数学卷·2018届河南省郑州市第一中学高二上学期期中考试理数试题 （解析版）

数学卷·2018届河南省郑州市第一中学高二上学期期中考试理数试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！河南省郑州市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试 理数试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.在中，，则角（ ）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】A 考点：正弦定理.‎ ‎2.“” 是“” 的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由，得，解得或，所以“或” 是“” 的充分不必要条件，故选B.‎ 考点：充分不必要条件的判定.‎ ‎3.已知正项数列 中，,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由，则，且，则数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以，故选B.‎ 考点：等差数列的概念及性质.‎ ‎4.命题“，使得”的否定形式是（ ）‎ A．,使得 B．使得,‎ C. ,使得 D．,使得 ‎【答案】D 考点：命题的否定.‎ ‎5.《莱茵德纸草书》 是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题： 把个面包分 成份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的倍，则最少的那份面 包个数为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设五个人所分得的面包为，‎ 则有，所以，‎ 由，解得，所以，解得，所以最少的一份为，故选C.‎ 考点：等差数列的通项公式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了等差数列模型的实际应用，其中解答中涉及到等差数列的等差中项公式的应用、以及等差数列的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力和转化与化归思想的应用，本题的解答中要求学生灵活运用等差数列的通项公式进行化简求值，本题的突破点在于设出等差数列是关键，属于中档试题.‎ ‎6.已知数列为等比数列的前项和，, 则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为数列为等比数列的前项和，且，所以 ‎，两式相比，可得，所以，解得，所以，故选B.‎ 考点：等比数列的求和公式.‎ ‎7.设是非零实数，若，则一定有（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C 考点：不等式的性质.‎ ‎8.设等差数列的前项和，且满足,对任意正整数，都有，‎ 则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列的求和公式及性质，可得，所以 ‎，同理可得，所以，所以 ‎，对任意正整数，都有，则，故选D.‎ 考点：等差数列的求和公式.‎ ‎9.若实数 满足，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D 考点：基本不等式的应用.‎ ‎10.若对于任意的,关于的不等式恒成立，则的最小值为 ‎（ ）‎ A． B． C. ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设，根据已知条件知：，该不等式表示的平面区域如图所示，设，所以，所以该方程表示以原点为圆心，半径为的圆，原点到直线的距离为，所以该圆的半径，解得，故选A.‎ 考点：简单的线性规划求最值.‎ ‎11.在中,角、、所对的边分别为、、，若,‎ 则的面积为（ ）‎ A． B． C. D．或 ‎【答案】D 考点：正弦定理.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的计算，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、三角形的面积公式、三角函数的恒等变换的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了分类讨论思想，本题的解答中根据三角恒等变换的公式，得出或是解答的关键，属于中档试题.‎ ‎12. 设，若的图象经过两点，且存在正 整数，使得成立，则（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎【答案】B 考点：基本不等式求最值；分段函数的性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了基本不等式求最值、函数的性质，其中解答中涉及到二次函数的性质、分段函数的性质、基本不等式的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想的应用，试题难度较大，属于难题，解答中正确理解题意，合理转化是解答的关键.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.若，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由，可知，‎ 所以，‎ 当且仅当，即等号成立，所以的最小值为.‎ 考点：基本不等式求最值.‎ ‎14.已知两个等差数列 和的前项和分别为，若，则 ‎ ‎__________.‎ ‎【答案】‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎15.在中,角、、所对的边分别为、、，且，则 ‎ ‎_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，由余弦定理得，‎ ‎，‎ 由三角函数的基本关系式可得，，‎ 所以.‎ 考点：余弦定理.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的余弦定理、三角函数的基本关系式、正弦的二倍角公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中利用三角形的余弦定理，分别求解的值是解答的关键.‎ ‎16.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的 恒成立，则实数的取值范围_________.‎ ‎【答案】‎ 考点：数列与不等式的综合问题.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了数列与不等式的综合问题，其中解答中涉及到等比数列的前和公式、数列的单调性的判定与应用、数列的最值，以及恒成立问题与最值的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，本题的解答中，把恒成立问题分类参数得到是解答关键，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分10分）已知命题是方程的两个实根 ，且不等式 对任意的恒成立；命题不等式有实数解．‎ ‎ 若命题为 真，为假，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ 考点：命题的真假判定及应用.‎ ‎18.（本小题满分12分）在等比数列中，公比，等差数列满足 ‎.‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知得： ，列出方程组，求解得到的值，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和.‎ 试题解析：（1）由已知得： ,即 ‎，解得 ‎ ( 舍) ，所以，所以.‎ ‎(2),‎ ‎.‎ 考点：等差、等比数列的通项公式；数列的求和.‎ ‎19.（本小题满分12分）某人上午时， 乘摩托艇以匀速从港出发到距 的港去， 然后乘汽车以匀速自港向距的市驶去．应该在同一天下 午至点到达市． 设乘坐汽车、 摩托艇去目的地所需要的时间分别是.‎ ‎（1）作图表示满足上述条件的范围；‎ ‎（2）如果已知所需的经费（元），那么分别是多少时最小？ 此时需 花费多少元？‎ ‎【答案】（1）；（2）的最小值为元．‎ 试题解析：（1）依题意得 ‎ ‎ ① ‎ 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和应在至 个小时之间，即 ② ‎ 因此，满足①②的点的存在范围是图中阴影部分（包括边界）‎ 考点：简单的线性规划问题.‎ ‎20.（本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、‎ ‎,.‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若 ,的面积为, 求边上的中线长.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由条件知 ，解得 ，即可求解角的值；（2）由于题设条件，求得，再由正弦定理，求解，进而得到的值和的值，即可求解边上的中线长.‎ 试题解析：（1）由条件知 ，即 ，解得 或（舍去）又， .‎ 考点：解三角形问题.‎ ‎21.（本小题满分12分）某城市响应城市绿化的号召， 计划建一个如图所示的三角形 形状 的主题公园,其中一边利用现成的围墙， 长度为米， 另外两边使用某种新型材料围 成， 已知单位均为米）．‎ ‎（1）求 满足的关系式（指出的取值范围）； ‎ ‎（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？ 最短长度是多 少？‎ ‎【答案】（1），，；（2）当边长均为米时，所用材料长度最短为米．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）在中,由余弦定理，得，再由正弦定理得，‎ ‎，进而可求解求满足的关系式；（2）要使所用的新型材料总长度最短只需 最小，由（1）知， ，利用基本不等式，即可求解结论.‎ 试题解析：（1）在中,由余弦定理，得，即 ，‎ 由正弦定理，得，‎ 同理.‎ 考点：解三角形的实际应用问题.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到三角形的余弦定理、正弦定理和基本不等式求解最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中需仔细审题，正确理解题意，恰当地选择正弦定理和余弦定理是解答的关键.‎ ‎22.（本小题满分12分）设正项数列的前项和，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）若数列,数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可得，两式相减得，即可 ‎，得到数列为等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）知，得到，利用裂项法求解，进而可证的结论.‎ 试题解析：（1）由题意可得， 两式相减得， ，所以，即，又因为数列为正项数列，所以 ‎.即数列为等差数列，又时，，所以.‎ 考点：等差数列的通项公式；数列的求和.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列求和，其中解答中涉及到等差数列的概念、等差数列的通项公式、数列的裂项法求和等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中，利用数列的饿递推关系式，得出数列为等差数列是解答的关键，属于中档试题.‎ ‎ ‎