甘肃省天水一中2019-2020学年高一上学期第三学段（期末考试）考试数学试题

甘肃省天水一中2019-2020学年高一上学期第三学段（期末考试）考试数学试题

天水一中高一2019-2020学年度第一学期第三学段（期末）考试 数学试题 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.直线的倾斜角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.‎ ‎【详解】化为，‎ 直线的斜率为，倾斜角为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.‎ ‎2.圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则圆锥的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥的底面半径、母线长，结合圆锥表面积公式，即可求出答案.‎ ‎【详解】圆锥的轴截面是边长为的正三角形，‎ 圆锥的底面半径，母线长；‎ 表面积 故选C.‎ ‎【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥轴截面等知识，属于基础题.‎ ‎3.直线与平行，则的值等于( )‎ A. -1或3 B. 1或‎3 ‎C. -3 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：直线可化为，斜率为在y轴上截距两直线平行，则直线斜率存在，即直线可化为斜率为在y 轴上截距为则由得即，解得故选D．‎ 考点：直线方程与直线平行间的关系．‎ ‎4.下列函数中，值域为偶函数是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 值域为的偶函数；‎ 值域为R的非奇非偶函数；‎ 值域为R的奇函数；‎ 值域为的偶函数.‎ 故选D ‎5.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若，，则 ‎②若，，，则 ‎③若，，则 ‎④若，，则 其中正确命题的序号是（ ）‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．‎ ‎【详解】解：对于①，因为，所以经过作平面，使，可得，‎ 又因为，，所以，结合得．由此可得①是真命题；‎ 对于②，因为且，所以，结合，可得，故②是真命题；‎ 对于③，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，‎ 而平面是正方体下底面所在的平面，‎ 则有且成立，但不能推出，故③不正确；‎ 对于④，设平面、、是位于正方体经过同一个顶点三个面，‎ 则有且，但是，推不出，故④不正确．‎ 综上所述，其中正确命题的序号是①和②‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．‎ ‎6.直线与圆交点的个数为 A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 化为点斜式：，‎ 显然直线过定点，且定点在圆内 ‎∴直线与圆相交，‎ 故选A ‎7.函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．‎ 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．‎ 点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．‎ ‎8.在三棱柱中，各棱长均相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意作出三棱柱，取的中点，连接，得到为所求的线面角，再设三棱柱的棱长为1，求出，即可得出结果.‎ ‎【详解】如图所示，取的中点，连接，‎ 则平面，故，为所求的线面角.‎ 设三棱柱的棱长为1，则，‎ 所以，所以，因此.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，根据题中条件作出线面角，直接求解即可，属于常考题型.‎ ‎9.在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据顶点的坐标，分别向三个坐标平面正投影，找出正投影的图形形状、边长等，从而解出三个图形的面积，进而比较大小．‎ ‎【详解】解：三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角三角形，其面积为；‎ 三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角梯形，其面积为；‎ 三棱锥各顶点在平面上正投影坐标为，，，‎ ‎，在平面上正投影的图形为直角梯形，其面积为；‎ 所以得，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了点的正投影知识，点的正投影是将点向面作垂线，垂足便是该点正投影对应的点，这里其实是将正投影转化为我们熟悉的线面垂直问题，如何作垂直，找出垂足是解决本问题的关键．‎ ‎10.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.‎ ‎【详解】设为正方形的中心，为中点，过作的平行线，交于，过作垂直于，连接、、，则垂直于底面，垂直于， ‎ 因此 从而 因为，所以即，选D.‎ ‎【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎11.如图所示，在正方体中，点是上底面内一动点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之比为_________．‎ ‎【答案】1∶1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意确定点在正视图和侧视图中的位置，可知正视图和侧视图的底边长和高，即可求出面积比.‎ ‎【详解】由题意知，点在正视图中的射影在上，‎ 所以正视图是以为底边，为高的三角形，‎ 同理，点在侧视图中的射影在上，‎ 所以侧视图是以为底边，为高的三角形，‎ 因为为正方体，所以，‎ 所以三棱锥的正视图与侧视图的面积比为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三视图和直观图形的关系，考查学生空间想象能力，属于基础题.‎ ‎12.设，，，则，，的大小关系是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数和幂函数的单调性即可判断三个式子的大小.‎ ‎【详解】对和，因为函数为减函数，‎ ‎，所以，即，‎ 对和，因为函数在上为增函数，‎ ‎，所以，即，‎ 所以，，的大小关系是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数和幂函数的单调性，属于基础题.‎ ‎13.已知点在上，求的最小值________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的几何意义，画出图形，利用点到直线距离即可求出答案.‎ ‎【详解】设，则的几何意义是圆上的点与原点的斜率，‎ 由图象可知，当直线与圆在第二象限相切时，‎ 直线斜率最小，此时，‎ 则圆心到直线的距离，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆位置关系，点到直线距离公式，考查学生数形结合的能力，属于基础题.‎ ‎14.在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为 ‎______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出球O1的半径，再求出球的半径，即得球的表面积.‎ ‎【详解】解：,，‎ ‎,‎ ‎， ‎ 设球O1的半径为，由题得，‎ 所以棱柱的侧棱为.‎ 由题得棱柱外接球的直径为，所以外接球的半径为，‎ 所以球的表面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ 三、解答题（共4小题，44分，请在答题卡上写清必要的解题过程）‎ ‎15.已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线yx上.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）求圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离.‎ ‎【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16‎ ‎（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出圆心的坐标和圆的半径，即得圆的标准方程；（2）求出圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离即得解.‎ ‎【详解】（1）A（2，5），B（﹣2，1）中点为（0，3），‎ 经过A（2，5），B（﹣2，1）的直线的斜率为，‎ 所以线段AB中垂线方程为，联立直线方程y解得圆心坐标为（2，1），‎ 所以圆的半径.‎ 所以圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16.‎ ‎（2）圆的圆心为（2，1），半径r＝4.‎ 圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离d.‎ 则圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离为d﹣r＝1.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求法和圆上的点到直线的距离的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.如图，在直三棱柱中，已知，.设的中点，.求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为D,E为中点，利用中位线即可证明；（2）只需证明平面即可，显然可证，因此原命题得证.‎ 试题解析：‎ ‎⑴在直三棱柱中，‎ ‎ 平面，且 矩形是正方形， ‎ 为的中点， ‎ 又为的中点， ， ‎ 又平面， 平面， ‎ 平面 ‎ ‎⑵在直三棱柱中，‎ ‎ 平面, 平面, ‎ 又， 平面， 平面， ，‎ 平面， ‎ 平面， ‎ 矩形是正方形， ，‎ 平面， ， 平面 又平面， .‎ 点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂直.‎ ‎17.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵；将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室,是边长为2的正方形．‎ ‎（1）若，在上，四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面直角：若不是，请说明理由；‎ ‎（2）当阳马的体积最大时，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）是；四个直角分别为、、、；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知，，，都是直角三角形，再证明面，得到，可得直角三角形，可以得到四面体是为鳖臑，再写出四个直角即可；‎ ‎（2）由和，求出，此时，即此时阳马的体积最大，然后利用等体积法求出点到平面的距离即可.‎ ‎【详解】（1）如图，连接和，‎ 由题意可知，，都是直角三角形，‎ 面，在平面内，∴，‎ 又∵，且，∴面 ‎ 又在面内，故，‎ ‎∴直角三角形．‎ ‎∴四面体四个面都是直角三角形，故四面体是鳖臑．‎ 在中，是直角，‎ 在中，是直角，‎ 在中，是直角，‎ 在中，是直角.‎ ‎（2）在中，‎ 由，得，（取得等号）‎ 由题意可知，面 ‎∴阳马的体积：，（取得等号）‎ 所以以为顶点，以底面的三棱锥体积最大值为：‎ 在中，，‎ 设到面距离为，则以为顶点，以底面时，三棱锥体积：，即，‎ 解得：，‎ 即点到面距离为.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的应用和等体积法求点到平面的距离，考查学生数形结合和计算能力，属于中档题.‎ ‎18.已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．‎ ‎（1）若，求点坐标；‎ ‎（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；‎ ‎（3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．‎ ‎【答案】（1）或；（2）或；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：解：（Ⅰ）由条件可知，设，则 解得或，所以或 ‎(Ⅱ)由条件可知圆心到直线的距离，设直线的方程为，‎ 则，解得或 所以直线的方程为或 ‎（III）设，过、、三点的圆即以为直径的圆，‎ 其方程为 整理得与相减得 即 由得 所以两圆的公共弦过定点 ‎ 考点：两点间的距离公式；点到直线的距离公式；圆的方程．‎ 点评：本题第一、二小题较容易，第三小题较难．但第三小题解法巧妙，使得问题简化．这种解法是这样的，将两圆的方程相减，得到一条直线的方程，由于两圆相交于两点，因而这条直线也经过这两点，故这条直线就是弦所在的直线．‎