2019-2020学年高中数学课时作业5三元平均值不等式北师大版选修4-5

2019-2020学年高中数学课时作业5三元平均值不等式北师大版选修4-5

课时作业(五)‎ ‎1．设a，b，c∈R，下列各不等式中成立的是(　　)‎ A．a2＋b2≥2|ab|　　　　　 B．a＋b≥2 C．a3＋b3＋c3≥3abc D.≥ 答案　A 解析　B，C，D中a，b，c均为正数时不等式才成立，故选A.‎ ‎2．已知a>0，b>0，c>0，且abc＝1，则a＋b＋c的最小值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　C 解析　∵a>0，b>0，c>0，‎ ‎∴a＋b＋c≥3＝3，故选C.‎ ‎3．设x>0，则y＝x＋的最小值为(　　)‎ A．2 B．2 C．3 D．3‎ 答案　D 解析　y＝x＋＝＋＋≥3·＝3.当且仅当＝取“＝”号．‎ ‎4．设x，y，z>0且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　A 解析　∵6＝3y＋x＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6·.当且仅当＝y＝4z时取“＝”号．‎ ‎5．若实数x，y满足xy>0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　C 解析　xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3＝‎ ‎3＝3·＝3.‎ ‎6．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是(　　)‎ 6‎ A．(－∞，lg6] B．(－∞，3lg2]‎ C．[lg6，＋∞) D．[3lg2，＋∞)‎ 答案　B 解析　∵x，y，z∈R＋，∴6＝x＋y＋z≥3，∴xyz≤23.‎ ‎∴lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)≤lg23＝3lg2，故选B.‎ ‎7．函数y＝x2·(1－5x)(0≤x≤)的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A ‎8．设a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值为(　　)‎ A．9 B．12‎ C．6－2 D．6＋4 答案　D ‎9．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是(　　)‎ A．V≥π B．V≤π C．V≥π D．V≤π 答案　B 解析　设圆柱底面半径为r，高为h，则有2r＋h＝3.‎ ‎∴V＝πr2·h≤π·()3＝π·()3＝π，故选B.‎ ‎10．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可以推广结论为：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为(　　)‎ A．nn B．2n C．n2 D．2n＋1‎ 答案　A ‎11．函数f(x)＝5x＋(x>0)的最小值为________．‎ 答案　15‎ 解析　f(x)＝x＋x＋≥3＝15，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，∴f(x)的最小值为15.‎ 6‎ ‎12．已知a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋‎3c＝1，则＋＋的最小值为________．‎ 答案　9‎ 解析　因为a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋‎3c＝1，‎ 所以＋＋＝(a＋2b＋‎3c)·(＋＋)≥3·3＝9，当且仅当a＝2b＝‎3c＝时取等号．因此＋＋的最小值为9.‎ ‎13．设三角形三边长为3，4，5，P是三角形内的一点，则P到这三角形三边距离乘积的最大值是________．‎ 答案　 解析　设P点到三角形三边的距离分别为h1，h2，h3.(如图)‎ 根据面积相等，可得3h1＋4h2＋5h3＝12.‎ ‎∴h1·h2·h3＝·3h1·4h2·5h3≤()3＝.‎ 当且仅当3h1＝4h2＝5h3时，等号成立，即h1＝，h2＝1，h3＝时，等号成立．‎ ‎14．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥；‎ ‎④ab＋bc＋ca≤.‎ 其中正确不等式的序号是________．‎ 答案　①②③④‎ ‎15．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.‎ 证明　因为a，b，c为正实数，由平均不等式，可得 ＋＋≥3，‎ 即＋＋≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．‎ 所以＋＋＋abc≥＋abc.‎ 6‎ 而＋abc≥2 ＝2(当且仅当a2b‎2c2＝3时，等号成立)，‎ 所以＋＋＋abc≥2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．‎ ‎16．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．‎ 解析　设正六棱柱容器底面边长为x(x>0)，高为h，‎ 由图(3)可有2h＋x＝，‎ ‎∴h＝(1－x)．‎ V＝S底·h＝6×x2·h ‎＝x2··(1－x)‎ ‎＝2××××(1－x)‎ ‎≤9×()3＝.‎ 当且仅当＝＝1－x，即x＝时，等号成立．‎ 所以当底面边长为时，正六棱柱容器体积最大，为.‎ ‎1．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R，且为常数)和g(x)＝2x＋的定义域均为[，2]．如果当自变量取同一值时，函数f(x)与g(x)有相同的最小值，那么函数f(x)在[，2]上的最大值是(　　)‎ 6‎ A. B. C．4 D．8‎ 答案　C 解析　g(x)＝x＋x＋≥ 3＝3，‎ 当且仅当x＝，即x＝1∈[，2]时等号成立．‎ 根据题意－＝1，∴b＝－2.‎ ‎∴f(1)＝12－2×1＋c＝3，∴c＝4.‎ ‎∴f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3.‎ ‎∵x∈[，2]，∴当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝4.‎ ‎2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．‎ 答案　 解析　设底面边长为x，高为h，则 x2·h＝V，所以h＝，‎ 又S表＝2·x2＋3xh ‎＝x2＋3x·＝x2＋ ‎＝(x2＋)＝(x2＋＋)≥·3 ‎＝3·.‎ 当且仅当x2＝，即x＝时，S表最小．‎ ‎3．(1)求函数y＝x2＋(x>0)的最小值；‎ ‎(2)求函数y＝x2(a－x)(x>0，a为大于x的常数)的最大值．‎ 解析　(1)∵x>0，＝＋>0，‎ 且x2··＝(定值)，‎ ‎∴y＝x2＋＝x2＋＋ 6‎ ‎≥3 ‎＝3＝.‎ 当x2＝，即x＝时，等号成立，∴y最小值＝.‎ ‎(2)∵x>0，a>x且＋＋(a－x)＝a(常数)，‎ ‎∴y＝x2(a－x)＝4·[··(a－x)]‎ ‎≤4·[]3＝4×＝a3.‎ 当＝a－x，即x＝a时等号成立．‎ ‎∴y最大值＝a3.‎ ‎4．设正实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求＋的最小值．‎ 解析　因为正实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，‎ 所以＋＝＋＝1＋＋≥1＋2＝7，当且仅当＝，即x＋y＝，y＋z＝时，取等号．所以＋的最小值为7.‎ 6‎