2018-2019学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学（文）试题 Word版
福建师大附中2018-2019学年上学期期中考试
高二数学试卷（文科）
时间：
120分钟
满分：
150分
试卷说明：
（1）本卷共三大题，23小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是(***)
A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，分层抽样
C．分层抽样，系统抽样 D．简单随机抽样，系统抽样
2. 袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是(***)
A．P与R是互斥事件 B．P与Q是对立事件
C．Q和R是对立事件 D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件
3. 已知A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是xA，xB，观察茎叶图，下列结论正确的是(***)
A． xA
xB，B比A成绩稳定
C．xAxB，A比B成绩稳定
4．某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝－10x＋200，则下列结论正确的是(***)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则r＝－10
C．当销售价格为10元时，销售量为100件
D．当销售价格为10元时，销售量在100件左右
5.某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(***)
A. B. C. D.
6.在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝(***)
A．18 B．99 C．198 D．297
7.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(***)
A. B. C. D.
8.设,,则是的(***)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知为等比数列，，，则(***)
A.7 B.5 C. D.
10. 的内角的对边分别为成等比数列，且，则(***)
A. B. C. D.
11．为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入(***)
A． B．
C． D．
12.在中，，则
的最大值为(***)
A. B. C. D.
Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：每小题5分,共30分.
13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 ***
14．若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③＋>2；④b>a，正确的有 ***
15．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a＝ *** _，估计该小学学生身高的中位数为 ***
16.若变量满足约束条件则的最小值为 *** ．
17.若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为 ***
18. 在中，为边上一点，,若，则 *** ．
三、解答题:5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos(B–)．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
20.（本小题满分12分）
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
21.（本小题满分12分）
已知数列{}是公差为的等差数列，数列满足，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前项和．
22.（本小题满分12分）
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若=19，求y与x的函数解析式；
（II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.8，求的最小值；
（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买18个易损零件，或每台都购买19个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买18个还是19个易损零件？
23. (本小题满分12分)
已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.
(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.
师大附中2018—2019学年度第一学期期中考试
高二数学（文科）试题参考答案
一、选择题：1－12：DCADB BCADB BA
二、填空题：
13． 14． 15. 16. 17. 18.
三、解答题：
19. （Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．
（II）因为△ABC的面积为，所以，所以，又因为，所以，所以△ABC的周长为
20．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B， D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M）=．
21.（I）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.
（II）由（I）和 ，得，又因为因此是首项为1，公比为的等比数列.所以，通项公式为，所以 记的前项和为，则
所以
22．（Ⅰ）当时，；当时，，所以与的函数解析式为.
（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于19的概率为0.7，需更换的零件数不大于20的概率为0.9，故的最小值为20.
（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买18个易损零件，则这100台机器中有46台在购买易损零件上的费用为3600，24台的费用为4100，20台的费用为4600，10台的费用为5100，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为4070.
若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为4000.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
23.解：(Ⅰ)由题设，，两式相减
，由于，所以
（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知
假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；
证明时，{}为等差数列：由知
数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列
令则，∴
数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列
令则，∴
∴（），
因此，存在存在，使得{}为等差数列.
