为边BC，CD的中点，则的值为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．‎ ‎8．（5分）已知两个平面垂直，下列命题：‎ ‎①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．‎ ‎②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．‎ ‎③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．‎ 其中错误命题的序号是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎9．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，则直线y=k（x﹣2）与圆x2+y2=1有两个不同公共点的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知定义在R上函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，则f（f（﹣1））+f（2）=（　　）‎ A．﹣8 B．﹣6 C．4 D．6‎ ‎11．（5分）已知椭圆的左焦点为F1‎ ‎，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知函数（a＞0且a≠1），若函数f（x）的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，3） C．（0，1）∪（3，+∞） D．（0，1）∪（1，3）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知，则=　 　．‎ ‎14．（5分）若直线l与直线2x﹣y﹣2=0关于直线x+y﹣4=0对称，则l的方程是　 　．‎ ‎15．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为　 　．‎ ‎16．（5分）如图表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有　 　对．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）设数列{an}满足．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎18．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：‎ ‎（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；‎ ‎（2）根据（1）中的回归方程，预测该市2017年和2018年“运动参与”评分值．‎ 附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）求sinB+sinC的值．‎ ‎20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ=λQC（λ＞0）．‎ ‎（1）当λ=1时，求证：平面BEF∥平面A1DQ；‎ ‎（2）是否存在λ，使得BD⊥‎ FQ？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数（其中a＞0）．‎ ‎（1）求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明（其中f'（x）是f（x）的导函数）．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ+4=0．‎ ‎（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）若m，n∈M，求证：．‎ ‎　‎ ‎2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则A∩B=（　　）‎ A．R B．（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（1，2）‎ ‎【解答】解：要使y=lg（2﹣x）有意义，则2﹣x＞0得x＜2，即B=（﹣∞，2），‎ ‎∵A={x|x＞1}=（1，+∞），‎ ‎∴A∩B=（1，2），‎ 故选：D ‎　‎ ‎2．（5分）复数=（　　）‎ A．﹣i B．i C．﹣1 D．1‎ ‎【解答】解：=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的x=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．1或4‎ ‎【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出分段函数y=‎ 的值，‎ 若y=2，则x=4，或x=1，‎ 故选：D ‎　‎ ‎4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（　　）‎ A．2 B．6 C．7 D．9‎ ‎【解答】解：作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），‎ 由z=2x+3y，得y=﹣x+，‎ 平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大．‎ 由，解得A（2，1）．‎ 此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：‎ 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（　　）‎ A．样本中的男生数量多于女生数量 B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量 C．样本中多数男生喜欢手机支付 D．样本中多数女生喜欢现金支付 ‎【解答】解：由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，A正确；‎ 由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，B正确；‎ 由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，C正确；‎ 由右图知样本中女生喜欢现金支付与手机支付的一样多，D错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象对应的函数解析式为y=sin（2x+），‎ 令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故所得图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知ABCD是边长为1的正方形，E，F分别为边BC，CD的中点，则的值为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．‎ ‎【解答】解：由题意可得•=0，‎ 则•=（+）•（+）‎ ‎=（+）•（+）‎ ‎=（+）•（+）‎ ‎=•+2+2=0++=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知两个平面垂直，下列命题：‎ ‎①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．‎ ‎②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．‎ ‎③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．‎ 其中错误命题的序号是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎【解答】解：在①中，根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理可知，‎ 只有当这个平面的已知直线垂直于交线时，‎ 这条直线才垂直于此平面内的任意一条直线，故①错误；‎ 在②中，根据平面与平面垂直的性质定理可知，‎ 另一个平面内与交线垂直的直线有无数条，‎ 这些直线都与已知直线垂直，故②正确；‎ 在③中，根据平面与平面垂直的性质定理可知，‎ 只有这个平面的直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面，故③错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，则直线y=k（x﹣2）与圆x2+y2=1有两个不同公共点的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0），‎ 圆心到直线y=k（x﹣2）的距离为；‎ 要使直线y=k（x﹣2）与圆x2+y2=1有两个不同公共点，‎ 则＜1，‎ 解得﹣≤k≤；‎ ‎∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，‎ 使直线y=k（x﹣2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为 P==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知定义在R上函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，则f（f（﹣1））+f（2）=（　　）‎ A．﹣8 B．﹣6 C．4 D．6‎ ‎【解答】解：由f（x）+f（﹣x）=0得f（﹣x）=﹣f（x），得函数f（x）是奇函数，‎ ‎∵当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，‎ ‎∴f（﹣1）=2﹣2=0，f（f（﹣1））=f（0）=0，‎ f（﹣2）=2（﹣2）2﹣2=2×4﹣2=8﹣2=6=﹣f（2），‎ 则f（2）=﹣6，‎ 则f（f（﹣1））+f（2）=0﹣6=﹣6，‎ 故选：B ‎　‎ ‎11．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图所示|OM|=|MF1|=|OP|，‎ 不妨设|OP|=，则|OM|=|MF1|=1，‎ 设∠MF1O=θ，‎ 在△MOF1中由余弦定理可得cosθ===，‎ ‎∴sinθ==，‎ ‎∴tanθ===，‎ ‎∵tanθ==，‎ ‎∴=，‎ 解得c=1，‎ ‎∴△MOF1为等边三角形，‎ ‎∴M（﹣，），‎ ‎∴+=1，①‎ ‎∵a2﹣b2=c2=1，②，‎ 由①②可得4a4﹣8a2+1=0，‎ 解得a2=＜1（舍去），a2=，‎ ‎∴a2===（）2，‎ ‎∴a==，‎ ‎∴e===﹣1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数（a＞0且a≠1），若函数f（x）的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，3） C．（0，1）∪（3，+∞） D．（0，1）∪（1，3）‎ ‎【解答】解：由题意，0＜a＜1时，显然成立；‎ a＞1时，f（x）=logax关于y轴的对称函数为f（x）=loga（﹣x），则loga3＞1，∴1＜a＜3，‎ 综上所述，a的取值范围是（0，1）∪（1，3），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知，则=　　．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若直线l与直线2x﹣y﹣2=0关于直线x+y﹣4=0对称，则l的方程是　x﹣2y+2=0　．‎ ‎【解答】解：由，得，即直线的交点坐标为（2，2），‎ 在直线2x﹣y﹣2=0上取一点A（1，0），‎ 设A关于直线x+y﹣4=0的对称点的坐标为（a，b），‎ 则满足得得，即对称点（4，3）‎ 则l的方程为，整理得x﹣2y+2=0，‎ 故答案为：x﹣2y+2=0‎ ‎　‎ ‎15．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为　　．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），‎ 则y1=log2（16x1），y2=log2（16x2），‎ y3=log2x3，x2=x3，‎ ‎△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），‎ 可得y2﹣y3=2（x2﹣x1），‎ y2+y3=2y1，‎ 即有log2（16x2）﹣log2x3=2（x2﹣x1），‎ log2（16x2）+log2x3=2log2（16x1），‎ 化简可得x2﹣x1=2，‎ log2x2=2+log2x1，‎ 即为2+x1=4x1，‎ 解得x1=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）如图表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有　3　对．‎ ‎【解答】解：把正方体的展开图还原成正方体，如下图：‎ 则四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有：‎ AB与CD，AB与GH、EF与GH，共3组．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）设数列{an}满足．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由，‎ 有an+1﹣an=n+1，又a1=1，‎ 所以n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=．‎ 当n=1时，也满足，‎ 则：．‎ 所以数列{an}的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：‎ ‎（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；‎ ‎（2）根据（1）中的回归方程，预测该市2017年和2018年“运动参与”评分值．‎ 附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．‎ ‎【解答】解：（1）由题，==3.5，==75，‎ 则（ti﹣）（yi﹣）=（1﹣3.5）（65﹣75）+（2﹣3.5）（71﹣75）‎ ‎+（3﹣3.5）（73﹣74）+（4﹣3.5）（77﹣75）+（5﹣3.5）（80﹣75）+（6﹣3.5）（84﹣75）=63．‎ ‎（ti﹣）2=（1﹣3.5）2+（2﹣3.5）2+（3﹣3.5）2+（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2+（6﹣3.5）2=17.5，‎ ‎==3.6，=75﹣3.6×3.5=62.4，‎ ‎∴运动参与y关于t的回归方程是=3.6t+62.4．‎ ‎（2）当t=7时，=3.6×7+62.4=87.6，当t=8时，=3.6×8+62.4=91.2，‎ 所以2017年、2018年该市“运动参与”评分值分别87.6，91.2．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）求sinB+sinC的值．‎ ‎【解答】解：（1）由△ABC的面积为，‎ 得．‎ 因，‎ 所以，‎ 所以，‎ 得bc=35，‎ 又b﹣c=2，‎ 由余弦定理得：，‎ ‎=，‎ 所以a=8．‎ ‎（2）法一：由（1）中b﹣c=2，bc=35．‎ 解得b=7，c=5，‎ 由正弦定理得：，‎ 所以，‎ 法二：由（1）有（b+c）2=（b﹣c）2+4bc=22+4×35=144，‎ 所以b+c=12．‎ 由正弦定理得，‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ=λQC（λ＞0）．‎ ‎（1）当λ=1时，求证：平面BEF∥平面A1DQ；‎ ‎（2）是否存在λ，使得BD⊥FQ？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）λ=1时，Q为BC中点，因为E是AD的中点，‎ 所以ED=BQ，ED∥BQ，则四边形BEDQ是平行四边形，‎ 所以BE∥QD．‎ 又BE⊄平面A1DQ，DQ⊂平面A1DQ，‎ 所以BE∥平面A1DQ．‎ 又F是A1A中点，所以EF∥A1D，‎ 因为BF⊄平面A1DQ，A1D⊂平面A1DQ，‎ 所以EF∥平面A1DQ．‎ 因为BE∩EF=E，EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF，‎ 所以平面BEF∥平面A1DQ．‎ ‎（2）连接AQ，BD与FQ，‎ 因为A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1A⊥BD．‎ 若BD⊥FQ，A1A，FQ⊂平面A1AQ，所以BD⊥平面A1AQ．‎ 因为AQ⊂平面A1AQ，所以AQ⊥BD．‎ 在矩形ABCD中，由AQ⊥BD，得△AQB∽△DBA，‎ 所以，AB2=AD•BQ．‎ 又AB=1，AD=2，所以，，‎ 则，即．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数（其中a＞0）．‎ ‎（1）求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明（其中f'（x）是f（x）的导函数）．‎ ‎【解答】解：（1）由得，‎ 当a＞0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，‎ 故当a＞0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极小值．‎ ‎（2）当a＞0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值，‎ 且当x趋向于0时，f（x）趋向于负无穷大，‎ 又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点，则，解得a＞2．‎ 又由（1）知f（x）两零点分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．‎ 则，‎ 又，‎ 两式相减得，则，‎ 所以 ‎=，‎ 令，‎ 则单调递减，则h（t）＞h（1）=0，‎ 所以．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ+4=0．‎ ‎（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．‎ ‎【解答】解：（1）线C1的参数方程为（t为参数），‎ 所以：C1的普通方程：y=（x﹣2）tanα+1，其中；‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4=0．‎ 所以：C2的直角坐标方程：（x﹣3）2+y2=5．‎ ‎（2）由题知直线恒过定点P（2，1），又t1+t2=0，‎ 由参数方程的几何意义知P是线段AB的中点，‎ 曲线C2是以C2（3，0）为圆心，半径的圆，‎ 且．‎ 由垂径定理知：．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）若m，n∈M，求证：．‎ ‎【解答】解：（1）当时，不等式即为﹣2x﹣1﹣x+1＜3，解得；‎ 当时，不等式即为2x+1﹣x+1＜3，解得；‎ 当x＞1时，不等式即为2x+1+x﹣1＜3，此时无解，‎ 综上可知，不等式解集M={x|﹣1＜x＜1}．‎ ‎（2）m，n∈（﹣1，1），‎ 欲证，‎ 需证|m﹣n|＜|mn﹣1|，‎ 即证（m﹣n）2＜（mn﹣1）2，即m2+n2﹣2mn＜m2n2﹣2mn+1，‎ 即证（m2﹣1）（n2﹣1）＞0，‎ 因为m，n∈（﹣1，1），‎ 所以（m2﹣1）（n2﹣1）＞0显然成立．‎ 所以成立．‎ ‎　‎